河北省清河县清河中学高三数学《排列与组合》.ppt

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1、,第二节 排列与组合,1.理解排列、组合的概念 2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 3能解决简单的实际问题.,1排列 (1)排列：，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中，任取m个元素(mn，被,取出的元素互不相同)，按照一定的顺序排成一列,(2)排列数：从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示Anm,n(n1)(n2)(nm1),2组合 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 (2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的

2、所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示,Cnm,组合数公式为,1.,Cnnm,Cn1m,1从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有() A140种B84种 C70种 D35种 解析：从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有C42C51C41C5270种选法 答案：C,22008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2篇优秀论文(其中男女

3、生各1篇)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有() A576种 B1152种 C720种 D1440种,解析：女生论文有A44种展览顺序，男生论文也有A44种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A22种方法，故总的展览顺序有A44A44A221152种 答案：B,3高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是() A1800 B3600 C4320 D5040 解析：A55A62120303600. 答案：B,4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的

4、分配方案有_种(用数字作答) 解析：依题意得满足题意的分配方案共有C31C42A2236种(注：其中C31表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且让其中某2名大学生去的方法数；C42表示从4名大学生中任选2名到前一步所选定的乡镇去的方法数；A22表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数) 答案：36,5参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有_种(用数字作答) 解析：从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女

5、同志的方案数，再减去只选派男同志的方案数，合理的选派方案共有C83C33C5345. 答案：45,例1(1)解不等式：A9x6A6x2；,原不等式的解集为2,3,4,5,6,7,8 (2)原方程可化为x2x5x5或x2x16(5x5)， 即x26x50或x24x210. 解得x1，x5或x7，x3， 经检验x5和x7不合题意， 故原方程的根为1,3. 思维拓展排列数、组合数公式中的上标是自然数，下标是正整数，且上标不大于下标，解题时要注意这些约束条件,热点之二排列应用题 求排列应用题的主要方法有： 1直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 2特殊元素(或位置)优先安排的方法即先排特殊元素或特殊

6、位置 3排列、组合混合问题先选后排的方法,4相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 5不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 6分排问题直排处理的方法 7“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法 8定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 9正难则反，等价转化的方法,例27名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有多少种不同站法？ (1)2名女生必须相邻而站 (2)4名男生互不相邻 (3)若4名男生身高各不相等，按从

7、高到低的一种顺序站 (4)老师不站中间，女生不站两端,课堂记录(1)2名女生站在一起有站法A22种，将2名女生视为一个元素与其他5人全排列，有A66种排法，所以共有不同站法A22A661440(种) (2)老师和女生先站，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空1人有插入方法A44种所以共有不同站法A33A44144(种),思维拓展(1)相邻问题“捆绑法”；(2)不相邻问题“插空法”；(3)定序问题“相除法”；(4)特殊位置、特殊元素“优先法”,即时训练 (1)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调

8、整方法总数是() AC82A32 BC82A66 CC82A62 DC82A52 (2)在数字7,8,9与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是() A6 B12 C18 D24,解析：(1)从后排8人中选2人有C82种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A62.所求总数为C82A62. (2)在数字7,8,9与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，先排“”，“”两个符号，有A222种方法；“”，“”这两个符号排好后就产生三个空位，再将7,8,9插入这三个空位中，有A336(

9、种)排法，共有A33A2212(种)方法 答案：(1)C(2)B,热点之三组合应用题 组合问题常有以下两类题型： 1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 2“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,例3在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选； (4)

10、至少有2名女生当选；,(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任 课堂记录(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C103120种 (2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可， 有C105252种 (3)全部选法有C125种，,A，B全当选有C103种， 故A，B不全当选有C125C103672种 (4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行， 有C125C51C74C75596种选法 (5)分三步进行： 第一步：选1男1女分别担任两个职务为C71C51；,第 二步：

11、选2男1女补足5人有C62C41种； 第三步：为这3人安排工作有A33. 由分步乘法计数原理共有 C71C51C62C41A3312600种选法 思维拓展在解组合问题时，常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量，如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则,即时训练 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为() A85 B56 C49 D28 解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，选法有C21C7242；另一类是甲、乙都入选，选法有C22C717.所以共有42749(种)选法，故选C. 答案：C,热点之

12、四排列、组合的综合应用 解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法要根据实际问题探索分类分步的技巧，做到层次清楚，条理分明,例47名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方法共有_种(用数字作答),法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C73种排法再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C43种排法，共有C73C43140种故填140种 思维拓展在本例解法一中利用平均分组，而分组后再排列最容易出现重复，因此应用平均分组法时一定要将

13、重复的情况去掉解法二中利用了组合知识，更简单，注意题意的理解与方法选择,即时训练 将数字1,2,3,4,5,6拼写一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答) 解析：分两步：因a11，a33，a55，a1a3a5，故先排a1，a3，a5共有5种；再排a2，a4，a6共有A33种故不同的排列方法种数为5A3330. 答案：30,排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一从近三年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为45分，难度属于中档题内容以考查排列组合

14、的基础知识、基本能力为主题目难度与课本习题难度相当，但也有个别题目难度较大，重点考查分析问题、解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法,例5(1)(2010山东高考)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A36种B42种 C48种 D54种,(2)(2010北京高考)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() AA88A92 BA88C92 CA88A72 DA88C72 解析(1)若乙排在第二位，则有A33种方案；若乙不排在第二位，则乙只能排在第三、四、五位

15、，此时共有A31A21A33种方案，故共有A33A31A21A3342(种),(2)运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A92种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A92种排法 答案(1)B(2)A,1(2010湖南高考)在某种信息传输过程中，用4个数字的一排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A10 B11 C12 D15,解析：分类讨论：分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N11. 答案：B,2(2009浙江高考)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答) 解析：分两类：每级台阶上一人共有A73种站法； 一级二人，一级一人，共有C32A72种站法， 故共有A73C32A72336(种) 答案：336,