专题10三角函数的图像和性质

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1、0 0 0 专题 10 三角函数的图像和性质（解析版）易错点 1： 注意符号对三角函数性质的影响要注意求函数 y=Asin(x+)的单调区间时 的符号，尽量化成 0 时的情况. 易错点 2：在函数变换后，在具体某个定义域区间内，不能准确、快速地求出函数的最大值 或最小值或值域，或根据函数的最值求函数某个参数的最值或具体值。三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最 值是错误的。求函数 y=Asin(x+)在 xm，n上的最值，可先求 t=x+ 的范围，再结合 图象得出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.易错点 3：不熟悉复合形式的三角函数的单调区间的

2、求法.函数 y=Asin(x+)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x+看作一个整 体.若0，0 jp，直线 x =图像的两条相邻的对称轴，则j=（ ） 3 A B C D4 3 2 4p 5p和 x =4 4是函数 f ( x ) =sin(wx +j)【解析】由题设知，p 5p p p p= - ， w=1， +j=kp+ （ k Z ）， w 4 4 4 2j=kp+p p（ k Z ）， 0 jp，j = 4 4，故选 A.3（2017 新课标）设函数f ( x ) =cos( x +p3)，则下列结论错误的是（ ）Af ( x )的一个周期为-2pBy = f ( x )的图像

3、关于直线x =8p3对称Cf ( x +p)的一个零点为x =p6Df ( x)在(p2,p)单调递减【解析】f ( x) =cos( x +p3)的周期为2 kp，k Z，所以 A 正确；f (8p3) =cos3p=-1，所以 B 正确；设g ( x) = f ( x +p)=cos( x +4p p 3p ) ，而 g ( ) =cos =03 6 2，C 正确；选 D4(2018 全国卷)若f ( x) =cos x -sin x在-a, a 是减函数，则 a 的最大值是( )第 2 页 共 8 页 A4B23C D. 4【解析】解法一f ( x) =cos x -sin x = 2

4、cos( x + )4，且函数y =cos x在区间0, p上单调递减，则由0 x +p p 3p p，得 - x 4 4 4因为f ( x )在-a, a p-a - 4上是减函数，所以 3pa 4，解得pa ，4解法二 因为f ( x) =cos x -sin x ，所以 f(x) =-sin x -cos x，则由题意，知f(x) =-sin x -cos x 0在-a, a 上恒成立，即sin x +cos x 0，即2 sin( x +p4) 0，在-a, a 上恒成立，结合函数py = 2 sin( x + )4 p -a + 0 4 的图象可知有 pa + p 4p p ，解得

5、a ，所以 0 0，函数f ( x) =sin(wx +p p ) 在 ( , p)4 2单调递减，则 w 的取值范围是( )A1 5 , 2 4B1 3 , 2 4C1(0, 2D(0,2【解析】函数f ( x) =sin(wx +p4)的图像可看作是由函数f ( x) =sin x的图像先向左平移p4个单位得f ( x) =sin( x +p4)的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1w倍，纵坐标不变得到的，而函数f ( x) =sin( x +p p 5p ) 的减区间是 , 4 4 4，所以要使函数p pf ( x) =sin(wx + ) 在 ( ,4 2p)p 1 p 4 w

6、 2上是减函数，需满足 5p 1 p4 w，解得1 5 w 2 4故选 A第 3 页 共 8 页6（2016 全国 I）已知函数f ( x) =sin(wx+ j)(w 0，j ), x =-24为f ( x )的零点，x =4为y = f ( x)图像的对称轴，且f ( x ) 5 在 ( ， ) 单调，则 w 的最大值为（ ） 18 36A11 B9 C7 D5【解析】因为x =-p4为函数f ( x )的零点，x =p4为y = f ( x )图像的对称轴，所以p kT T 2p p 5p = + （ k Z ， T 为周期），得 T = （ k Z ）又 f ( x ) 在 ( ,2

7、2 4 2k +1 18 36)p 11 p p 5p单调，所以 T , k ，又当 k =5 时， w =11,j=- ， f ( x) 在 ( , )6 2 4 18 36不单调；当 k =4 时，w =9,j=p p 5p ， f ( x) 在 ( , )4 18 36单调，满足题意，故 w =9 ，即 w 的最大值为 97（2014 新课标）在函数y =cos | 2 x |，y =|cos x |，y =cos(2 x +p6)，y =tan(2 x - Ap4)中，最小正周期为 p的所有函数为( ) BCD【 解 析 】 y =cos | 2 x |， 最 小 正 周 期 为 p

8、； y =|cos x |， 最 小 正 周 期 为 p ； y =cos(2 x +p p p ) ，最小正周期为 p； y =tan(2 x - ) ，最小正周期为6 4 2最小正周期为p的函数为题组二：三角函数图像的变化8（2017 新课标）已知曲线C ： y =cos x ，C ： y =sin(2 x +1 22p3)，则下面结论正确的是( )A把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移p6个单位长度，得到曲线C2B把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 1p12个单位长度，得到曲线C2第 4 页 共 8 页(

9、 ) k C把C11 p上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2 6个单位长度，得到曲线C2D把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 11 p 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 12个单位长度，得到曲线C2【解析】把 C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C2： y =sin(2 x +2p p 2p p p ) =cos -(2 x + ) =cos -(2 x + ) =cos(2 x + )3 2 3 6 6则由C11 p图象横坐标缩短为原来的 ，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲2 12C线选 D29（2016 全国 II）若将函数y =2sin

10、2 x的图像向左平移p12个单位长度，则平移后图象的对称轴为Ax =kp p kp p- ( k Z ) B x = + ( k Z ) 2 6 2 6Ckp p kp px = - ( k Z ) D x = + ( k Z ) 2 12 2 12【解析】函数y =2sin 2 x的图像向左平移p12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式 k 为 y =2sin 2 x + ，令 2 x + =k + ，解得 x = + k Z ，所以所求对称轴 12 12 2 2 6的方程为 x =+ (kZ)，故选 B 2 610（2016 年全国 III）函数y =sin x - 3 cos x的图像

11、可由函数y =sin x + 3 cos x的图像至少向右平移_个单位长度得到【解析】函数py =sin x - 3 cos x =2sin( x - )3的图像可由函数y =sin x + 3 cos x=2sin( x +p3)的图像至少向右平移2p3个单位长度得到11（2013 新课标）函数y =cos(2 x +j)(-pjp)的图象向右平移p2个单位后，与函数y =sin(2 x +p3)的图象重合，则j =_第 5 页 共 8 页【解析】 函数y =cos(2 x +j)p，向右平移 个单位，得到2py =sin(2 x + )3，即y =sin(2 x +p p) 向左平移 个单

12、位得到函数 3 2y =cos(2 x +j)，p py =sin(2 x + ) 向左平移 个单位，3 2得p p p p p py =sin2( x + ) + =sin(2 x +p+ ) =-sin(2 x + ) =cos( +2 x + )2 3 3 3 2 3=cos(2 x +5p 5p ) ，即 j=6 6题组三：根据三角函数的图像确定解析式12 （2015 新课标）函数f ( x ) =cos(wx +j)的部分图像如图所示，则f ( x)的单调递减区间为（ ）A( kp-1 3 , kp+ )4 4，k ZB1 3 (2 kp- ,2 k p+ )4 4，k ZC1 3(

13、 k - , k + ) ， k Z 4 4D(2 k -1 3,2 k + )4 4，k Z【解析】由图象可知w p 5 3p +j= +2 mp， +j= +2 mp4 2 4 2，m Z，所以w =p,j=p4+2 mp, m Z，所以函数f ( x) =cos(px +p p +2 mp) =cos(px + )4 4的单调递减区间为，2kppx+p 1 3 2 kp+p，即 2 k - x 0,w 0)的部分图象如图所示，则第 6 页 共 8 页0, p ( w 【解析】由图可知：A =2，T 7p p p 2p = - = ，所以T =p， w= =24 12 3 4 T，又函数图

14、象经过点(p3,0)，所以2 p3+j=p，则j=p3，故f ( x) =p2 sin(2 x + )3，所以f (0) = 2 sinp3=62题组四：利用三角函数图像求零点问题14.（2019 全国理 11 改编）关于函数 f ( x) =sin | x | +| sin x |在 -p,p有_个零点.【解析】f ( -x) =sin -x +sin(-x)=sin x +sin x = f ( x)，则函数f ( x )是偶函数，当0 x p, f ( x ) =sin -x +sin (-x)=2sinx，由f (x)=0得2sin x =0,得x =0或x =p，由f ( x)是偶函

15、数，得在-p,0)上还有一个零点x =-p，即函数f ( x ) 在 -p,p上有3个零点15.(2018 全国卷)函数pf ( x ) =cos(3x + )6在 的零点个数为_【解析】由题意知，cos(3 x +p6) =0，所以3x +p p= +k6 2p，k Z，所以x =p kp+9 3p 4p， k Z ，当 k =0 时， x = ；当 k =1 时， x = ；9 9当 k =2 时， x =7p9，均满足题意，所以函数f ( x ) 在 0, p 的零点个数为 316.（2019 全国理 12 改编）设函数pf ( x ) =sin(wx + ) w 05)，已知 f (x

16、)在0,2p有且仅有 5 个零点， 的取值范围是_.【解析】当x 0,2p时，wx +p5p p , 2pw+5 5，因为f ( x )在0,2p有且仅有 5 个零点，所以5p2pw6p，所以12 29w 5 10.17 函数y =1x -1的图像与函数y =2sinpx ( -2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于_.【解析】图像法求解y =1x -1的对称中心是 (1,0) 也是y =2sinpx ( -2 x 4)的中心，第 7 页 共 8 页-2 x 4他们的图像在x =1的左侧有 4 个交点，则x =1右侧必有 4 个交点不妨把他们的横坐标由小到大设为x x , x , x , x , x , x , x 1, 2 3 4 5 6 7 8，则x +x =x +x =x +x =x +x =2 1 8 2 7 3 6 4 5，所以选 D第 8 页 共 8 页