二次根式复习讲义

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1、二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如11的式子叫二次根式，其中叫被幵方数，只有当-是一个非负数时，/-:才有意义.【典型例题】【例 1 】下列各式（1） , 1,2）、,=,3）X1、 下列各式中，一定是二次根式的是（）A、. aB、，:TOC、 . a 1D、丁2、 在 苗、疏、声1、后7、胎中是二次根式的个数有 个【例2】若式子 有意义，则x的取值范围是Jx - 3举一反三： 使代数式有意义的x的取值范围是（）x -4A、x3B、x3C、x4D、x3 且 x 羽 使代数式、.-x2,2x-1有意义的x的取值范围是 3、如果代数式.1有意义，那么，直角坐标

2、系中点 P （m，n）的位*mn置在（） 2,4）.,4,5）、（-；）2。仁,7） a2 -2a 1 ,其中是二次根式的是 （填序号）.举一反三：A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】若 y=、x 一5 +- x +2009，贝U x+y=x5 _ 0解题思路：式子 苗 (a 为),i , x = 5 , y=2009，贝U x+y=20145-xKO举一反三：1、若 .1 X =(x y)2，则 x y 的值为()A1 B . 1 C . 2 D . 32、若x、y都是实数，且y= -2x -3二3 -2x 4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，

3、并求出这个最小值。4、已知a是.5整数部分，b是.5的小数部分，求 的值。b + 25、若.3的整数部分是a，小数部分是b，贝V .、3a-b二。2 +丄6、 若17的整数部分为x，小数部分为y，求X 的值知识点二：二次根式的性质【知识要点】71.非负性：. a(a_0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( .a)2-0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a = ( a)2(a _0)$ 嘗0)注意：(1)字母不一定是正数.(2)能幵得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)

4、可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4. 公式a2 =|a|与( .a)2 =aa 0)的区别与联系l-a(acO)(1) ,a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) C.a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) -,a2和C.a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】例 4】若 a-21 b3 +(c-4 ) =0,则 a-b + c=.举一反三：1、若.m -3 (n 1)2 =0，贝卩m n的值为2、已知x,y为实数，且、x-1，3y-22 = 0，则x-y的值为()A. 3 B. - 3 C. 1 D. - 1

5、3、 已知直角三角形两边x、y的长满足| x2 4 | + y25y 6 = 0，贝U第三边长为. 20054、若a_b 1与-a 2b 4互为相反数，则 a_b 二。at二:二次舉武曲性*2(公式(-.a)2二a(a0)的运用)【例5】 化简： b3)2的结果为()A、42aB、0C、2a 4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式:x23二 ； m4m2 4 =2、化简：3 - . 3 1 - . 3sb :3、已知直角三角形的两直角边分别为 .2和.5，则斜边长为(公式F=；a =抄30)的应用) a(a 0)例 6】已知x ：2 ,则化简.x2 -4x 4的结果是A x -2B、x

6、 2C、x 2D 2 x举一反三：1、根式U-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C . 3D. 92、 已知a4 B(B) 1$(C) x1,(Ty x丽好 的值是常数a w 2 C. 2 w a w 4(D) x W2，贝9 a的取值范围是D. a=2 或 a = 4【例9】如果aa2 -2a 1 =1，那么a的取值范围是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. aW1举一反三：1、如果a 、a2-6a 9=3成立，那么实数a的取值范围是()2、若、(x -3)2 x -3 = 0 ,则x的取值范围是()(A) x 3( B) x 3(C) x_3(D) x3【

7、例10】化简二次根式a -a 22的结果是V a(A)、-a_2(B)-二a_2(C) . a - 2(D)_、a_21、把二次根式a -化简，正确的结果是() aA. ；aB. aC. - aD. . a2、把根号外的因式移到根号内：当b 0时，以=; (aT)J1xM- a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义：被幵方数是整数，因式是整式；被幵方数中不含能幵得尽方的数或因式;分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)几个二次根式化成最简二次根式后，如果被幵方数相同，这几个二次根式 就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】

8、【例11】在根式1) Ja2 +b2 ;2) Jf;3) Jx2 xy;4)27abc，最简二次根式是(A. 1) 2)B. 3)4)C. 1) 3)D. 1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三:745a,術2 丄，40b2,廂，对 17(a2 +b2)X 2的最简二次根式2、下列根式中，不是 最简一次根式的是(A.73、下列根式不是最简二次根式的是(A.a2 1B. 2x 12bc. 43ab(2) 2(3) x?y?(4) a _b(a . b)(5)55、把下列各式化为最简二次根式:(1) 12(2)45a2 b【例12】下列根式中能与.3是合并的是（）A. 8B. 27C

9、.2 5 D.举一反三:1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（A、-、3和18B、-、3和C、 、0E和ab22、在二次根式：-12 :.23 :：27中，能与3合并的二次根式是。3、如果最简二次根式. 3a -8与7 - 2a能够合并为一个二次根式，则a=.知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两 个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: 单项二次根式：利用、a、a二a来确定，如口：、a与. a , . a b与, a b , ab与

10、,a -b等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。 如a .6与a ，-, 与、a - . b，a、.x - b. y与a., x-b. y分别互为有理化因式。3. 分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根式或有理式【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化(1)1.48-4 33 7【例14】把下列各式分母有理化(1)2X8x3ya2b2【例15】把下列各式分母有理化:(1)22 -1(2)5、3、5 - .33 33.2-2 3举一反三:1、已知厂23求下列各式的值:

11、(1)3 (2) xf y2x y2、把下列各式分母有理化:(1)a -b.a ;b.a2 - “ a2a2 一 a-2b- a2 b2 b 、 a2 b2小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：；=与 ；1j-J - 与：G -弋；二一H与仃一；知识点五：目：与上.一次根式计算一次根式的乘除【知识要点】1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。slabVb （ a 为,b 为）2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算 术平方根。4a b =需？ . （a 为,b 为）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方

12、根除以除式 的算术平方根&卷（a 初，）4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术 平方根。兴弋（a初，b0 ）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变 形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二 次根式.【典型例题】【例16】化简(1) .9 16(2) 16 81(3).5 2-15 9x2y2 ( x 一 0, y 一 0 )(5) ； X. 6 2.,3【例17】计算（1 ）736x256(4)4少(5)2753历(8)【例18】化简:(1)(a 0,b _0)64b29a264yr (xZ0,y0)(4

13、)5x169y2(x -0,y0)832例 19】计算：（1厂123X . x例 20】能使等式*2. X -2成立的的14x的取值范围是（A、x 2 B、x00沁乞2 D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被幵方数相同的二次根式 （即同类二次根式） 的系数相加减，被幵方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式， 通常是先化成最简 二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被幵方 数应不含分母，不含能幵得尽的因数【典型例题】【例 20 】计算（1） -，2；75 2、0.5.；5（3）恐打贰5/245 ；(4)2

14、后-272后一五7而【例21 】(i)3、r = 4 -，：2y2”x_y 4x+4y(3) 1、. 27a3 -a23 +3aJa _aJl08a ( 4)(2)_a=b_ . a - 一 b va+vba-b1忑-泡-a2(6)xX(-3 Ja3b)壬2(5) J81a48 ) 5aVa + 3(4a5 a知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;【典型习题】2 0bo时，贝y：b【典型例题】例 22】 比较3、5与5、語的大小。(用两

15、种方法解答)【例23】比较:与丄的大小例 24】比较门5 - 14与门4 - 13的大小。【例25】比较-7 一6与 6 一 5的大小例 26】比较“ . a J畔 化简二次根式号后的结果是 .与-87-3的大小二次根式典型习题集一、概念(一) 二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：近、逅、丄、仮(x0 )、頁、x4 2、 、- 2 -、. x y (x 0，y? 0).x + y(二) 最简二次根式1 把二次根式* x (y0)化为最简二次根式结果是().A . x (y0) B .、xy (y0) C 旦(y0) D .以上 Jyy都不对2. 化简 Jx4 +x2y2 =.

16、(x 0)4. 已知xy）O，化简二次根式xj孚的正确结果为.（三）同类二次根式1. 以下二次根式：,12 ;、,22 :2 ；.27中，与,3是同类二次根式 的是（）.A .和 B .和 C .和 D .和2. 在,8、-1 ；虧-1 ,75a、2 .9a、.125、37、3、.0.2、-21 中，与、.丽 是同类二33aV8a、次根式的有3. 若最简根式3af 4a 3b与根式 2ab b3 6b2是同类二次根式，求 a、b的值.4. 若最简二次根式23m2 2与F4m2 -10是同类二次根式，求 m n的值.3（四）“分母有理化”与“有理化因式”1. Q+75的有理化因式是 ; x- J7的有理化因式是 .- 后T-的有理化因式是.2）1-（3）2- 123 ；（3）6千；2. 把下列各式的分母有理化