高考数学二轮复习第一部分专题七概率与统计1.7.2概率随机变量及其分布列限时规范训练理

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1、限时规范训练概率、随机变量及其分布列一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1(2016高考全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.解析：选B.如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P.2(2017山东济南模拟)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回

2、地取两次若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为()A. B.C.D.解析：选B.记事件A第一次取到的是合格高尔夫球，事件B第二次取到的是合格高尔夫球由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(AB)326，事件A发生所包含的基本事件数n(A)339，所以P(B|A).3(2017江西七校联考)在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A. B.C.D.解析：选B.函数f(x)有零点4a24(b2)0，即a2b2，设事件A表示“函数f(x)x22axb2有零点”如图所示，试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD及其内部，事件A发生的

3、区域是图中阴影部分，且S阴影42232，P(A).4(2017河南洛阳模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是()A. B.C.D.解析：选B.由题意得任取两球有C种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为，故4人中有3人中奖的概率为C.故选B.5某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语

4、言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A0.9B0.8C1.2D1.1解析：选A.由题意得X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，所以E(X)10.520.20.9.6小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作

5、考试环节，第2次未通过则直接被淘汰在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是()A. B.C.D.解析：选B.设“小明本次电工考试中共参加3次考试”为事件A，“小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过”为事件B，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试通过”为事件C，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操

6、作考试没通过，第二次操作考试没通过”为事件D，则P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)，而P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)，故选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7在区间0,1上随机取两个数x、y，则事件“yx4”发生的概率为_解析：在区间0,1上随机取两个数x、y，则(x，y)组成的平面区域的面积为1.事件“yx4”发生，则(x，y)组成的平面区域的面积为x4dxx5，所以所求概率为.答案：8在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为_解析：分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5

7、小，有两个比5大，故所求概率P.答案：9(2017湖北武汉模拟)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，设男子身高X服从正态分布N(170,72)(单位：cm)，参考以下概率P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 5，则车门的高度(单位：cm) 至少应设计为_解析：因为公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，所以利用P(2X2)0.954 5，男子身高X服从正态分布N(单位：cm)，可得车门的高度(单位：cm)至少应设计为17027184 cm.答案：184 cm三、解答题(本题共3小题，每小题12分，

8、共36分)10(2017北京丰台区二模)张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家到公司上班的路上有L1，L2两条路线(如图所示)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯的次数X的数学期望；(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解：(1)设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，则P(A)CC.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，X的可能取值为

9、0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).故随机变量X的分布列为X012PE(X)012.(3)设选择L1路线遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即YB，所以E(Y)3.因为E(X)E(Y)，所以选择L2路线上班最好11甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A，B，C，D，E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校)，但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B，C，D，E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可(1)求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率(2)记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列

10、及数学期望解：(1)由题意知：甲同学选中E高校的概率为p甲，乙、丙两同学选中E高校的概率为p乙p丙，所以甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：P(1p甲)p乙p丙.(2)由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3，P(X0)p甲p乙p丙，P(X1)(1p甲)p乙p丙p甲(1p乙)p丙p甲p乙(1p丙)，P(X2)(1p甲)(1p乙)p丙(1p甲)p乙(1p丙)p甲(1p乙)(1p丙)，P(X3)(1p甲)(1p乙)(1p丙)，所以X的分布列为：X0123P所以E(X)0123.12(2017广州五校联考)某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小

11、于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)试分别估计芯片甲、芯片乙为合格品的概率；(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在(1)的前提下，记X为生产一件芯片甲和一件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率解：(1)芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为90,45,30，15.P(X90)；P(X45)；P(X30)；P(X15).所以随机变量X的分布列为X90453015P则X的数学期望E(X)904530(15)66.设生产的5件芯片乙中合格品有n件，则次品有(5n)件依题意，设50n10(5n)140，解得n.所以n4或n5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则P(A)C.