时间序列分析讲义第01章差分方程

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1、第一章差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。1.1一阶差分方程假设利用变量yt表示随着时间变量t变化的某种事件的属性或者结构，则yt便是在时间t可以观测到的数据。假设y受到前期取值y和其他外生变量w的影响，并满足下述tt1t方程：y“0+乜y,+w(1.1)t01t1t在上述方程当中，由于y仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值y，因此称具有tt1这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量

2、w是确定性变量，则此方程是确定性差分t方程；如果变量w是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设wtt是确定性变量。例1.1货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为m、I、r和r,则可以估计出美国货币需求函数为：ttbtctm，0.27+0.72m+0.191一0.045r一0.019rtt1tbtct上述方程便是关于m的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断t其他外生变量变化对货币需求的动态影响。1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算

3、出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：t，0:y，0+0y+w001一10t，1:y，0+0y+w1 0101t，t:y=0+0y+wt01t一1t依次进行叠代可以得到：y，0+0(0+0y+w)+w，0(1+0)+(0)2y+0w+w10101一101011一1101y，0(1+0+02)+03y+02w+01w+0w2 0111一1121110(1.2)yt，0001+01ty-1+01iwii，0i，0上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将y表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看

4、出y对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。1.1.2.差分方程的动态分析：动态乘子(dynamicmultiplier)在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如w0的变化对t阶段以后的y的影响。假设初始值y和w，,w不受到影响，则有：一11t(1.3)工=t,w10类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到：,ytj=1(1.4),w1t上述乘子仅仅依赖参数1和时间间隔j，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。例1.2货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即,m,m,w.,wt2=t2匚=2匸,I

5、,w,I1,Itttt利用差分方程解的具体系数，可以得到：$=0.19,=0.72,I1t从而可以得到二阶乘子为：,m4=0.098,It注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。定义1.1在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为y相对于外生扰动w的反应函数:tt,yL=tj二0/，j=0，1，(1.5)j,w1t显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1的取值。(1) 当01时，反应函数是单调收敛的；(2) 当-10时，反应函数是震荡收敛的；(3) 当11时，

6、反应函数是单调扩张的；(4) 当1-1时，反应函数是震荡扩张的；可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性:当|1|t不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响t为边际导数:6(卩jy)/Qw，卩j+j，卩jj，-，I卩01tts也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于(t+j)时刻的y的影响乘数是：(1.7)yyy+t+i+，oj+0j1+00www111tt+1t+j当|01|1时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响十y.yy.、1(1.8)lim(tJ-+1tj-)，j-wtwt+1wt+j101例1.3货币需求的长期收入弹性在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求

7、函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：dmdmdw0.19匚，jj，0.68dIdwdI10.72ttt这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于y以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为：仝y.1，j,0wt10t(1.9)由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。1.2p阶差分方程如果在方程当中允许y依赖它的p阶前期

8、值和输入变量，则可以得到下述p阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：yt，01yt1+02yt2+0yptp为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：g，fg1+vtt1t其中：(1.10)(1.11)yt1yt2010203010123p1p10000F=01000yt-p+1wt0，v,0t04其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程：j=1，2,，p5将p阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它可以进行比较方便的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F的第一行上。#进行向前叠代

9、，可以得到差分方程的矩阵解为：g=Ft1gFtvFt，1VF1Vv(1.12)t，101t，1t利用f(t)表示矩阵Ft中第i行、第j列元素，贝y方程系统(1.中的第一个方程可以表ij(t1)yf(t1)yf(t1)y11丿，112丿-21p丿示为：f(t)Wf(t-1)WfWW11011111t，1t(1.13)需要注意，在p阶差分方程的解中需要知道p个初值：(y,y,y)，以及从时，1，2，p刻0开始时的所有外生变量的当前和历史数据：(W,W,W)。01t由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为：g=Fj1gFjVFj，1VFv.V(1.14)tjt，1tt

10、1tj，1tj类似地，表示成为单方程形式：=f(j1)yf(j1)yf(j1)y/11t-112t-21pf(j)Wf(j，1)Wf(1)W11t11t111tj-1利用上述表达式，可以得到p阶差分方程的动态反应乘子为yL=tj=f)，j=O，1，jW11t由此可见，动态反应乘子主要由矩阵Fj的首个元素确定。ytjf(j1)yt-112t-pWtj(1.15)6例1.4在p阶差分方程中，可以得到一次乘子为：yL=t+1=f(1)=F=1W11111t二次乘子为：yL=4=f=F2二2+1W111112t虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示贝更为方便，主要能够

11、更为方便地求出矩阵Fj的首个位置的元素。根据定义，矩阵F的特征根是满足下述的九值：IF-九I1=0(1.16)一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。例1.5在二阶差分方程当中，特征方程为：(一九)X丿中2=沁一九一=01-九122412(1.17)具体可以求解出两个特征根为:九1=211242，九2=上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。距阵F的特征根与p阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：命题1.1距阵F的特征根满足下述方程，此方程也称为p阶线性差分方程的特征方程:九p_九p，1_九p2_._九_=012p，1p证明：根据特

12、征根的定义，可知特征根满足：IF-XI|p(%-九)e21-X01ee3 p-100X0ep000X对上述行列式进行初等变化，将第P列乘以(1/X)加到第p1列，然后将第p1列乘以(1/X)加到第p2列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：xpexp1exp2.一exe=012p1p这便是所求的p阶线性差分方程的特征方程。END如果知道p阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。1.2.1 具有相异特征根的p阶线性差分方程的通解根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T

13、将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根：F=TAT1，diag(X,X)(1.18)1p这时矩阵F的乘级或者幂方矩阵可以简单地表示为：Fj=(TAT1)j=TAjT1，Aj=diag(Xj,Xj)(1.19)1p(1.19)(1.20)假设变量t和tj分别表示矩阵T和T1的第i行、第j列元素，则可以将上述方程利用ij_t11t12t1pXj1000_t11t1211pFjt21t22t2.p0Xj200t2pt2212ptp1tp2tpp000Xjptp1tp2tpp矩阵形式表示为：从中可以获得：F(j)(t111)Xj(t121)Xj(ttp1)Xj111111221ppcXjcXjcXj

14、1122pp其中：Cttj1，j0,1,，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明):j1jCCC112p具有上述表达式以后，在差分方程的解：ytj.f11)yt,+f21)y/11t112f(j)wf(j1)11t11f(j+1)yt21ptpwf(1)wwt111tj1tj(1.15)8中可以得到动态乘子为：Qy,L3jQwtf(j)cXjcXj卜cXj，j0,1,111122pp(1.21)#究竟系数序列c.取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。命题1.2如果矩阵F的特征根是相异的，则系数c.可以表示为:(1.22)Xp1ciin(X.-xk)ikk=1,kHi证明：由于假设矩阵F具有

15、相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量t为：it=九P-打九P-25*九51，i=1,2,Piiii其中九是矩阵F的第i个特征根。i经过运算可以得到：Ft=Xt由此可知t是矩阵F的对应特征根X的特征向量，利用每个t做列就可以得到矩阵T。iii将矩阵TT，i=I的第一列表示出来：pXp-1Xp-1-Xp-1111T12pXp-2Xp-2-Xp-2121012pXp-3Xp-3-Xp-313101.2p:=:X1X1X1tp-1,1012p_0_111tp1可以求解上述线性方程的解为：1(X1_X2)(X1一X3)(X，X)1 2131p_1(X2,X1)(X2_X3).(

16、X2，X)2 1232p(X，X1)(X，X2)(X，X丿p1p2pp，1注意到：c=tti1，i=1,2,p，带入上述表达式即可得到结论。ii1例1.6求解二阶差分方程解：该方程的特征方程为X2-0.6X-0.2=0特征根为:X=丄0.6+12Xy=0.6y+0.2y+wtt，1t2t(0.6)2+4(0.2)10.84，X=110.6-(0.6)2+4(0.2)10.2422ENDc=1=0.778，1(XX)12此方程的动态乘子为：6y.L=斗j6wtc2(X2，X1)=0.222=CXj+c2X2=0.788(0.84)j+0.222(，0.24)j，j=0,1,10在上述乘子的作用过

17、程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果X1是绝对值最大的特征根，则有：(1.23)6y1lim()=c/*6wXj1t1则动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。当2+轴？0时，特征方程具有共扼复根，可以表示为：,abi,abi,12a=/2,b=(1/2)(-2-4)1/2利用复数的三角函数或者指数表示法，可以将其写作,=Rcos+isin=Rexp(i),R=a2+b2,tan二b/a这时动态乘子可以表示为：cyL=t+j=c1,+c

18、2,2=(q+c2)Rjcos(j)+(c1c2)Rjsin(j)jcw11221212t对于实系统的扰动分析，上述反应乘子应该是实数。由于c和c也是共扼复数，因此12有：c=a+iB,c=aiB12则有：dyL=亠=2aRjcos(j)2卩Rjsin(j)(1.24)jcwt如果R=1，即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消失；如果R1，即复数处于单位圆外，则上述动态乘子按照周期方式进行扩散，其作用将逐渐增强。例L7求解二阶差分方程：yt=5yt1-8yt2+wt解：该方程的特征方程为：,20.5，+0.8=0特征根为：),=20.5+(0.5)24(0.8)=0.

19、25+0.86i，2=2(5(0.5)24(0.8)=0.250.86i上述共扼复数的模为：R=(0.25)2+(0.86)2=0.9因为R1，由此可知其动态乘子呈现收敛趋势。可以具体计算出其震荡的周期模式。cos()=a/R=0.28，0=1.29由此可知动态乘子的周期为：由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次高峰。1.2.2 具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解针对具体的二阶线性差分方程，可以讨论解的性质与参数1,2之间的关系。a. 当2+420时，参数取值处于抛物线2=42的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为：R2=a2+b2=(/2)2(2+4)/4=

20、1122因此，当0-21时是震荡发散的。b. 当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时12+420，且九=,24,X=丄,24,A=,24,1121122211212112当且仅当-1九九1时解及其动态反应乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。21如果：（X=丄,24,左112112即：X=,2+4,2,1121求解可知，使得不等式X11成立的参数解为：,2，或者，,1,121同理，使得不等式X1成立的参数解为：2,1,121因此当特征方程具有相异实根的时候，稳定性要求参数落入抛物线上的三角形区域内c.类似地可以说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时方

21、程仍然具有稳定解，同时动态反应乘子也是收敛的。1.2.3具有重复特征根的p阶线性差分方程的通解在更为一般的情形下，矩阵F可能具有重复的特征根，即具有重根。此时可以利用Jordan标准型表示差分方程的解及其动态反应乘子。下面以二阶差分方程为例说明。假设二阶差分方程具有重根，则可以将矩阵F表示为:T1计算矩阵乘积得到：Xj0jXj1XjT112于是动态反应乘子可以表示为：dyL=tj=f(j)=kXj+kjXjjdw1112t1.3长期和现值的计算如果矩阵F的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1),当时间间隔j逐渐增大时，矩阵乘积Fj将趋于零矩阵。如果外生变量w和y的数据均是有界的，则

22、可以tt利用w的所有历史数据表示差分方程的一个解：ty=w+中w+中w+中w+-tt1t12t23t3其中中=f(i)，即矩阵Fj中的(1,1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算w的一个暂i11t时性变化形成的对y现值的影响。注意到利用向量求导得到：#=Fjdvt这样一来，现值影响乘子可以表示为：”卩j.=”卩jFj=（I-卩F）1Q八tjLj=o上述矩阵级数收敛的条件是F所有特征根的模均小于卩1。此时，w的一个暂时性变tdvt化形成的对y现值的影响是矩阵(I-0F)-1的(1,1)元素，可以利用下述命题求出。tp命题：如果F所有特征根的模均小于卩-1,则有：t0jy.=-j=0t+j-(2)

23、w的一个暂时性变化形成的对y的持续影响乘子是tty1.0w1-,-,j=t半1半2半p(3) 发生在w上的持续变化导致的累积影响乘子是：1(1)w的一个暂时性变化形成的对y现值的影响乘子是1-,0-,02,0p12pwty.y.y.t+j+t+j+.+t+jwwwtt+1t+jt1,12p-1，limjfg证明：我们首先证明：如果F所有特征根的模均小于0-1,则矩阵(1卩-0F)-1存在。假设此时逆矩阵不存在，则有(I-0F)的行列式为零，即11-0F1=(-0)pIF-0-1PI1=0pp上式说明0-1是F的特征根，这与F所有特征根的模均小于0-1的假设矛盾，因此可知逆矩阵J-0F)-1存在

24、。下面我们求(I-0F)-1当中(1,1)位置的元素。假设x表示(I-0F)-1当中(i,j)位置pijp的元素，则有：x11x12x1p1-0,1-0,2-0,p1-0,1P1001xx.x-010001021222p:=:x-p1xp2.x-pp-00-01-001-仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有xx1-0%1-0-0,21-0,p-10-0,1P0=10o11121p:-00-01-对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以0加到倒数第2列，然后倒数第2列乘以0加到倒数第3列，依次类推，可以得到：叫1(1-,10-,202,0p)=11112p从中可以求出x，即可以证明命题中的三个等式。1115