2020-2021学年广西南宁市六校联考高二(下)期末数学试卷(理科)

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1、2020-2021 学年广西南宁市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合𝐴 = 𝑥|𝑥 + 2 0，𝐵 = 2, 1,0，1，则𝐴 𝐵 = ( )2.A.2,1C.2, 1,0，1若复数𝑧 = 𝑖(1 + 𝑖) ，则|𝑧| = ( )B.D.(2,1 1,0，1A.1B.3C.2D.23.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 20

2、17 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是( )A.B.C.D.月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数月跑步平均里程逐月增加月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳4.若抛物线𝑦 2 = 8𝑥 上一点𝑃(𝑚, 𝑛) 到其焦点的距离为 8m，则𝑚 = ( )A.37B.27C.47D.575.“中国天眼”历时 22 年建成，是具有我国自主知

3、识产权，世界最大单口径(球冠底面直径 500 米)、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球面的半径是 R，球冠的高是 h，那么球冠的表面积公式为：𝑆 = 2𝜋𝑅).已知天眼的反射面总面积(球冠面积)约为 25 万平方 米，则天眼的球冠高度约为( )第 1 页，共 19 页 ， ， 向量2 3 A.60 米B.100 米C.130 米D.160 米6.已知向量𝑎，𝑏 满足| 𝑎

4、| = 2，(𝑎 + 𝑏 ) 𝑎 = 2 | 𝑎 𝑏 | = 23 𝑎 𝑏 与𝑏的夹角为( )A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋67. (𝑥 + )(𝑥 1)6𝑥的展开式中，含𝑥 项的系数为( )A.45B.45C.15D.158.若𝛼 (0, 𝜋)，且3𝑠𝑖𝑛&

5、#120572; + 2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2，则tan𝛼2等于( )A.23B.12C.32D.329.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.33 + 5B.43 + 5C.33 + 6D.43 + 610. 有 6 个座位连成一排，安排三人就座，三个空位两两不相邻的不同坐法有( )种A.12B.24C.36D.4811. 已知𝑎 = 𝑒 ，𝑏 = 3𝑙𝑜𝑔 𝑒 ，𝑐 =

6、35𝑙𝑛5，则 a，b，c 的大小关系为( )A.𝑐 𝑎 𝑏B.𝑎 𝑐 𝑏C.𝑏 𝑐 𝑎D.𝑎 𝑏 𝑐12. 已知函数𝑓(𝑥) 为定义城为 R 的偶函数，且满足𝑓(1 + 𝑥) = 𝑓(1 𝑥) ，当𝑥 1,0时𝑓(𝑥) =

7、19909; ，则函数𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) +𝑥+412𝑥在区间9,10 上零点的个数为( )A.10B.12C.18D.20第 2 页，共 19 页2 2 𝑥𝑦𝜋二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）2𝑥 + 𝑦 4 013. 设变量 x，y 满足 𝑥 𝑦 2 0𝑦 2 0，则𝑧 = 3𝑥 + 𝑦 的最小值为_

8、14. 在某市 2021 年 1 月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布𝑁(98, 102 一名学生，则他的数学成绩在区间(108,118)内的概率为_)，现任取(附：若𝑋 𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇 𝜎 𝑋 𝜇 + 𝜎) = 0.6826，𝑃(𝜇 2𝜎 𝑋 0, 𝜔 0)的部分图像如图所示，则 𝑓(1) +

9、 𝑓(2) + + 𝑓(2017) =_ 16. 点 F 为双曲线 C： = 1(𝑎 0, 𝑏 0)的左焦点，直线𝑦 = 𝑘𝑥 分别与双曲线 C 的左、右两支交于𝑎 2 𝑏 2A、B 两点：且满足𝐹𝐴 𝐴𝐵 ，O 为坐标原点，𝐴𝐵𝐹 = 𝐴𝐹𝑂 ，则双曲线 C 的离心率𝑒 =_

10、三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 在 𝐴𝐵𝐶 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3𝑎 = 2𝑏𝑠𝑖𝑛(𝐶 + ).3(1)求 B；(2) 𝐴𝐵𝐶 的面积为3，D 为 AB 边的中点，求 CD 的最小值18. 为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了 50 人，从女职工中随机抽取了 40 人参加消防知识 测试，按优秀程度制作了如下2 2列联表：第 3 页，共 19

11、页2 优秀非优秀总计男职工女职工总计3550(1)完成2 2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；(2)为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为 ，现从消防知识测试中优秀的职工中选 3 人参加预选赛，设随机变量 X 表示这 3 人中通3过预选赛的人数，求 X 的分布列与数学期望附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑𝑏𝑐) 2 (𝑎𝑏)(𝑐𝑑)(𝑎

12、9888;)(𝑏𝑑)𝑃(𝐾2 𝑘)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82819. 如图所示，平面𝐴𝐵𝐶𝐷 平 BCEF，且四边形 ABC 为矩形，四边 BCEF 为直 角梯形，𝐵𝐹/𝐶𝐸 ，𝐵𝐶 𝐶𝐸 ，𝐷𝐶 = 𝐶

13、𝐸 = 4，𝐵𝐶 = 𝐵𝐹 = 2()求证：𝐴𝐹/ 平面 CDE；()求直线 BE 与平面 ADE 所成角的余弦值；()求点 B 到平面 ADE 的距离第 4 页，共 19 页𝑛2 3 4𝑛𝑎𝑛21. 已知𝑓(𝑥) = 4𝑙𝑛𝑥 𝑥， 𝑔(𝑥) = (𝑥 4𝑥 4

14、)𝑒 𝑎2 2 𝑥20. 设数列𝑎 的前 n 项和为𝑆𝑛 𝑛，_从数列𝑎是公比为 2 的等比数列，𝑎 ，𝑎 ，𝑎 4成等差数列；𝑆 = 2𝑎 2；𝑆 = 2𝑛 𝑛 𝑛𝑛1 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答 (1)求数列𝑎 的通项公式；𝑛(2)若𝑏

15、=1𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛2 𝑛，求数列𝑏的前 n 项和𝑇𝑛1 12 𝑒(1)求函数𝑔(𝑥)的单调区间；(2)若𝑓(𝑥) 0 = 𝑥|𝑥 2，𝐵 = 2, 1,0，1， 𝐴 𝐵 = 1,0，1故选：D先求出集合 A，利用交集定义能求出𝐴 𝐵 本题考查交集的求法，交集定义等基础

16、知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】C【解析】解： 𝑧 = 𝑖(1 + 𝑖) = 1 + 𝑖 ，则|𝑧| = 2，故选：C利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】D【解析】【分析】本题考查折线图，考查读图能力，属于基础题结合折线图逐项分析即可【解答】解：由图知：在 A 中，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故 A 错误；在 B 中，月跑步平均里程 2 月、7 月、8 月和 11 月减少，故 B 错误；在 C

17、 中，月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月，故 C 错误；在 D 中，1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确 故选：D第 7 页，共 19 页𝑝 22 = 17118，4.【答案】B【解析】解：抛物线𝑦 𝑝 = 4，2= 8𝑥 ，又抛物线𝑦2= 8𝑥 上一点𝑃(𝑚, 𝑛) 到其焦点的距离为 8m，由抛物线的定义可得，|𝑃𝐹| = 𝑚 + =

18、𝑚 + 2 = 8𝑚 ，即𝑚 = 2 7故选：B根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题5.【答案】C【解析】解：如图，𝑂𝐵 = 250，球面半径为 R，球冠的高是 h， 则球冠面积𝑆 = 2𝜋𝑅在𝑅𝑡 𝑂𝑂𝐵 中，有(𝑅 )2 + 2502 = 𝑅 2，整理得2𝑅 = 2+ 2502，则2⼚

19、7;𝑅 = 𝜋2+ 𝜋 2502， 𝜋 2 + 𝜋 2502 = 250000，得 2 =250000𝜋250 53750𝜋 𝜋 130米，故选：C由题意画出图形，由球冠面积列式即可求得球冠高度的近似值本题考查球冠面积的求法，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】D第 8 页，共 19 页 ，2 ， 2 2 4 + 4 + 𝑏 = 23 2 3 𝑟 6𝑟𝑟+1 62 𝑥6 3 ， 6

20、19904;𝑖𝑛 cos + 4cos = 4cos + 2(2cos 1) = 22 2 𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼3𝑡𝑎𝑛 +2𝛼𝛼 3 𝛼【解析】解：向量𝑎，𝑏满足| 𝑎 | = 2，(𝑎 + 𝑏 ) 𝑎 = 2，可得𝑎 + 𝑎 &

21、#119887; = 2，所以𝑎 𝑏 = 2 | 𝑎 𝑏 | = 23𝑎 2 𝑎 𝑏 +𝑏2 = 23， ，所以| 𝑏 | = 2，向量𝑎 𝑏 与𝑏的夹角为𝜃 ，𝑐𝑜𝑠𝜃 =(𝑎𝑏 )𝑏 |𝑎𝑏 |𝑏 |=𝑎

22、9887; 𝑏 2 32=244 3= ，2𝜃 0, 𝜋 ，所以𝜃 =故选：D5𝜋6利用向量的数量积以及向量的模求解𝑎 𝑏，然后求解向量𝑎 𝑏 与𝑏的夹角即可本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角的求法，是基础题7.【答案】A【解析】解：二项式(𝑥 1)6的展开式的通项公式为𝑇 = 𝐶 𝑥 (1)𝑟= 𝐶 𝑟 (1)&#

23、119903; 6𝑥6𝑟，所以(𝑥 +2𝑥)(𝑥 1)6的展开式中含𝑥3的项为：𝑥 𝐶 4 (1)4 𝑥 2 + 𝐶 2 (1)2 𝑥 4 = 15𝑥 3 + 30𝑥 3 = 45𝑥 3 6 6，所以含𝑥3项的系数为 45，故选：A先求出(𝑥 1) 的展开式的通项公式，进而可以求出含𝑥 的项，由此即可求解本题考查了二项式定理的

24、应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题8.【答案】D【解析】解：𝛼 (0, 𝜋) ，且3𝑠𝑖𝑛𝛼 + 2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 6𝑠𝑖𝑛𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 2 2 2 2 2 2，即3𝑠𝑖𝑛cos + 2cos2 22𝛼2=2，3&#

25、119904;𝑖𝑛 cos +2𝑐𝑜𝑠 2 2sin 2 +cos 22 22𝛼2= 2tan2 +12= 2，解得tan = ，或tan = 0(舍去)，2 2 2故选：D由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值第 9 页，共 19 页1 = 1 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题9.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：作出该几何体的直观图如下所示，观察可知， 该几何体的最长棱长为(𝑆𝐵, &#

26、119878;𝐶) ，𝑆 =𝐴𝐶𝑆𝐴𝐵= 2 3 = 3， 2𝑆𝐵𝐶1 32 2 22= 3，𝑆𝐵𝐶= 2 6 = 6， 2所以𝑆 = 3 + 3 + 3 + 6 = 33 + 6 表故选：C首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算 能力和数学思维能力，属于基础题1

27、0.【答案】B【解析】解：根据题意，安排三人就座，三个空位两两不相邻，相当于 3 个人之间插入 3 个空位置，故有 𝐴3 𝐶 3 = 6 4 = 24种，3 4故选：B将 3 个空位置插入到 3 人所成的间隔中即可本题考查排列、组合的简单应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题11.【答案】D第 10 页，共 19 页， 𝑥 𝑒 ，则𝑓(𝑥) =， 𝑥 𝑒 ，则𝑓(𝑥) = +【解析】解：设𝑓(𝑥) =&

28、#119909; 𝑙𝑛𝑥1 𝑙𝑛𝑥 (𝑙𝑛𝑥)2 0恒成立，函数𝑓(𝑥) 在𝑒, +)上单调递增， 𝑎 = 𝑓(𝑒) ，𝑏 = 𝑓(3)，𝑐 = 又 𝑒 3 5， 𝑎 𝑏 𝑐 故选：D5𝑙𝑛5= 𝑓(

29、5)，构造函数设𝑓(𝑥) =𝑥 𝑙𝑛𝑥1 𝑙𝑛𝑥 (𝑙𝑛𝑥)20恒成立，结合函数的单调性，即可求解本题考查了导数的综合应用，运用函数的单调性比较大小，属于中档题12.【答案】A【解析】解：条件等价于函数𝑓(𝑥) 与𝑔(𝑥) =𝑥+412𝑥图象在9,10 上交点的个数，因为𝑓(1 + ү

30、09;) = 𝑓(1 𝑥) ，所以函数𝑓(𝑥) 图象关于𝑥 = 1对称，又因为𝑓(𝑥) 为偶函数且当𝑥 1,0 时𝑓(𝑥) = 𝑥 ，所以当𝑥 0,1时𝑓(𝑥) = 𝑥 ，𝑔(𝑥) =𝑥+412𝑥=𝑥+42𝑥11 92 4𝑥2，作出函数Ү

31、91;(𝑥) 与𝑔(𝑥) 的图象如图：由图可知，共 10 个交点， 故选：A条件等价于函数𝑓(𝑥) 与𝑔(𝑥) =𝑥+412𝑥图象在9,10 上交点的个数，作出函数𝑓(𝑥) 与𝑔(𝑥) 的图象如图，数形结合即可得到答案本题考查函数的零点，考查转化思想，数形结合是解决问题的关键，属中档题第 11 页，共 19 页𝑦 = 2= =𝜋 𝜋13.【答

32、案】52𝑥 + 𝑦 4 0【解析】解：作出变量 x，y 满足𝑥 𝑦 2 0 𝑦 2 0对应的平面区域如图，由𝑧 = 3𝑥 + 𝑦 ，得𝑦 = 3𝑥 + 𝑧 ，平移直线𝑦 = 3𝑥 + 𝑧 ，由图象可知当直线𝑦 = 3𝑥 + 𝑧 ，经过点 A时，直线𝑦 = 3𝑥 + 𝑧 的截距最小

33、，此时 z 最小2𝑥 + 𝑦 4 = 0由 ，解得𝐴(1,2)，此时 z 的最小值为𝑧 = 3 1 + 2 = 5，故答案为：5作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小值本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14.【答案】0.1359【解析】解：所有学生的数学成绩服从正态分布𝑁(98, 102)， 𝑃(88 𝑋 108) = 0.6826 ，𝑃(78 𝑋 118) = 0.9544，根据正态

34、分布的对称性可知，𝑃(108 𝑋 0，化简得3𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐵，即𝑡𝑎𝑛𝐵 = 3；又𝐵 (0, 𝜋)，所以𝐵 =𝜋3(2)因 𝐴𝐵𝐶 的面积为𝑆𝐵𝐶1 32 4𝑎𝑐 = 3，解

35、得𝑎𝑐 = 4；在 𝐵𝐶𝐷 中，由余弦定理可得，𝐶𝐷2 = 𝑎 2( )22 2𝑎 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑎 22𝑐 24 2 2𝑎 2 = 2，2当且仅当𝑎 = 2，𝑐 = 22时，等号成立，所以𝐶𝐷 2，即 CD 的最小值为2【解析】(1)利用正弦定理与三角恒等变换，即可求得 tan

36、B 与 B 的值(2)根据三角形的面积公式和余弦定理，利用基本不等式即可求得 CD 的最小值本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解与推理转化能力，是中档题18.【答案】解：(1)2 2列联表如图：第 14 页，共 19 页𝑃(𝑋 = 0) = ( ) = ( ) =， 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶， 1 3 2 3 3 ( ) =， 𝑃(𝑋 = 3) = ( )= 2 3 2 男职工女职工总计优秀351550非优秀152540总计504090𝐾 2 =90(352

37、51515) 504050402 9.506 10.828 没有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关； (2)𝑋的可能取值是 0，1，2，31 1 2 1 227 3 3 9𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶 23X 的分布列为：X 0 1 2 31 2 4 8P27 9 9 272 1 4 2 8 3 3 9 3 27𝐸(𝑋) = 3 = 23【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及其求法，是中档题(1)由题意填写2 2列联表，求得𝐾2的观测值，结合临界值表得结论；

38、(2)求出 X 的所有可能取值，分别求其概率，即可得分布列和期望19.【答案】()证明：以 C 为坐标原点，以 CB、CE、CD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意可得𝐶(0, 0，0)，𝐴(2,0，4)，𝐵(2,0，0)，𝐷(0, 0，4)，𝐸(0, 4，0)，𝐹(2, 2，0)， 𝐶𝐷=(0,0，4)，易得𝑚= (1,0，0)是平面 CDE 的一个法向量，第 15 页，共 19 页1 1 4 𝑦 4

39、19911; = 01 1 1 1 10 15 15= 1 1 1 𝑛， 𝑎 ，𝑎1 1 11 𝑛𝑛1 𝐶𝐷𝑚=(0,0，4) (1，0，0) = 0， 𝐴𝐹/ 平面 CDE；()解：设平面 ADE 的一个法向量为𝑛= (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )，1 1 1 1 𝐴𝐷=(2,0，0)，𝐷𝐸=(0,4，4)，

40、19860;𝐷𝑛=0 则𝐷𝐸𝑛= 0 12𝑥 = 0， ，1 1取𝑧= 1，得𝑛 1= (0,1，1)，𝐵𝐸=(2,4,0)，设直线 BE 与平面 ADE 所成角为𝜃 ，则𝑠𝑖𝑛𝜃 = |cos | =|𝐵𝐸 𝑛| |𝐵𝐸|𝑛|=245 2= ，5所以Ү

41、88;𝑜𝑠𝜃 = 1 sin2 𝜃 = ，5所以 BE 与平面 ADE 所成角的余弦值为 ；5()解：由()知平面 ADE 的一个法向量为𝑛= (0,1，1)，1𝐵𝐸=(2,4,0) 𝑑 =|𝐵𝐸𝑛| 4 |𝑛| 2= 22，点 B 到平面 ADE 的距离为22【解析】本题考查空间中线面平行的判定，考查求线面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档 题()以 C 为坐标原点，以 CB、CE、CD 所在

42、直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，通过𝐶𝐷与平面 CDE 的一个法向量的数量积为 0，即得结论；()设平面 ADE 的一个法向量为𝑛= (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )，取𝑧 = 1，得𝑛1 1 1 1 1 1的余弦值值，计算即可；= (0,1，1)，求出法向量𝑛与𝐵𝐸的夹角()根据面 ADE 的一个法向量为𝑛1= (0,1，1)以及𝐵𝐸的坐标，求出点 B 到平面 AD

43、E 的距离即可20.【答案】解：选时，数列𝑎是公比为 2 的等比数列，𝑎2 3 4 4成等差数列；所以2𝑎= 𝑎 + 𝑎 4， 3 2 4则8𝑎 = 2𝑎 + 8𝑎 4，解得𝑎= 2，所以𝑎= 2𝑛选时，𝑆= 2𝑎 2；𝑛所以当𝑛 = 1时，𝑎= 2，第 16 页，共 19 页𝑛1𝑛𝑎w

44、899;𝑎= 2(𝑛𝑛𝑛𝑎𝑛𝑇 = 1 ( ) 所 以 得：2 2 2 2 2 2 3 𝑛𝑛2 𝑛4 𝑙𝑛𝑥𝑥 = (𝑥 2)(𝑥𝑒𝑥当𝑛 2时，𝑆= 2𝑎𝑛12，所以𝑎= 𝑆𝑛𝑆 =

45、 2𝑎𝑛1𝑛1，整理得：𝑛1常数)，所以𝑎= 2𝑛；选时，𝑆= 2𝑛12，所以𝑎= 𝑆𝑛𝑆 = 2𝑛1𝑛(2)𝑏 =𝑛1𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛2 𝑛=𝑛12 𝑛，所以𝑇=2 32 2 2𝑛12 &

46、#119899;，12𝑇 =𝑛2 32 2 2 3𝑛12 𝑛1，1 1 1 1 𝑛1𝑛1，= 11𝑛121𝑛112𝑛12 𝑛1，所以𝑇= 3𝑛32 𝑛【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的求和公式，乘公比错位相减法在数列求和中的应 用，主要考查学生的运算

47、能力和转换能力及思维能力，属于基础题21.【答案】解：(1)因为𝑦 = 𝑔(𝑥)的定义域为 R，又𝑔(𝑥) = (2𝑥 4)𝑒𝑥(𝑥24𝑥 4)𝑒𝑥= 2(𝑥 2)𝑒𝑥(𝑥 2)2𝑒𝑥= 𝑥(𝑥 2)𝑒𝑥，由𝑔(𝑥)

48、 = 0得𝑥 = 2或𝑥 = 0，x(, 0)0(0,2)2(2, )𝑔(𝑥)00𝑔(𝑥)增极大减极小增所以𝑔(𝑥)的单调递增区间为(, 0)和(2, ) ，递减区间为(0,2)， (2)因为𝑦 = 𝑓(𝑥) 定义域为(0, ) ，令𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = (𝑥24𝑥 4)

49、9890;𝑥1 1𝑒 2𝑥2𝑎(𝑥 0)，𝐹(𝑥) = 𝑥(𝑥 2)𝑒𝑥4 𝑥2𝑥 𝑥)，第 17 页，共 19 页1 + 2 4𝑙𝑛2 𝑎 0，所以𝑎 2 4𝑙𝑛2 2 𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 𝑥所以当⻖

50、9; (0,2)时，𝐹(𝑥) 0，所以𝐹(𝑥)𝑚𝑖𝑛= 𝐹(2) = + 2 4𝑙𝑛2 𝑎𝑒，则1 1𝑒 𝑒，故实数 a 的取值范围为(, 2 4𝑙𝑛2 1𝑒).【解析】(1)对𝑔(𝑥) 求导，令𝑔(𝑥) = 0得𝑥 = 2或𝑥 =

51、 0，列表格分析随着 x 的增大𝑔(𝑥) ，𝑔(𝑥) 的变化情况， 即可得出答案(2)根据题意得𝑦 = 𝑓(𝑥) 定义域为(0, +)，𝑦 = 𝑔(𝑥) 的定义域为(0,2)，令𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ，只需𝐹(𝑥) 0，即可得出答案𝑚𝑖𝑛本题考查导数的

52、综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题22.【答案】解：(1)设点 N 的坐标为(𝑥, 𝑦) ， 𝐴𝑀=2𝐴𝑃，点P 为 AM 的中点， 𝑁𝑃𝐴𝑀=0，𝑁𝑃 𝐴𝑀 ， 𝑁𝑃 是线段 AM 的垂直平分线， 𝑁𝑀 = 𝑁𝐴， 又点 N 在 CM 上，设圆的半径是 r，则

53、19903; = 22， 𝑁𝐶 = 𝑟 𝑁𝑀 ， 𝑁𝐶 + 𝑁𝑀 = 𝑟 = 22 𝐴𝐶 点 N 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆， 2𝑎 = 22，𝑐 = 1，可求得𝑏 = 1，椭圆 + 𝑦 22= 1，即曲线 E 的方程： + 𝑦22= 1(2)当斜率不存在时，直线与曲线 E 有 2 个交点此时参数的值为𝜆

54、 = 不妨设 FH 斜率为 k，且将原点移至 F，则直线 FH 方程为𝑦 = 𝑘𝑥 ，椭圆方程变为 + (𝑦 2) 2 = 1，2，3将直线方程代入椭圆得 + (𝑘𝑥 2)22= 1，整理得(1 + 2𝑘2)𝑥2 8𝑘𝑥 + 6 = 0，直线与曲线 E 有二不同的交点， = (8𝑘)2 4 6(1 + 2𝑘2) = 16𝑘2 24 0，即𝑘 2 32，因为左右对称，可以研究

55、单侧，当𝑘 0时，𝜆 =𝑥𝑥12=𝑏𝑏 2 4𝑎𝑐 𝑏+𝑏 2 4𝑎𝑐即𝜆 =8𝑘16𝑘 8𝑘+16𝑘222424=212+132𝑘32𝑘22由𝑘232，即0 32𝑘2 1，即0 1 32𝑘2 1，第 18 页，共 19 页2 𝑡4

56、 11 2 2令𝑡 = 1 32𝑘2 (0,1)，则𝜆 = ，𝑡 (0,1)，2𝑡由于𝜆 =2𝑡2𝑡= 1，故函数在𝑡 (0,1)上是减函数，故 𝜆 1 2𝑡 3综上，参数的取值范围是3 𝜆 𝐴𝐶 ，再利用椭圆的定义知，点 N 的轨 迹是以 A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程(2)不妨设 FH 斜率为 k，且将原点移至 F ，则直线 FH 方程为ү

57、10; = 𝑘𝑥，则椭圆方程变为𝑥2(𝑦 2)2= 1，将直线与椭圆方程联立得(1 2𝑘)𝑥2 8𝑘𝑥 6 = 0，结合题设条件求参数𝜆 的范围本题考查直线与圆锥曲线的综合题，解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将求两线段比值的问题转化为坐标比值，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值范围，本题解题过程中把曲线中心移到点(0,2)，重新建系，使得椭圆方程得以简化且给后续解题带来了极大的方便，使问题转化为在𝑘 0上求参数的范围，解题时要注意此类技巧的使用本题综合性强运算较繁 杂，做题时要严谨认真第 19 页，共 19 页