摄像机标定的基本原理、实现及性能分析

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1、学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学 位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省 级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、 保密口，在 年解

2、密后适用本授权书。2、不保密巨|。（请在以上相应方框内打“”）作者签名：邵娅导师签名：年月日年月日摘要1前言21绪论31.1摄像机标定的背景31.2摄像机标定的意义41.3本文研究的内容42摄像机标定的基本原理52.1摄像机成像模型52.2坐标变换72.3摄像机成像公式93传统摄像机标定方法123.1直接线性变换（DLT变换）123.2 Tsai的RAC的定标算法 143.3张正友的平面标定方法173.4孟晓桥、胡占义的圆标定方法194.摄像机自标定方法214.1 基于 Kruppa方程的自标定方法 214.2基于绝对二次曲面、无穷远平面的自标定方法225基于Matlab的摄像机标定的实现 2

3、35.1标定实现标定的流程 235.2标定的实现 235.3实验误差分析276总结和展望276.1总结286.2展望28参考文献29附录 31摄像机标定的基本原理、实现及性能分析i=i摘要：在图像测量过程以及机器视觉应用中，为确定空间物体表面某点的三维几何位置 与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立摄像机成像的几何模型，并由此重建和识 别物体。这些几何模型参数就是摄像机参数。在大多数条件下这些参数必须通过实验与计 算才能得到，这个求解参数的过程就称之为摄像机标定。摄像机参数标定是光学非接触式 三维测量的首要步骤，其结果的精度及算法的稳定性直接影响摄像机工作产生结果的准确 性。本文首先分析了

4、摄像机标定的基本原理，然后重点讨论了摄像机标定的几种方法以及 其实现的过程。摄像机标定的基本方法可以分为两个大类：传统的摄像机标定方法，如直 接线性变换方法（DLT方法）、R. Tsai的RAC方法、张正友的平面标定方法、孟晓桥、 胡占义的圆标定方法、吴毅红等的平行圆标定方法等，以及摄像机自标定方法，如基于 Kruppa方程的自标定方法、分层逐步标定法、基于二次曲面的自标定方法等。还有一些 方法难以归类到这两类中，如主动视觉摄像机标定方法。本文在研究摄像机成像的几何模 型基础上，对这些方法的设计思想进行了分析，完成了摄像机标定的过程，并且分析了几 种方法的优缺点以及使用领域。这些为像机标定的实

5、际应用提供指导，也为进一步选择更 合理的标定方法提供理论和实践参考。关键字：摄像机标定；内参数；外参数；畸变；角点检测Abstract: In the image measurement and machine vision applications, for determining three-dimensional geometry location of one point in the spatial objects5 surface and its relationship between its corresponding points in the images, we need

6、 to build the geometric model of camera imaging and thus reconstruct and recognize objects. The geometric model parameters are camera parameters. In most conditions, these parameters must be obtained by experiment and calculation, and this process of solving the parameters is called camera calibrati

7、on. Camera parameters calibration is the first step in the optical non-contact 3D measurement, and its results5 accuracy and stability of the algorithm directly affect the accuracy of the result worked by the cameras. In this paper, the basic principles of camera calibration are first analyzed, and

8、then we focus on several methods of camera calibration and the process of its accomplishment. The basic methods of camera calibration can be divided into two categories: traditional camera calibration methods, such as direct linear transformation method (DLT method), R. Tsai RAC method, Zhang Zhengy

9、ou plane calibration, Meng Xiaoqiao and Hu Zhanyi round calibration method, Wu Y ihong parallel circular calibration method , as well as the camera self-calibration methods, such as self-calibration based on Kruppa equations method, stratified gradually calibration, self-calibration based on quadric

10、 method, etc. Hardly, some ways are not involved in these two types of methods, such as active vision camera calibration method. In the paper, based on the geometric model of camera imaging, the design of these methods is analyzed, the process of camera calibration is completed, and the advantages a

11、nd disadvantages of several methods with their used field are presented. The camera calibration is provided reference in the practical application, and a more reasonable calibration method which will be further chosen is provided theoretical and practical reference.Keywords: camera calibration; intr

12、insic parameter; external parameters; distortion; corner detection前言计算机视觉的基本任务之一是从摄像机获取的图像信息出发计算三维空间中物体的 几何信息。而空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由 摄像机成像的几何模型决定的。摄像机标定是机器视觉技术1的基础，应用于三维测量、 三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学、机器人手眼等诸 多领域，得到了国内外学者的广泛研究。它是光学非接触式三维测量的首要步骤，是二 维图像获取三维空间信息的关键和必要步骤。无论是在图像测量或者机器视觉应用

13、中，摄 像机参数的标定都是非常关键的环节，其标定结果的精度及算法的稳定性直接影响摄像机 工作产生结果的准确性如基于图像的物体重构、基于图像的测量等。对摄像机标定的研究 来说，当前的研究工作应该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、 快速、准确的标定方法。摄像机标定的分类根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄 像机自标定方法。传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件， 如形状、尺寸已知的标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法， 求取摄像机模型的内部参数和外部参数。不依赖于标定参照物的摄像机标定方法，仅利 用摄像机在运动过

14、程中周围环境的图像与图像之间的对应关系对摄像机进行的标定称为 摄像机自标定方法。自标定方法非常地灵活,但它并不是很成熟。因为未知参数太多，很难 得到稳定的结果。一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时， 传统标定方法为首选。而自标定方法主要应用于精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实 等。然而，不同应用领域的问题对摄像机定标的精度要求也不同，也就要求应使用不同的 定标方法来确定摄像机的参数。例如，在物体识别应用系统中和视觉精密测量中，物体特 征的相对位置必须要精确计算，而其绝对位置的定标就不要求特别高；而在自主车辆导航 系统中，机器人的空间位置的绝对坐标就要高精度测量，并且

15、工作空间中障碍物的位置也 要高度测量，这样才能安全导航本文主要研究的是传统的标定方法。本文对摄像机标定技 术进行了全面地研究和总结，重点讨论了几种典型的摄像机标定的基本原理，以及实现方 法。同时也进行使用标定工具箱来进行摄像机的标定的实验，并在实验完成后分析了误差 出现的原因。另外针对Tasi不考虑畸变的标定方法，本文采用的是来源于“计算机视 觉” Linda G. Shapiro, George C. Stockman著.赵清杰，钱芳等译.计算机视觉M.北 京:机械工业出版社.一书中出现的数据，进行了标定，并出现相应的结果。1绪论1.1摄像机标定的背景近年来，随着微电子技术和光学镜头技术的发

16、展，廉价的高精度数码摄像器材逐渐普 及，应用也越来越广泛，机器视觉技术日趋成熟，在社会生产生活方面日益发挥其重要作 用。如视觉监控，零件自动识别与测量，三维重建，地形匹配，医学影像处理等。摄像机 定标是大多数机器视觉应用必不可少的重要步骤，直接对后续的工作的精度产生重要影响 。而当今机器视觉界的研究热点之一就是研究各种方便实用、灵活和较高精度的相机标 定系统。因此，如何最大限度地提高摄像机定标的精度，对于机器视觉有着重要的理论研 究意义和实际应用价值。摄像机定标技术早就应用于摄影测量学9。摄影测量学中所使用的方法是数学解析 分析的方法，在定标过程中通常要利用数学方法对从数字图像中获得的数据进行

17、处理.通 过数学处理手段，摄像机定标提供了专业测量摄像机与非量测摄像机的联系.而所谓的 非量测摄像机是指这样一类摄像机，其内部参数完全未知、部分未知或者原则上不稳定.摄像机的内部参数指的是摄像机成像的基本参数，如主点（图像中心）、焦距、径向镜头畸 变、偏轴镜头畸变以及其它系统误差参数。不同的应用背景也对定标技术提出了不同的要求.在立体计算机视觉中，如果系统的 任务是物体识别，则物体相对于某一个参考坐标系的绝对定位显得并不特别重要，更重要 的是物体特征点间相对位置的精度.举例来说，在一个基于CAD的物体识别系统中，所研 究的物体上的特征的相对位置必须具有足够高的精度，才能进行有效的匹配和识别.如

18、果 系统的任务是物体的定位，相对于某一个参考坐标系的绝对定位精度就特别重要.例如， 在一个自主车辆导航系统中.自主式移动机器人必须准确地知道其自身的位置、工作空间 中障碍物的位置、以及障碍物的运动情况，才能有效地、安全地进行导航.CCD摄像机M 的上述特点和应用问题的要求使得定标技术、精度和实时性等问题的研究显得特别重要， 同时也导致了研究成果的多样性10。1.2摄像机标定的意义摄像机定标是从摄影测量学中发展出来的，传统的摄影测量学使用数学解析的方法对 获得的图像数据进行处理，随着镜头和电子技术的发展，各种摄像机像差表达式陆续提出 并得到认同和采用，摄影测量学日趋成熟，廉价且精度较高的摄像器材

19、不断出现，上述的 技术发展最终产生了摄像机定标这一个新技术的诞生与发展，适用于各种工业及日常使 用。目前摄像机定标的方法较多，但能够具有较好的定标精度的方法寥寥无几。随着实际 应用的发展，对进一步提高摄像机定标的精度有了更高的要求。因此，科学的发展呼唤有 着更高定标精度的定标方法。研究提高摄像机定标精度的方法符合机器视觉发展的要求。1.3本文研究的内容本文就目前普遍常用的标定方法进行了综合阐述，介绍了摄像机标定的基本原理和几 种比较常见的标定方法。最后实现了基于Matlab使用标定工具的半自动获取标定结果， 该方法以棋盘格作为标定板图样，对于每一幅标定图像，需要人工界定4个角点，完成标 定过程

20、，另外在Tasim的理论基础上，进行了不考虑摄像头畸变的标定简单实验，得出了 摄像机的参数。2摄像机标定的基本原理2.1摄像机成像模型三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉的最主要的研究方向。所谓三维 重建就是指从图像出发恢复出空间点三维坐标的过程。三维重建的三个关键步骤：图像对 应点的确定、摄像机标定、二图像间摄像机运动参数的确定。摄像机成像模型是摄像机定标的基础，确定了成像模型，才能确定摄像机内外参数的 个数和求解的方法。在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被测物体几 何参数。图像是空间物体通过成像系统在像平面上的反映，即空间物体在像平面上的投影。 图像上每一个像素点的

21、灰度反映了空间物体表面某点的反射光的强度，而该点在图像上的 位置则与空间物体表面对应点的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄像机成像系统 的几何投影模型所决定。计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系即为 成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物 体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔模型 主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。小孔成像由于透光量太小，因此需要很长 的曝光时间，并且很难得到清晰的图像。实际摄像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两 种模型具有相同的成像关系，即像点是物点和光心的连线与图像平面

22、的交点。因此，可以 用针孔模型作为摄像机成像模型。在推导成像模型的过程中，不可避免的要涉及到空间直角坐标系，直角坐标系分右手 系和左手系两种。如果把右手的拇指和食指分别指向x轴和y轴的方向，中指指向z轴 的方向，满足此种对应关系的就叫做右旋坐标系或右手坐标系；如果左手的三个手指依次 指向x轴、y轴和z轴，这样的坐标系叫做左手坐标系或者左旋坐标系。本文为简便起 见，使用的坐标系均为右手坐标系。成像平制光心户胃）对于仅有一块理想薄凸透镜的成像系统，要成一缩小实像，物距U,像距V焦距f必 须满足下式：当u远大于f时，可以认为V与f近似相等，若取透镜中心为三维空间坐标系原点， 则三维物体成像于透镜焦点

23、所在的像平面上，如上图所示。图中（X,Y,Z）为空间点坐标，（x, y,-f）为像点坐标，（X ,r,Z ）为以透镜中心即光学中心为坐标原点的三维坐标系。成像平面平行于OXY平面，距光心距离为f。则有(2.1.2)下列关系成立:y=fYZ上述成像模型即为光学中的中心投影模型，也称为针孔模型。针孔模型主要由光心投影中 心、成像面和光轴组成。模型假设物体表面的部分反射光经过一个针孔而投影到像平面上， 也就是就成像过程满足光的直线传播条件，为一个射影变换过程；而相应地，像点位置仅 与空间点坐标和透镜焦距相关。由于成像平面位于光心原点的后面，因此称为后投影模型， 此时像点与物点的坐标符号相反；为简便起

24、见，在不改变像点与物点的大小比例关系的前 提下，可以将成像平面从光心后前移至光心前，如下图所示，此时空间点坐标与像点坐标 之间符号相同，成等比例缩小的关系，此种模型称为前投影模型。本文使用前投影模型， 在实际生活中，大部分摄像机都可以用此模型近似模拟其成像过程。成像平血比心 12.2坐标变换在实际使用摄像机的过程中，人们为了方便计算，常常设置多个坐标系，因此，空间 点的成像过程必然涉及到坐标系之间的相互转化。下面将逐步推导坐标变换的公式以及 坐标变换的相关特性23首先考虑相对简单的二维坐标变换，考虑如下图所示的两个坐标系Oxy和OX y二 其中（x,y）表示点0点在坐标系Oxy中的坐标，两坐标

25、系之间的夹角设为0。则两坐 标系之间的变换可以看作是通过两步完成的：或者是先旋转，再平移；或者是先平移，后 旋转。两种方法得到的最终的表达式是一致的，在这里选择第一种。0图2.2.1二维坐标变换示意图经过简单的推导，可以得出以下同一点新旧坐标之间的关系式:x = x cos。一 y sin 0 + x（2 2 1）0y = x sin 0 + y cos 0 + yio将其转化为矩阵的形式，可以推出下式:xco。-sinsxx =+0y_sin0co。_ yyL 0-1（2.2.2）为更进一步简化公式，这里引入齐次坐标形式。简单地说，给原有的坐标表示添加一个元 素，用1表示该点为非无穷远点，0

26、表示该点为无穷远点，更深入的内容可以参考空间解 析几何的相关内容。引入齐次坐标后，上式可以变为以下形式：Xcos 0一 sin 0ysin 0cos0100(2.2.3)可以看出旋转向量满足正交性，用r1表示第一列，用r2表示第二列，则有下式成立:坐标变换矩阵由三个列向量组成，前两个列向量表示旋转，第三个列向量表示平移。(2.2.4)将坐标变换从二维扩展到三维，情况将稍微复杂一些，但依然可以将坐标变换分解为旋转和平移两个部分，此时旋转角将是一个空间角而不是一个平面角，平移量是一个三维 空间向量而不是一个平面二维向量。对于旋转的空间角，可以将其分解为三个平面旋转角，分别表示绕x轴，y轴和z轴旋转

27、的角度。每一种旋转所对应的变换矩阵如下所示:100 一Rot (x,以)=0 cos 以sin以0 一 sin 以cos以cos p0sin p棚(y,P)=010_ sin p0cos pRot (z,y )=cos ysin y 0sin ycos y 0001(2.2.5)图 2.2.2三维坐标变换示意图这里设新坐标系的原点0坐标变换的齐次坐标形式:在旧坐标系中的坐标为(OX,Oy,O )，则可以得出最终的、cos P sin ysin 以 sin P siny + cos 以 cosycos 以 sin P sin y sin 以 cosy0sin Psin 以 cos Pcos 以

28、cos P0类似地，旋转向量满足正交性，令R = r = (r , r , r , r = (r , r , r ,r111213121222323O=(0,0,0)，则上述公式可以简化为：xJ =z1cos P cosysin 以 sin P cosycos 以 sin P cosy0rr=(3, r , r,令 T =(2333x0J 0z01xyz1(2.2.6)r表示旋转矩阵，其中 ,七,t3表示平移向量，(2.2.7)对于旋转向量，有下式成立:(2.2.8)r 2 = r 2 = r 2 = 123r r = r r = r r = 01223132.3摄像机成像公式有了前述的相关知

29、识，现在可以在忽略畸变影响的前提下推导摄像机成像公式。在 摄像机成像过程中，通常涉及到多个坐标系。它们分别是世界坐标系、摄像机坐标系和图 像坐标系，图像坐标系又分为图像物理坐标系和图像像素坐标系。世界坐标系世界坐标系是可由用户任意定义的三维空间坐标系，一般的三维场景都用这个坐标系 来表示。在摄像机定标中，世界坐标系常设在定标物的表面或在与标定物有着确定的变换关系的位置，从而标定物上特征点的空间世界坐标仅需简单的推导即可得到。摄像机坐标系是以摄像机光心为原点，以垂直于成像平面的摄像机光轴为Z轴建立 的三维直角坐标系。其中该坐标系的X轴和Y轴一般与图像物理坐标系的相应x轴和y 轴平行，两轴所在平面

30、平行于成像平面。图像坐标系分为图像物理坐标系和图像像素坐标系两种。图像物理坐标系的原点为 透镜光轴与成像平面的交点，X与Y轴分别平行于摄像机坐标系的x与y轴，是平面直 角坐标系，长度单位为毫米。图像像素坐标系为固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图 像左上角，坐标轴平行于图像物理坐标系的X和Y轴。对于数字图像，图像像素坐标系为 直角坐标系，长度单位为毫米。2.3.2成像平面的不垂直性示意图摄像机成像可以分为三个阶段，第一个阶段是空间点坐标从世界坐标系变换为摄像机 坐标系，第二个阶段为空间点坐标经过镜头的射影变换转化为像点坐标，在这个过程中由 于光学系统的畸变误差，会使像点坐标

31、产生一定的畸变，从而会对最终的图像造成一定的 畸变。为了校正畸变，对应不同的校正方法，人们提出了许多不同的校正模型。第三个阶 段为图像的形成，通过CCD完成。它使用一种高感光度的半导体材料制成，能把光线转 变成电荷，通过模数转换器芯片转换成数字信号，数字信号经过压缩以后由相机内部的闪 速存储器或内置硬盘卡保存，因而可以轻而易举地把数据传输给计算机，并借助于计算机 的处理手段，根据需要和想象来修改图像。CCD由许多感光单位组成，通常以百万像素为 单位。当CCD表面受到光线照射时，每个感光单位会将电荷反映在组件上，所有的感光 单位所产生的信号加在一起，就构成了一幅完整的画面。CCD每个像素在x和y

32、方向上 分别有着确定的物理尺寸dx和d，表示一个像素为多少毫米，这两个参数近似相等，但 由于制造精度的问题，将会有一定差异。同样地，CCD的坐标轴的夹角接近90度，但不 是完全垂直。下面来推导理想情况下的摄像机成像公式，首先是第一个阶段:cyczc1wywzw1其中，Gw,、,1为空间点的世界坐标系齐次坐标。 系齐次坐标，WR和T分别为旋转矩阵和平移向量。在第二个阶段，空间点变换为像点:X 1y_1 _zc000f（2.2.9）(七,yc, zc,1空间点的摄像机坐标Xcyczc1（2.2.10）其中(x, y,1为像点图像物理坐标系齐次坐标。在第三个阶段，像点坐标将转化为像素坐标:Xo）（2

33、.2.11）其中(u,v,1)T像点的图像像素坐标系齐次坐标。(七,v)为摄像机光学中心在CCD成像平 面上的投影位置。 这样就依靠摄像机各参数，建立了空间点与像素点之间的联系。因此我们可以根据检 测到的点坐标，进而求得摄像机的焦距f，物理尺寸d和d，主点位置(u ,v)，纵横坐 x y00标轴的夹角。总的来说，理想前提下，摄像机的参数可分为内外两种，用于世界坐标系向摄像机坐 标转换的三个旋转角和三个平移量参数为外参数，总共为六个未知量，摄像机的焦距f， 物理尺寸d和d，主点位置(u, v)，纵横坐标轴的夹角e，和起来也是六个未知量。但 x y00是，将成像第二阶段和第三阶段的公式中的矩阵合并

34、到一起，通过简单的变量替换，可以 将六个内参数化为五个内参数。fV0u0(2.2.12)令 a = f ：d p = f ；(d * sin 0)，则最后的成像公式可变为:u0V00Xw(2.2.13):w1因此，理想情况下摄像机定标就是要求解这内外总共11个未知量。3传统摄像机标定方法根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。 还有一些方法难以归类到这两类中，如主动视觉摄像机标定方法。传统的摄像机标定方法包括直接线性变换方法(DLT方法)如、R. Tsai的RAC方法、 张正友的平面标定方法性、孟晓桥、胡占义的圆标定方法2、吴毅红等的平行圆标定方法 等。这些方

35、法的特点是利用已知的景物结构信息。常用到标定块。其优点是可以使用于任 意的摄像机模型，标定精度高。但也存在不足之处，如标定过程复杂，需要高精度的已知 结构信息。在实际应用中很多情况下无法使用标定块。3.1直接线性变换(DLT变换)直接线性变换是将像点和物点的成像几何关系在齐次坐标下写成透视投影矩阵的形 式:XwYwZw1=P3x4XwYwZw1(3.1.1)其中(u,v,1)为图像坐标系下的点的齐次坐标，(X ,Y ,Z )为世界坐标系下的空间点的欧氏坐标，P为3x4的透视投影矩阵，S为未知尺度因子。4=(p.)，消去S,可以得到方程组：3X4p X + p Y + p Z + p -p uX

36、 -p uY -p uZ -p u = 0(3.1.2) 11 w12 w13 w1431w32 w33w34*p X + p Y + p Z + p -p uX -p uY -p uZ -p u=021 w22 w23 w1431w32 w33w34当已知N个空间点和对应的图像上的点时，可以得到一个含有2* N个方程的方程组：AL=0(3.1.3)其中A为(2N *12)的矩阵，L为透视投影矩阵元素组成的向量p , p , p ,p , p ,p , p ,p , p , p , p , p ,1。像机定标的任务就是寻找合适的L,使得111213142122232431323334|al|为

37、最小，即min|给出约束：L(3.1.4)”34 TL = -(CtC CtBL为L的前11个元素组成的向量，C为A前11列组成的矩阵，B为A第12列组成的向 量.约束34 = 1不具有旋转和平移的不变性，解将随着世界坐标系的选取不同而变化。证 明如下：世界坐标系作刚性坐标变换(3.1.5)则p，= p t + p t + p t + p。显然在一般的情况下，p丰p3431 132 233 3343434另一个约束p2 + p2 + p2 = 1具有旋转和平移的不变性313233图3.1.1向量位置关系向量R , R , R是两两垂直的单位向量，123有 C0S2 0 + C0S2 0 + C

38、0S2 0 = 1。3.2 Tsai的RAC的定标算法80年代中期Tsai提出的基于RAC的定标方法是计算机视觉像机定标方面的一项重要 工作，该方法的核心是利用径向一致约束来求解除（像机光轴方向的平移）外的其它像机 外参数，然后再求解像机的其它参数。基于RAC方法的最大好处是它所使用的大部分方程 是线性方程，从而降低了参数求解的复杂性，因此其定标过程快捷，准确。RAC的定标算法主要内容有像机模型、径向一致约束、定标算法.世界坐标系和摄像机坐标系的关系:(3.2.1)在Tsai的方法中，K取作:r f，。，。K = 0, f ,v。I 0, 0, 1 J(3.2.2)理想图像坐标到数字图像坐标的

39、变换（只考虑径向偏差18,1 初如下页图3.2:(x - u )(1+ k (u2 + V2) = u - u(y - V )(1+ k (u2 + V2) = v - v c1c(u,v)为一个点的数字化坐标，(x,y)为理想的数字化坐标，（3.2.3）（u ,v ）为畸变中心。（1）径向一致约束在图像平面上，点G , y ) , (x,y), (u,v)共线，或者直线(x , y ) (x,y)与直线(x , y ) c cc cc c(u,v)平行或斜率相等，则有：x 一 uc.y 一 vcu - uc.v 一 vc(3.2.4)通常把图像中心取作畸变中心和主点的坐标，因此:(3.2.5

40、)(2)定标算法定标步骤一：求解像机外参数旋转矩阵R和向x,y方向上的平移t七根据：其中，得到:(3.2.6)、rrrt1231rrr,t =t4562rr叮JU J，f 久0, u0 0, f, v0I 0, 0, 1 Jfs (rX + r Y + rZ +1 )x =123+ urX+rY+rZ+t07893 、f (rX + rY + rZ +1 )y = 456+ vrX+rY+rZ+t07893(3.2.7)再根据式(3.2.5)得到：s(rX + rY + rZ +1 ) u u 123= 0r X + rY + rZ +1v v45620由至少7组对应点，可以求得一组解：(3.

41、2.8)(m, m , m, m , m, m , m , m12345678)a(sr,sr,sr,st,r,r,r,t )1231 4 5 6 2(3.2.9)由 r2 + r2 + r2 = 1可对 M 除以 c = x：m 2 + m 2 + m2，则得到一组解(sr, sr , sr, st, r , r , r , t )。 05671231 4 5 6 2求出S，从而t也可以被解出。1(r , r , r )= (r, r , r )x(r , r , r )7 8 91 2 34 5 6(r , r, r )= (r , r , r )x(r, r , r )7 8 94 5

42、61 2 3根据 det(R)=1,来选择(r ,r ,r)。 7 8 9定标步骤二：求解有效焦距f、z方向上的平移t和畸变参数k；3令k=0作为初始值，则式(3.2.7)为:X - u0 = u - u0y -七=v -七(3.2.10)由式(3.2.7)中x,y的表达式，可以将第一步求出R，. 12的值代入得：(u u )(r X + rY + rZ +1 )= fs (rX + r Y + rZ +1)。 78931231(3.2.11)|(v v )(r X + rY + rZ +1 )= f (r X + rY + r Z +1 ) 078934562由此可以解出f, t3.将求出的

43、f, t3.以及k=0作为初始值，对下式进行线性优化：| 曾 X + . + r3Z + ? ( + k (u2 + v2 )= U - U rX+rY+rZ+t0=3)幅图像之间 有N(N-1)个Kruppa方程，其中只有5N-9个方程是独立的。4.2基于绝对二次曲面、无穷远平面的自标定方法将世界坐标系取作第一个摄像机的坐标系，则绝对二次曲面13.14 是：/10、0.10YKi0T0a T1 八0 T1 八 0 T0 八 0 T1 ) y a T1 )=fK1KTK1KTa V.DaT K K T aT K K t a )其中K1是第一个摄像机的内参数，a是无穷远平面的法向量oPr(I 0

44、)，巴r(H. e.),i = 2, A, N，是射影重建，则绝对二次曲面标定方程有：1ZKKtr (H , e ) Q (H , e )t r (H ,e ) KK b (H ,e )t，i = 2, A,N(4.2.2) i i i ii ii i b 1 i i第1幅和i幅图像之间的无穷远平面的单应矩阵是：H + eaT，i = 2,A,N。基于无穷远平面单应矩阵的标定方程是：(4.2.3)K Kt r (H + e aT) K Kt (H + eaT )t，i = 2, A, Ni ii i11 i i由绝对二次曲面的标定方程或无穷远平面的标定方程可以推出Kruppa方程。反之， 对K

45、ruppa方程添加一个方程后，可以推出绝对二次曲面的标定方程或无穷远平面的标定 方程。因此，基于绝对二次曲面的标定方程与基于无穷远平面的标定方程完全等价。5基于Mat lab的摄像机标定的实现5.1标定实现的流程图5.1.1标定实现流程图本次实验完成了两种标定方法，第一种基于MATLAB使用了 calib_toolbox工具实 现的标定，这里所用到的图片可以是摄像机拍摄出来的一组对同一物体不同位置和姿势 的图片。本实验为了观察方便，实现的是14 14黑白相间的棋盘状网格标定，并给出了标 定参数。另外一个实验是根据Tasi没有考虑摄像头畸变的标定，CCD阵列中感光元的横 向间距和纵向间距被认为是

46、已知，其数值是靠摄像机厂家提供的，因此角点检测的结果 已经完成。因此第二个实验只需要的三维空间坐标系与摄像机坐标系之间的外参数旋转 矩阵R和平移向量T,以及摄像机焦距f.5.2标定的实现实验一：运用calib_toolbox工具实现标定 运行Matlab，并将toolbox_calib文件夹添加到matlab path环境中。再运行标定主函 数calib_gui,调用函数calib_gui.m，屏幕将出现下面界面：Standard (all the images are stored in memory)Memory efficient (the images are loaded one b

47、y one)图5.2.1摄遍标定工具模式菜单选择其中一种模式，调用函数calib_gui_normal.m,将出现:J Canera Calibration Toolbox Standard Version11 C II XImage namesRead imagesExtract grid comersCalibrationShow ExtrinsicReproject on imagesAnalyse errorRecomp, cornersAdd/Suppress imagesSaveLoadExitComp. ExtrinsicUndistort imageExport calib d

48、ataShow calib results图5.2.2标定工具个子菜单即可以使用工具箱进行标定了。读入图片，调用ima_read_calib.m,则会出现以下情况:键入图片名，Image,以及图片格式tif,则完成图片读取，调用的是 check_active_images.m.并出现所以标定图片的缩略图。进行图像角点提取，调用了以及click_ calib.m以及click_ima_calib.m对20张图片都 进行同样的操作，可以得到20张类似于下图的有交角点的图形。同时也生成带有角点检 测完成后的图像中图5.2.5提取角点图像图5.2.6角点检测图像角点提取完成后调用go_calib_op

49、tim.m以及调用的go_calib_optim_iter.m,摄像机的标 定结果就会出现。主要程序编写如下：Minit_param;%d对需要计算的参数进行初始化；Maxlter=30;%设置迭代次数；while(changele-9)&(iterVMaxlter),%使用最优化方法进行迭代求解 f=param(1:2);%计算的结果作为下一次迭代的初值Moomp_error_calib;%计算估计值的误差;end;标定完成后可以得到摄像机内部和外部参数。外部参数参考如下(计算参数程序主要在go_calib_optim_iter.m)：标定完成后同时也可以和观察到摄像机外部参数，根据已知的标

50、定模板上网络顶点的位置 坐标以及提取到的图像上网络顶点的坐标，可以计算出摄像机参数。实验得出结果为Extrinsic parameters (camera-centered)Remove camera reference frameSuuitch to imorld-centered viewExtrinsic parameters (world-centered)2500 -2000 -Switch to camera-centered view图5.2.7像机坐标系观察的外部参数图5.2.8世界坐标外部参数内部参数结果如下:匚 al i brat i on r ets :if ter op

51、 t i m i z at i on 3 i th ijhc er tai nt i es ):Fdc：al Length：cFr i nc i p ：1 p o i nt:ccSkew:alpha_cDi storti on：kcFixel error:err662.49520664.67732 1.434011.54262 306.51290241.75117 2.834852.60829 0. 00000 0. 00000 =) ：iLgle o pixel :e e-0. 273080. 320250. 00LI500. 0LILI28 0. OOliliO 0.590630.4218

52、4 190. 000000. 00000 degi-eez0.011440. 047290. 000640. 00067 0. LiOOLiO Note ： The nuiri er i c al err or s：di_e approximately tbLree times the st:arid：!-d devi ati oils (.for reference.I.畸变这结果是优化之后的结果，其中包含了有效焦距fc、主点cc、扭曲系数alpha_c、 系数kc、以及误差err。点击误差分析按钮，调用analyse_error.m则出现以下图片:图5.2.9误差分析图最后保存结果以及显示

53、标定结果程序。实验二：Tasi的没有考虑畸变的标定 由于实验二比较直接简单因此不做大量讲述，主要的程序见附录。实验结果为:Ty = -5.7803Tx =-5.0000Tx =-0.0000 - 5.8008if = 0.0000 + 0.5018i1.0000-0.00000.0000 + 0.0000i1.15610.0000 + 0.5801i-0.0000 - 0.0000i-0.0000 - 0.5801i1.15610.0000 + 0.5018i-0.0000 - 5.8008i本实验是没有考虑畸变的实验，没有偏差系数，因此只需要求出了外参数旋转矩阵R以 及在x,y,z方向的平移Tx，Ty，Tx，以及焦距f。5.3实验误差分析在本实验中，误差分析可以分为系统误差以及偶然误差。系统