解密31 不等式选讲-备战2020年高考数学(理)之高频考点解密（原卷版）

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1、解密31 不等式选讲 高考考点命题分析三年高考探源考查频率含绝对值不等式的解集及其应用从近三年高考情况来看,选考系列由原来的三选一变为二选一,且主要以解答题的形式中出现,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注.2019新课标全国 232019新课标全国 232018新课标全国 232018新课标全国 232018新课标全国 232017新课标全国 232017新课标全国 23不等式的证明2019新课标全国 232017新课标全国 23 考点1 含绝对值不等式的解集及其应用调研1 已知函数.（1）画出函数的图象；（2）若关于的不

2、等式有解,求实数的取值范围.【参考答案】（1）见解析；（2）.【思路分析】（1）写出f（x）的分段函数式,画出图象；（2）由题意可得2m+1f（x）x的最小值,对x讨论去绝对值,结合一次函数的单调性可得最小值,即可得到所求范围【解析】（1）f（x）|2x+1|x2|,的图象如图：（2）由（1）得,当时,题设等价于,即,故实数的取值范围为.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件,注意运用分类讨论的思想方法和分离参数法,属于中档题调研2 设函数.（1）解不等式；（2）若对恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为, 当时,解得； 当时,无解； 当时,

3、解得. 所以不等式的解集为.（2）依题意只需, 而, 所以,解得或, 故实数的取值范围是.调研3 已知函数,（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解,求实数的取值范围【参考答案】（1）；（2）【解析】（1）即,当时,解得；当时,解得；当时,无解综上,故不等式的解集为（2）因为关于的不等式有解,所以因为,当且仅当时取等号,所以,故实数的取值范围为调研4 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程存在实数解,求实数的取值范围【参考答案】（1）；（2）.【思路分析】（1）分情况去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得,从而得进而得解.【解析】（1）不等式,即可化为,或,或,

4、无解,解得,解得, 综合得：,即原不等式的解集为.（2）因为, 关于x的方程存在实数解,解得,实数m的取值范围为【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式求最值,重点考查了学生的计算能力,属于基础题.调研5 设函数.（1）若,求不等式的解集；（2）若不等式存在实数解,求实数的取值范围.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）若,由,得, 即,即,得,解得.故不等式的解集是.（2）“不等式存在实数解”等价于“不等式存在实数解”.因为,所以,即或,解得或.故实数的取值范围是.方法技巧点拨含绝对值不等式的解法1公式法：对于形如|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x),利用公式

5、|x|aax0)和|x|axa或x0)直接求解不等式；2平方法：对于形如|f(x)|g(x)|,利用不等式两边平方的方法技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负,即|f(x)|g(x)|f(x)2g2(x)；3零点分段法：对于形如|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a,利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；4几何法：对于形如|xa|xb|c,|xa|xb|c,利用绝对值三角不等式的性质求解,即（1）定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.（2）定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|

6、+|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立.（3）推论1:|a|b|a+b|.（4）推论2:|a|b|ab|.5图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|a可构造y=|f(x)|+|g(x)|a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a,在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.考点2 不等式的证明调研1 已知定义在R上的函数的最小值为a（1）求a的值；（2）若p,q是正实数,且满足,求证：.【参考答案】（1）；（2）见解析.【思路分析】（1）利用绝对值三角不等式即可得到函数的最小值；（2）由（1）得,则,展开利用基本不等式即可得到证明.

7、【解析】（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又是正实数,所以,当且仅当时,等号成立.【名师点睛】本题主要考查利用绝对值三角不等式求函数的最值,考查利用基本不等式证明不等式,属于基础题.调研2 设,且,求证：（1）；（2）.【参考答案】（1）见解析；（2）见解析.【思路分析】（1）用作差比较法证明即可；（2）将条件变形得,然后根据及可得结论成立【解析】（1）,.（2）, .调研3 设函数f（x）|xa|xa|,当时,不等式f（x）2的解集为M；当时,不等式f（x）1的解集为P（1）求M,P；（2）证明：当mM,nP时,|m2n|12mn|【参考答案】（1）

8、,；（2）见解析.【解析】（1）当时,结合图象知,不等式的解集, 同理可得,当时,不等式的解集 （2）, ,【名师点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法,一般是利用零点分段讨论法求解；不等式的证明常用比较法处理.（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值,再求解一元不等式；（2）利用作差比较法可以证明.方法技巧点拨不等式证明的常用方法（1）作差比较.作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.（2）分析法：执果索因

9、.基本步骤：要证只需证,只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.（3）利用基本不等式求最值：若a,b为正实数,则.1（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中）已知,为正实数,且（1）解关于的不等式；（2）证明：2（重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高三11月月考）已知实数满足,（1）证明：；（2）若,证明：3（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试）设函数（1）当时,求不等式的解集；（2）若,求实数m的取

10、值范围4（2019年11月四川省攀枝花市一模）已知函数（1）解不等式；（2）若对于,有,求证：5（重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高三11月月考）（1）若,求的取值范围；（2）设（1）中的最小值为,若,求证：6（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考温习质量监测）已知定义在上的函数（1）若的最大值为4,求正实数的值；（2）若,求的取值范围7（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考）已知函数（1）当时,求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围8（2019年11月广西壮族自治区柳州市一模）已知函数,不等式的解集为（1）求；（2）记集合

11、的最大元素为,若、都是正实数,且求证：9（广东省2019-2020学年高三第一次教学质量检测）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若,求证：10（陕西省西安市西安中学2019-2020学年高三上学期期中）已知求证：（1）；（2）11（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知的最小值为t（1）求t的值；（2）若实数a,b满足,求的最小值12（湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数（1）解不等式；（2）若函数最小值为,且,求的最小值13（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测）设函数（

12、1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集,求的取值范围14（贵州省安顺市2019-2020学年高三上学期第一次联考）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含,求实数的取值范围15（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围16（江西省抚州市临川第二中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数（1）当时,求不等式的解集；（2）当时,不等式恒成立,求的取值范围 1【2019年高考全国卷理数】已知a,b,c为正数,且满足abc=1证明：（1）；（2）2【2019年高考全国卷理

13、数】已知 （1）当时,求不等式的解集；（2）若时,求的取值范围3【2019年高考全国卷理数】设,且（1）求的最小值；（2）若成立,证明：或4【2019年高考江苏卷数学】设,解不等式5【2018年高考全国卷理数】已知.（1）当时,求不等式的解集；（2）若时不等式成立,求的取值范围.6【2018年高考全国卷理数】设函数（1）当时,求不等式的解集；（2）若,求的取值范围7【2018年高考全国卷理数】设函数（1）画出的图像；（2）当,求的最小值8【2017年高考全国卷理数】已知函数,.（1）当a=1时,求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1,1,求a的取值范围.9【2017年高考全国卷理数】已知证明：（1）；（2）10【2017年高考全国卷理数】已知函数f（x）=x+1x2.（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空,求m的取值范围.11【2016年高考全国卷理数】已知函数f(x)=x+12x3.（1）在下图中画出y= f(x)的图象；（2）求不等式f(x)1的解集.12【2016年高考全国卷理数】已知函数,M为不等式f(x) 2的解集.（1）求M；（2）证明：当a,bM时,a+b1+ab.13【2016年高考全国卷理数】已知函数.（1）当a=2时,求不等式的解集；（2）设函数当时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围. 知识改变命运24