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1、北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率一、选择题 （2013届北京大兴区一模理科）若实数满足，则关于的方程有实数根的概率是（）ABCD （2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）ABCD （北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）ABCD （北京市丰台区20
2、13届高三上学期期末考试 数学理试题 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）ABCD （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设不等式组 表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是（）ABCD二、填空题 （北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知随机变量的分布列如下，则的值等于 （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为 . 三、解答题 （2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1
3、)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：学生数学8991939597物理8789899293（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值 （2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。（）求甲和乙都不获奖的概率；（）设X是甲获奖的金额，求X
4、的分布列和均值。（2013届北京海滨一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； (ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
5、（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 乙城市 3 0 2 2 4 4 8 9 6 6 1 5 1 7 8 8 2 3 0 9 8 甲城市 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由) （）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；() 在乙城市15个监
6、测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望.（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；（）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（）求所得奖品个数达到最大时的概率；
7、（）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.（2013届房山区一模理科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标日均值(微克/立方米)2837143445563879863925某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据
8、超标的天数，求的分布列和数学期望；（）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（2013届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010，分为五个级别，02 畅 通；24 基本畅通；46 轻度拥堵；68 中度拥堵；810 严重拥堵 早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图 3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距（）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （）据此估计，早高峰四环以内的三个路段
9、至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之
10、间的概率0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.05006065707580859095100分数（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求()摸出3个白球的概率；()摸出至少两个白球的概率；（）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小
11、于为次品现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B（）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（）的前提下，（）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.
12、该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）2 1 2 44 3 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（）若从乙车间6件样品中随机抽
13、取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率 （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂903 9 65818 45 6 9 0 31 50321 0 3 规定：当产品中的此种元素含量满足18毫克时，该产品为优等品.（）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；（）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到
14、的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组距频率成绩（分）频率分布直方图0.040x0.0085060807090100y频率分布表组别分组频数频率第1组50，60）80.16第2组60，70）a第3组70，80）200.40第4组80，90）0.08第5组90，1002b合计（）写出的值；（）在选取的
15、样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；（）在（）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽
16、取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列
17、和数学期望.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得分，在处每投进一球得分，否则得分. 将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.（） 甲同学选择方案1. 求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率； 求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；（）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的
18、可能性更大？说明理由.北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率参考答案一、选择题 C A 【答案】B解：将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B. 【答案】C解：从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C. 【答案】D解：不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以,根据几何概型可知所求概率为,选D. 二、填空题 三、解答题 解：
19、（）5名学生数学成绩的平均分为:5名学生数学成绩的方差为: 5名学生物理成绩的平均分为:5名学生物理成绩的方差为: 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. （）由题意可知，随机变量的分布列是X012P（X） 解：（）设“甲和乙都不获奖”为事件A , 1分 则P（A）=， 答：甲和乙都不获奖的概率为. 5分（）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，6分P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= , P(X=1000)= , 10分X的分布列为X04006001000P 11分E(X)=0+400+600+1000=
20、500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). 13分解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为7分（）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，208分， ， 所以的分布列为161718192011分所以所以的数学期望为13分解：（）甲城市空气质量总体较好. 2分（）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， 4分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量
21、类别为优或良的概率为， 6分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.8分()的取值为， 9分，的分布列为：数学期望 13分 （）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ，1分所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为2分设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， 3分则 ，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为 5分（）解：随机变量的所有取值为 6分， ， 10分所以，随机变量的分布列为: 11分 13分 （）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为： （）的可能取值是：0246810所以 （）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标
22、的有5天 记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 则 3分（）的可能值为， 4分 8分所以的分布列为9分 10分（）天的空气质量达到一级或二级的频率为 11分，所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级. 13分（说明：答243天，244天不扣分）解：（）这50路段为中度拥堵的有18个 3分（）设事件A “一个路段严重拥堵”，则事件B “至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是8分（III）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟13分解：(1) 77.5； 3分(2) 所求为：
23、直线与直线之间的直方图的面积，因此， 7分答：这40名学生的成绩在之间的有20人（答19人也算对） 8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件，因为 10分所以 12分答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为03087 13分解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 .3分() 设“至少两个白球”为事件B，则，又 且A2，A3互斥，所以 .6分（） X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X012P X的数学期望 .13分 （）解：元件A为正品的概率约为 1分元件B为正品的概率约为 2分（）解：（）随机变量的所有取值为 3分； ； 7分所以，随机变量的分布列为:8分 9分（
24、）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.依题意，得 ， 解得 所以 ，或 11分设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，则 13分解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件. 由题意知, 所以 (II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4. , . , , , 故的分布列是01234 所以 (III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件
25、. . 所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为 解：（）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 、，方差分别为 、， 则， 1分 ， 2分 ， 4分 ， 6分由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；7分（）从乙车间件样品中随机抽取两件，结果共有15个： 9分设所抽取两件样品重量之差不超过克的事件为A，则事件A共有4个结果： 11分所以 13分解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为.2分（II）的取值为0，1，2，3. 所以的分布列为 0 1 2 3 故9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优
26、等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为13分解：（）由题意可知， 4分（）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有种情况 6分设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 8分（）由（）可知，的可能取值为，则，所以，的分布列为12分所以， 13分解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为 这辆汽车是A型车的概率为0.6 3分（II）设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，其
27、中则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 5分 7分该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9分（）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02设为B型车出租的天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.0 12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . 13分记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为. 3分（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有， 5分所以，. 7分（）的所有可能取值为. 8分所以，= . 11分分布列为：12分所以，. 13分 （）在处投篮命中记作,不中记作；在处投篮命中记作,不中记作； 甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则 2分的所有可能取值为，则 6分的分布列为： 02340.020.160.50.327分， 9分（）甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 , =因为 所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 13分
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