X射线晶体学第一章章节讲课

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1、X射线晶体学射线晶体学制作者制作者:钱存富钱存富 耿耿 岩岩1章节课件 前前 言言 材料各种参数的测量已经成为材料研究的材料各种参数的测量已经成为材料研究的主要手段。而这些参数是人们建立理论、主要手段。而这些参数是人们建立理论、设计新材料、制定新工艺和改进材料性能设计新材料、制定新工艺和改进材料性能的根本依据。的根本依据。射线晶体学是使用射线衍射方法测定射线晶体学是使用射线衍射方法测定晶体材料的某些参数和内部结构的一门学晶体材料的某些参数和内部结构的一门学科。科。2章节课件课程的主要内容：课程的主要内容：基本理论基本理论：射线的基本知识、晶体结构：射线的基本知识、晶体结构的基本知识、的基本知识

2、、晶体对射线的衍射。晶体对射线的衍射。实验方法实验方法：粉末照相法、劳埃照相法、：粉末照相法、劳埃照相法、衍射仪法。衍射仪法。应用应用：衍射花样的指数标定、点阵常数的：衍射花样的指数标定、点阵常数的精确测定、单晶定向、物相的定性及定量精确测定、单晶定向、物相的定性及定量分析和织构的测定等分析和织构的测定等。3章节课件 主要参考书主要参考书：1 1、晶体结构几何理论、晶体结构几何理论，肖序刚，冶金工，肖序刚，冶金工业出版社业出版社 2 2、X X射线金属学射线金属学，范雄，机械工业出版社，范雄，机械工业出版社 3 3、金属物理研究方法（一）、金属物理研究方法（一），赵伯麟，赵伯麟，冶金工业出版社

3、冶金工业出版社 4 4、晶体、晶体X X射线衍射学基础射线衍射学基础，李树棠，冶金，李树棠，冶金 工业出版社工业出版社 5 5、粉晶、粉晶X X射线物相分析射线物相分析，地质出版社，地质出版社 6 6、固体、固体X X射线学射线学，黄胜涛，高教出版社，黄胜涛，高教出版社4章节课件第一章第一章晶体学基础晶体学基础5章节课件1-1 1-1 晶体及晶体结构晶体及晶体结构一、晶体与非晶体一、晶体与非晶体 传统观点认为传统观点认为:把具有固定熔点和规则外形的一类固体称为把具有固定熔点和规则外形的一类固体称为晶体晶体；把无固定熔点和规则外形的一类固体称为非晶体。把无固定熔点和规则外形的一类固体称为非晶体。

4、例如：食盐、冰、水晶、例如：食盐、冰、水晶、通常所看到的金属及金属通常所看到的金属及金属制品制品等为晶体；橡胶、塑料、玻璃等称为等为晶体；橡胶、塑料、玻璃等称为非晶体非晶体。注注：将固体分为晶体与非晶体，是从传统意义上讲的。：将固体分为晶体与非晶体，是从传统意义上讲的。现在有人将固体分为晶体、非晶体和准晶三类。现在有人将固体分为晶体、非晶体和准晶三类。6章节课件 左上图为左上图为硅氧四面硅氧四面体体，为氧，为硅。，为氧，为硅。石英晶体石英晶体（水晶水晶）和和石英玻璃石英玻璃的化学成的化学成分都是分都是SiOSiO2 2，都构成都构成SiSi、O O四面体，这些四面体四面体，这些四面体以不同的方

5、式排列，以不同的方式排列，分别得到晶体和非晶分别得到晶体和非晶体体,如左下图。如左下图。7章节课件 晶体与非晶体的本质区别为:晶体是具有按一定的几何规律排列的内部结构的固体.而非晶体的内部结构排列得不十分规律或毫无规律。8章节课件二、晶体结构二、晶体结构 晶体的内部结构称为晶体的内部结构称为晶体结构晶体结构。它是以原子、。它是以原子、离子、分子或原子集团按照一定的规律排列而成离子、分子或原子集团按照一定的规律排列而成的。的。原子的规则排列实际上是从时间平均意义上来原子的规则排列实际上是从时间平均意义上来说的，实际上是为原子出现几率最大点的规则排说的，实际上是为原子出现几率最大点的规则排列，因为

6、原子在围绕这一点作振动列，因为原子在围绕这一点作振动。通常情况下，金属和金属制品都是晶体，但如通常情况下，金属和金属制品都是晶体，但如果让金属和金属或金属和非金属（甚至一种金属）果让金属和金属或金属和非金属（甚至一种金属）的熔液的熔液以每秒以每秒10106 6度以上的冷却速度冷凝度以上的冷却速度冷凝,所得到所得到的金属合金的金属合金,其内部原子的排列呈现长程无序其内部原子的排列呈现长程无序,把把这样的合金称为这样的合金称为非晶态合金非晶态合金(金属玻璃金属玻璃).).它们的许它们的许多性能比晶态优越多性能比晶态优越.9章节课件单晶体和多晶体单晶体和多晶体：在晶体形成过程中，在晶体形成过程中，原

7、子按同一几何规律原子按同一几何规律排列成一个完整结构排列成一个完整结构的区域称为一个的区域称为一个单晶单晶体体。由两个以上的单晶体由两个以上的单晶体所组成的晶体称为所组成的晶体称为多多晶体晶体。单晶体呈现为各向单晶体呈现为各向异性，而多晶体呈现异性，而多晶体呈现为各向同性为各向同性。10章节课件三、几种常见的晶体结构类型三、几种常见的晶体结构类型1 1、金属晶体金属晶体 晶体的原子外层的电子脱离原来的原子成为自由晶体的原子外层的电子脱离原来的原子成为自由电子，它们在正离子之间运动，形成电子云，其处电子，它们在正离子之间运动，形成电子云，其处于公有化状态，金属晶体的结合是靠处于公有化状于公有化状

8、态，金属晶体的结合是靠处于公有化状态的价电子和正离子间的吸引力。态的价电子和正离子间的吸引力。1 1）面心立方结构面心立方结构（A1A1型型）八个顶点和六个面中心有原八个顶点和六个面中心有原 子。主要有：铜（子。主要有：铜（CuCu）、银（）、银（AgAg）、金（、金（AuAu）、铝（）、铝（AlAl）、铅）、铅 （PbPb）、镍（）、镍（NiNi）、）、-铁铁 （-Fe-Fe）等。）等。11章节课件2 2）体心立方结构体心立方结构（A2A2型型）八个顶点和体中心有原子。八个顶点和体中心有原子。主要有：主要有：锂（锂（LiLi）、钠（）、钠（NaNa）、）、钾（钾（K K）、铯（）、铯（CsC

9、s）、铬）、铬（CrCr）、钼（）、钼（MoMo）、）、-铁（铁（-Fe-Fe）、钒（）、钒（V V）、）、钨（钨（W W）等。）等。12章节课件3)3)蜜排六方结构蜜排六方结构（A3A3型型）除八个顶点有原子外除八个顶点有原子外,在在体内还有一个原子体内还有一个原子,但其不但其不在体中心。主要有：在体中心。主要有：镁（镁（MgMg）、铍（）、铍（BeBe）、）、锌（锌（ZnZn）、-钛（钛（-TiTi）等。）等。13章节课件2 2、共价晶体共价晶体 它们是靠共价键结合它们是靠共价键结合的的,即由相邻原子的公用即由相邻原子的公用价电子结合而成。价电子结合而成。左图为金刚石型结构左图为金刚石型结

10、构（AA型），除八个顶点型），除八个顶点和六个面中心有原子外，和六个面中心有原子外，体内还有四个原子，这些体内还有四个原子，这些原子也不在体中心。金刚原子也不在体中心。金刚石、硅（石、硅（SiSi）、锗（）、锗（GeGe）等属于这种结构。等属于这种结构。14章节课件15章节课件3 3、离子晶体离子晶体 构成晶体的基本粒子是离子，晶体的结合是构成晶体的基本粒子是离子，晶体的结合是靠正负离子间的静电吸引作用，其中一种离子靠正负离子间的静电吸引作用，其中一种离子的最近邻必是异性的原子。的最近邻必是异性的原子。1 1）NaClNaCl型晶体结构型晶体结构（B1B1）如图，晶体结构中含有如图，晶体结构中

11、含有 两种类型的离子，一正一两种类型的离子，一正一 负。主要有：负。主要有：VCVC、NbCNbC、TiCTiC、ZrCZrC、NaClNaCl、MgClMgCl、PbSPbS、AgClAgCl、TiOTiO、AgBrAgBr 等。等。16章节课件 2 2）CsClCsCl型结构型结构（B2B2）如图如图,晶胞中也有两种类型晶胞中也有两种类型的原子的原子,属于这种结构的有属于这种结构的有:CsCl CsCl、ZnZn、FeCoFeCo、NiAlNiAlAgCdAgCd、CuZnCuZn、FeAlFeAl等。等。）闪锌矿型结构闪锌矿型结构（B B）如图如图,也是由两类原子组成，也是由两类原子组成

12、，属于这种结构的有属于这种结构的有:ZnS:ZnS、BeSBeS、CdTeCdTe、InSbInSb等。等。17章节课件1-2 空间点阵空间点阵一、空间点阵概念一、空间点阵概念 1 1、等同点、等同点 在晶体结构中几何环境在晶体结构中几何环境和物理环境都相同的点称为和物理环境都相同的点称为等同点等同点。如如NaClNaCl晶体结构中晶体结构中,Na,Na离子所在点为一类等同点离子所在点为一类等同点,ClCl离子所在点为另一类等同离子所在点为另一类等同点点.18章节课件 2、空间点阵空间点阵 在同一晶体结构中，由各类在同一晶体结构中，由各类等同点单独所组成的图形具有等同点单独所组成的图形具有完全

13、相同的排列规律。如左图完全相同的排列规律。如左图 概括地表示晶体结构中等概括地表示晶体结构中等同点规则排列的几何图形（同点规则排列的几何图形（点点的集合的集合）称为）称为空间点阵空间点阵。左图为左图为NaClNaCl晶体结构所对晶体结构所对应的空间点阵应的空间点阵19章节课件20章节课件二、对空间点阵的说明二、对空间点阵的说明1 1、构成空间点阵的点是抽象的几何点，通常称为结、构成空间点阵的点是抽象的几何点，通常称为结点或格点。在上面的例子中，它们可代表点或格点。在上面的例子中，它们可代表NaNa离子，离子，也可以代表也可以代表ClCl离子，还可以代表任一没有离子存离子，还可以代表任一没有离子

14、存在的等同点，例如它们的中点。在的等同点，例如它们的中点。2 2、晶体结构是由无数个质点排列而成。空间点阵也、晶体结构是由无数个质点排列而成。空间点阵也是无限的，它概括了晶体结构的周期性。是无限的，它概括了晶体结构的周期性。把结点在同方向以相等距离重复出现的性质叫把结点在同方向以相等距离重复出现的性质叫做做周期重复性周期重复性，简称，简称周期性周期性。在相同方向，结点之间的距离是相等的，不同在相同方向，结点之间的距离是相等的，不同方向结点之间的距离不一定相等。方向结点之间的距离不一定相等。21章节课件 用不在同一平面内的三个方向的平行直线束将用不在同一平面内的三个方向的平行直线束将空间点阵穿接

15、起来，构成空间点阵穿接起来，构成“空间格子空间格子”。通过结点的直线称为通过结点的直线称为结结 点直线点直线，一组平行的结点，一组平行的结点 直线称为直线称为结点直线束结点直线束。以两个方向的结点直线以两个方向的结点直线 构成的平面称为构成的平面称为结点平面结点平面，平行的结点平面称为平行的结点平面称为结点结点 平面族平面族。整个空间点阵分成无数个大小相同的平行六面体，整个空间点阵分成无数个大小相同的平行六面体，每一个平行六面体称为每一个平行六面体称为单位空间格子单位空间格子（单位点阵单位点阵、单位阵胞单位阵胞），），空间点阵也可称为空间格子空间点阵也可称为空间格子。22章节课件23章节课件三

16、、晶体结构与空间点阵的关系三、晶体结构与空间点阵的关系 某些物质，不论它们的晶体结构之间如何有差异，某些物质，不论它们的晶体结构之间如何有差异，繁简差异如何之大，只要它们的空间排列的周期繁简差异如何之大，只要它们的空间排列的周期性相同，它们就具有相同的空间点阵。性相同，它们就具有相同的空间点阵。24章节课件四、几种常见晶体结构的空间点阵四、几种常见晶体结构的空间点阵1 1、面心立方点阵、面心立方点阵 CuCu晶体结构具有和晶体结构具有和NaClNaCl晶体结构相同的空晶体结构相同的空间点阵间点阵面心立方面心立方点阵点阵。所不同的只是各。所不同的只是各方向上的周期不同。方向上的周期不同。左图为左

17、图为CuCu的空间点阵，的空间点阵，也为也为NaClNaCl的空间点阵。的空间点阵。25章节课件 金刚石结构完金刚石结构完全由碳原子组成。全由碳原子组成。但它们是由两类但它们是由两类等同点组成，如等同点组成，如左图所示。左图所示。同类等同点所同类等同点所组成的空间点阵组成的空间点阵也是面心立方点也是面心立方点阵。阵。26章节课件2 2、初基（简单）六方点阵、初基（简单）六方点阵 镁晶体结构中的原子镁晶体结构中的原子也是由两类等同点组也是由两类等同点组成（成（如下页所示）。）。其空间点阵如右图所其空间点阵如右图所示。示。27章节课件28章节课件3 3、体心立方点阵、体心立方点阵 FeFe、LiL

18、i、NaNa、K K、V V、MoMo、W W等的空间点阵为等的空间点阵为体心立方点阵。体心立方点阵。问题：问题：CsClCsCl的空间点阵是什么类型的空间点阵是什么类型？29章节课件五、晶体的严格定义五、晶体的严格定义 晶体晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图形是其内部结构具有空间点阵这种几何图形的固体。的固体。非晶体非晶体不具有空间点阵这种几何图形，因而不具有空间点阵这种几何图形，因而其不具有周期重复性。其不具有周期重复性。准晶体准晶体30章节课件1-3 1-3 晶体的对称性晶体的对称性 对称是物质体系中各组成部分之间相互联系、相对称是物质体系中各组成部分之间相互联系、相互作用的一种较为

19、普遍的现象。互作用的一种较为普遍的现象。晶体结构中，原子的排列同样具有对称的特性。晶体结构中，原子的排列同样具有对称的特性。如果一个物体经过某种动作后能够恢复原状，物如果一个物体经过某种动作后能够恢复原状，物体上每一点的新位置与开始时另一点在这个位置上体上每一点的新位置与开始时另一点在这个位置上的情况完全重合。也就是说，其位置、形态相对于的情况完全重合。也就是说，其位置、形态相对于观察者来说没有发生变化，称此现象为观察者来说没有发生变化，称此现象为规则重复规则重复。使物体产生变化的动作称为使物体产生变化的动作称为对称操作对称操作（对称动作、对称动作、对称变换、对称运用对称变换、对称运用）。）。

20、在对称操作中所凭借的几何元素（点、线、面）在对称操作中所凭借的几何元素（点、线、面）称为称为对称元素对称元素（对称要素对称要素）。）。31章节课件一、宏观对称操作一、宏观对称操作 1、旋转旋转 以晶体结构中某一直线作轴，整个晶体围绕它以晶体结构中某一直线作轴，整个晶体围绕它旋转一定的角度而得到规则重复，这种对称操作旋转一定的角度而得到规则重复，这种对称操作称为称为旋转旋转。旋转所围绕的直线是旋转操作的对称元素，称旋转所围绕的直线是旋转操作的对称元素，称为为旋转对称轴旋转对称轴（简称（简称旋转轴旋转轴、对称轴对称轴）；旋转所）；旋转所转动的最小角度称为转动的最小角度称为基转角基转角，记为，记为；

21、n n称为旋转称为旋转轴的轴次，按圣弗利斯符号记为轴的轴次，按圣弗利斯符号记为C Cn n，国际符号记为，国际符号记为n n360n32章节课件晶体结构中一共存在五种旋转对称操作晶体结构中一共存在五种旋转对称操作(1)(1)一次旋转，一次旋转，=360=360，旋转，旋转轴记为轴记为C C1 1（1 1）；）；（2 2）二次旋转，）二次旋转，=180=180，旋转轴记为旋转轴记为C C2 2（2 2）；）；（3 3）三次旋转，）三次旋转，=120=120，旋转轴记为旋转轴记为C C3 3（3 3）；）；（4 4）四次旋转，）四次旋转，=90=90，旋转轴记为旋转轴记为C C4 4（4 4）；）

22、；（5 5）六次旋转，）六次旋转，=60=60，旋转轴记为旋转轴记为C C6 6（6 6）。）。问题：问题：立方体的所有对称轴立方体的所有对称轴？33章节课件在晶体结构中不存在五次和大于六次的旋转轴在晶体结构中不存在五次和大于六次的旋转轴34章节课件2.2.反映反映 图形中一部分沿中分面与另一部分互成镜像，图形中一部分沿中分面与另一部分互成镜像，即物体表面或内部的每一点通过该物体中的一个即物体表面或内部的每一点通过该物体中的一个平面反映，在平面的另一侧等同距离处可以找到平面反映，在平面的另一侧等同距离处可以找到相同的点，则这种对称操作称为相同的点，则这种对称操作称为反映反映。上述平面称为上述平

23、面称为对称面对称面（反映面反映面），记为），记为（国（国际符号为际符号为m m）。）。立方晶系有立方晶系有9 9个对称面，如下图所示。个对称面，如下图所示。35章节课件36章节课件3 3、反演、反演 物体表面上每一点如果与物体中心点连一直线，物体表面上每一点如果与物体中心点连一直线，并延长与该物体的另一侧相交，在交点处得到与并延长与该物体的另一侧相交，在交点处得到与直线这一端同样的一点时，则这种对称操作称为直线这一端同样的一点时，则这种对称操作称为反演反演。施行反演操作所凭施行反演操作所凭 借的借的i i点称为点称为反演中心反演中心 （对称中心对称中心），记为），记为i i （国际符号为（国际

24、符号为I I）。）。立方晶系的对称中立方晶系的对称中 心如图所示。心如图所示。37章节课件4 4、旋转反演、旋转反演 晶体绕一固定轴转动晶体绕一固定轴转动 后再经反演，对观察者来说，后再经反演，对观察者来说，位置、形态与动作前一样，位置、形态与动作前一样，这种操作称为这种操作称为旋转反演旋转反演。左图为立方体的左图为立方体的C Ci4i4对称操对称操作，作，A A转到转到B B，反演到，反演到H H；B B转转到到C C，反演到，反演到E E；C C转到转到D D，反，反演到演到F F；D D转到转到A A，反演到，反演到G G。同样，同样，E E反演旋转到反演旋转到D D；F F反反演旋转到

25、演旋转到A A；G G反演旋转到反演旋转到B B；H H反演旋转到反演旋转到C C。对观察者旋。对观察者旋转前后完全一样。转前后完全一样。n36038章节课件 旋转反演是旋转和反演两个动作的联合，是一种旋转反演是旋转和反演两个动作的联合，是一种复合对称操作，对称元素为复合对称操作，对称元素为反演轴反演轴，记为，记为C Cinin，（国，（国际符号为际符号为 ）。与旋转轴一样，晶体）。与旋转轴一样，晶体 中只有中只有 、五种反演轴。五种反演轴。n1234639章节课件由图可以看出：Ci1=I;Ci2=;Ci3=C3;Ci4=C2C4,C4具有具有Ci4作用作用;40章节课件 Ci6=C3C6,C

26、6具有具有Ci6作用作用.41章节课件二、微观对称操作二、微观对称操作1 1、平移、平移 将晶体结构（或空间点将晶体结构（或空间点阵）平行移动到与原来环阵）平行移动到与原来环境完全相同的位置，这种境完全相同的位置，这种对称操作称为对称操作称为平移平移。沿沿 方向的格点直方向的格点直线平移所凭借的对称元素线平移所凭借的对称元素称为平移轴，记为称为平移轴，记为 T42章节课件43章节课件2 2、螺旋旋转、螺旋旋转(旋转旋转+平移平移)首先绕一固定轴旋转首先绕一固定轴旋转 角度后接着平移方能得角度后接着平移方能得 到规则重复到规则重复,这种复合对称操作称为这种复合对称操作称为螺旋旋转螺旋旋转。凭借的

27、轴称为凭借的轴称为螺旋轴螺旋轴,记记 为为 ,它平行于结点直线它平行于结点直线 ,也只能有也只能有1 1、2 2、3 3、4 4、6 6次。次。no360tT44章节课件矢量矢量 称为螺旋旋转的平移成份，称为螺旋旋转的平移成份，（P=1、2、3.n-1）一次螺旋旋转一次螺旋旋转 ，螺旋轴记为螺旋轴记为1 11 1；二次螺旋旋转二次螺旋旋转 ，螺旋轴记为螺旋轴记为2 21 1；三次螺旋旋转三次螺旋旋转 ，或或 螺旋螺旋轴记为轴记为3 31 1和和3 32 2。nPt tt21t31t3245章节课件 四次螺旋旋转四次螺旋旋转 ，、和和 螺旋轴记为螺旋轴记为4 41 1、4 42 2和和4 43

28、3；六次螺旋旋转，六次螺旋旋转，、和和 螺旋轴记为螺旋轴记为6 61 1、6 62 2 、6 63 3 、6 64 4 和和 6 65 5。一般螺旋轴记为一般螺旋轴记为S Sn n（国际符号记为（国际符号记为n np p）41t424361t6263646546章节课件3 3、滑移（反映、滑移（反映+平移）平移）凭借一个平面施行凭借一个平面施行反映之后，再平行于该反映之后，再平行于该面施行平移面施行平移 ，而使，而使晶体结构图形得到规则晶体结构图形得到规则重复，这种对称操作称重复，这种对称操作称为为滑移滑移。滑移对称操作中的滑移对称操作中的反映面称为反映面称为滑移面滑移面。平移矢量平移矢量 称

29、为滑称为滑移的平移成分。移的平移成分。tt47章节课件48章节课件1-4 1-4 对称群对称群 晶体结构的对称元素是相互制约而又互相协同晶体结构的对称元素是相互制约而又互相协同的。因此，对称元素所标志对称操作也是互相关的。因此，对称元素所标志对称操作也是互相关联地呈现在一个晶体结构，并按一定内在规律组联地呈现在一个晶体结构，并按一定内在规律组合在一起。合在一起。晶体结构中，按一定规律组合在一起的对称操晶体结构中，按一定规律组合在一起的对称操作的集合（作的集合（对称操作的组合对称操作的组合）称为晶体结构的）称为晶体结构的对对称群称群。根据组成对称群的对称操作的不同，对称群可根据组成对称群的对称操

30、作的不同，对称群可分为点群、平移群和空间群。分为点群、平移群和空间群。49章节课件一、点一、点 群群 在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转反演在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转反演这这4 4种宏观对称操作所构成的对称群称为种宏观对称操作所构成的对称群称为点群点群。之所以称为点群，之所以称为点群，是因为对一个对称图形施行这是因为对一个对称图形施行这几种对称操作时，对称图形中至少有一个不动点，几种对称操作时，对称图形中至少有一个不动点，而标志各对称操作的对称元素至少要相交于一点。而标志各对称操作的对称元素至少要相交于一点。点群只表明晶体结构的对称性点群只表明晶体结构的对称性。可以证明，从晶。

31、可以证明，从晶体结构三维空间对称图形来看，其点群只有体结构三维空间对称图形来看，其点群只有3232种，种，称为称为3232点群点群（3232晶类晶类、3232对称型对称型）50章节课件二、平移群二、平移群 在作为无限图形的空间点阵中，其各个方向上在作为无限图形的空间点阵中，其各个方向上的平移操作之集合所构成的对称群称为的平移操作之集合所构成的对称群称为平移群平移群。空间点阵的周期性可由平移群来表征空间点阵的周期性可由平移群来表征。平移群。平移群共有共有1414种，称为种，称为1414种平移群种平移群（1414种布拉维点阵种布拉维点阵）三、空间群三、空间群 在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转

32、反在晶体结构中，由旋转、反映、反演、旋转反演、平移、螺旋旋转、滑移这演、平移、螺旋旋转、滑移这7 7种对称操作集合而种对称操作集合而成的对称群称为成的对称群称为空间群空间群。空间群既可表明晶体结构的周期性，又可表明空间群既可表明晶体结构的周期性，又可表明晶体结构的对称性。可能有的空间群共晶体结构的对称性。可能有的空间群共230230种种。51章节课件1-5 1-5 布拉维格子和晶系的划分布拉维格子和晶系的划分一、布拉维格子的选取一、布拉维格子的选取 整个空间点阵是由一定整个空间点阵是由一定形状的平行六面体作为单形状的平行六面体作为单元堆积而成。元堆积而成。平行六面体是可以任意平行六面体是可以任

33、意选取的，如图选取的，如图52章节课件 为了表示出各种晶体结构中质点排列的规律性，为了表示出各种晶体结构中质点排列的规律性，特别是它的对称性，必须确定一种选择方式，使特别是它的对称性，必须确定一种选择方式，使得所选的单位格子能够唯一地表征每一种晶体结得所选的单位格子能够唯一地表征每一种晶体结构在原子排列上的特殊周期性和特殊对称性。布构在原子排列上的特殊周期性和特殊对称性。布拉维格子就是为达到这个目的而选取的单位格子。拉维格子就是为达到这个目的而选取的单位格子。53章节课件1 1、布拉维格子的选取、布拉维格子的选取1 1）所选取的单位格子应该能够反映出整个空间点阵所选取的单位格子应该能够反映出整

34、个空间点阵所固有的点群对称性所固有的点群对称性。也就是它的对称性应与空。也就是它的对称性应与空间点阵的点群一致。而空间点阵是晶体结构的抽间点阵的点群一致。而空间点阵是晶体结构的抽象，因此象，因此所选单位格子也就表明了原来晶体结构所选单位格子也就表明了原来晶体结构的点群对称性的点群对称性。2 2）在满足第一条的基础上，）在满足第一条的基础上，所选取的单位格子的平所选取的单位格子的平面角要尽可能等于直角面角要尽可能等于直角。3 3）在满足上述两条的基础上，）在满足上述两条的基础上，所选取的单位格子的所选取的单位格子的体积要尽可能的小体积要尽可能的小。54章节课件2 2、一个例子、一个例子立方体：立

35、方体：，正方体，正方体 ：，菱面体：菱面体：iccc19643234iccc19643234iccc19643234icc154124icc133123iccc1964323455章节课件3 3、1414种布拉维格子种布拉维格子56章节课件二、晶系的划分二、晶系的划分1、晶系划分的原则晶系划分的原则 空间点阵的点群对称性是晶体结构的固有特空间点阵的点群对称性是晶体结构的固有特性。根据这种特性，可以把晶体划分为七大晶系。性。根据这种特性，可以把晶体划分为七大晶系。57章节课件2 2、各晶系的特征对称元素、各晶系的特征对称元素1 1）三斜晶系三斜晶系，无，无CnCn（n2n2）和）和；2 2）单斜

36、晶系单斜晶系，具有，具有m m个个C2C2和和n n 个个，且，且m+n=1m+n=1或或2 2；3 3）正交（斜方）晶系正交（斜方）晶系，具有，具有m m个个C2C2和和n n 个个，且，且m+n=3m+n=3或或6 6；4 4）三方晶系三方晶系，具有，具有1 1个个C C3 3或或C Ci3i3；5 5）四方（正方）晶系四方（正方）晶系，具有，具有1 1个个C C4 4或或C Ci4i4；6 6）六方晶系六方晶系，具有，具有1 1个个C C6 6或或C Ci6i6；7 7）立方晶系立方晶系，具有，具有4 4个个C C3 3。58章节课件三、四种类型的布拉维格子三、四种类型的布拉维格子1 1

37、、划分原则、划分原则 根据单位格子中的格点的位置划分。根据单位格子中的格点的位置划分。2 2、类型、类型1 1）初基（简单）格子初基（简单）格子，仅在八个顶点有格点，常，仅在八个顶点有格点，常用字母用字母P P表示，其平移矢为表示，其平移矢为 、。每个单位格子中有一个格点。每个单位格子中有一个格点。abc59章节课件2 2）底心格子底心格子，除八个顶点有格点外，在上下（左，除八个顶点有格点外，在上下（左右、前后）面中心也有格点，常用字母右、前后）面中心也有格点，常用字母C C（B B、A A）表示，其平移矢量为表示，其平移矢量为 、。每个单位格子中有两个格点。每个单位格子中有两个格点。3 3）

38、体心格子，除八个顶点有格点外，在体中心也）体心格子，除八个顶点有格点外，在体中心也有一个格点，常用字母有一个格点，常用字母I I表示，其平移矢量为表示，其平移矢量为 、。每个单位格。每个单位格子中有两个格点。子中有两个格点。abcba21cbacba2160章节课件4 4）面心格子，除八个顶点有格点外，各个面的中心）面心格子，除八个顶点有格点外，各个面的中心也都含有有格点，常用字母也都含有有格点，常用字母F F表示，其平移矢量表示，其平移矢量 为为 、和和 。每个单位格。每个单位格子中有四个格点。子中有四个格点。abcba21cb21ca2161章节课件四、单位晶胞四、单位晶胞 在晶体结构中，

39、由单位平行六面体（单位点阵、在晶体结构中，由单位平行六面体（单位点阵、单位格子）所圈划出来的那一部分称为单位格子）所圈划出来的那一部分称为单位晶胞单位晶胞，简称简称晶胞晶胞。晶胞常数和点阵常数相同，通称为晶胞常数和点阵常数相同，通称为点阵常数点阵常数。处于晶胞角顶处的原子是处于晶胞角顶处的原子是8 8个晶胞所共有，其有个晶胞所共有，其有 属于该晶胞，而面上的原子有属于该晶胞，而面上的原子有 属于该晶胞，属于该晶胞，棱上有棱上有 属于该晶胞。同样可算出单位点阵中属于该晶胞。同样可算出单位点阵中 的阵点的阵点(格点格点)数数。41218162章节课件1-6 1-6 晶体定向晶体定向一、晶体定向的意

40、义一、晶体定向的意义 同方向上的原子平面不仅互相平行，而且互相同方向上的原子平面不仅互相平行，而且互相之间的距离也相同，各原子平面上的原子分布情之间的距离也相同，各原子平面上的原子分布情况也完全相同。因为不同方向上的原子面上的原况也完全相同。因为不同方向上的原子面上的原子分布不完全相同，因此不同方向的原子平面具子分布不完全相同，因此不同方向的原子平面具有不同的特性，晶体表现出各向异性，所以要进有不同的特性，晶体表现出各向异性，所以要进行晶体取向的确定工作。行晶体取向的确定工作。在晶体结构中引人一套坐标系的手续称为在晶体结构中引人一套坐标系的手续称为晶体晶体定向定向。63章节课件二、标准定向二、

41、标准定向 在晶体结构中，把标志晶体结构在晶体结构中，把标志晶体结构对称性对称性和和周周 期性期性的布拉维格子的三边选作基矢的布拉维格子的三边选作基矢 、，并用并用 、定出定出 oxox、oyoy、ozoz三个坐标轴，这样的定向称为三个坐标轴，这样的定向称为标准定向标准定向，或称为，或称为布拉维标准定向布拉维标准定向。各个晶系的布拉维格子互不相同各个晶系的布拉维格子互不相同cbaabc64章节课件三、点的坐标三、点的坐标 如果如果R R为晶体结构中的为晶体结构中的任一点，则由坐标原点到任一点，则由坐标原点到此点的矢量此点的矢量 可根据矢量代数写成：可根据矢量代数写成：其中其中 、为坐标的为坐标的

42、基矢，基矢，x x、y y、z z为为 在在3 3个轴上的投影。则个轴上的投影。则R R的坐的坐标可记为标可记为xyzxyz 或（或（x x，y y，z z）、）、xyzxyz。xyzxyz为为3 3个个实数。实数。ORrczbyaxrabcOR65章节课件四、晶向指数四、晶向指数 在晶体点阵（晶体结在晶体点阵（晶体结构）中，任何一条格构）中，任何一条格点（质点）直线的方点（质点）直线的方向称为向称为晶向晶向。其数字。其数字表示符号表示符号 uvwuvw 称为称为晶晶向指数向指数或称为或称为直线指直线指数数。66章节课件1、晶向指数确定根据晶向指数确定根据 晶体定向以后晶体定向以后,对于标志着

43、一定方向和周期为对于标志着一定方向和周期为 的格点直线束的格点直线束L L来说来说,只考虑其中过坐标原点的只考虑其中过坐标原点的L LO O即即可，因为可，因为L L0 0已把已把L L的取向和周期表示出来。的取向和周期表示出来。设设L L0 0上一格点上一格点R R0 0，其坐标为，其坐标为xx0 0 y y0 0 z z0 0，则，则 若若L L1 1上有两格点上有两格点R R1 1和和R R2 2，其坐标分别为，其坐标分别为xx1 1 y y1 1 z z1 1，xx2 2 y y2 2 z z2 2，则，则czbyaxOR000067章节课件 若若L L1 1上有两格点上有两格点R R

44、1 1和和R R2 2，其坐标分别为，其坐标分别为xx1 1 y y1 1 z z1 1，xx2 2 y y2 2 z z2 2，则，则 czbyaxNczzbyyaxxczbyaxczbyaxORORRR000121212111222122168章节课件 czbyaxNczzbyyaxxczbyaxczbyaxORORRR0001212121112221221 69章节课件 所以所以 上式表明，上式表明，L L格点直线束中任一格点直线上两格点直线束中任一格点直线上两格点格点R R1 1和和R R2 2相应坐标差的比等于相应坐标差的比等于L L0 0上任意一点上任意一点R R0 0的的坐标之比

45、。坐标之比。000121212:zyxzzyyxx70章节课件2 2、晶向指数的求法、晶向指数的求法1 1）求法一）求法一 a a、过坐标原点作一直线、过坐标原点作一直线L L0 0 平行于直线平行于直线L L1 1，b b、在、在L L0 0 上取一点上取一点R R0 0 ，以，以a a、b b、c c为单位，求出其在为单位，求出其在x x、y y、z z轴上的轴上的3 3个坐标个坐标x xo o、y yo o、z zo o，c c、将这、将这3 3个数化成没有公个数化成没有公 约数的整数（互质整数）连约数的整数（互质整数）连 比，即比，即 uvwuvw即是即是L L格点直线束的晶向指数格点

46、直线束的晶向指数uvwwvuzyx:00071章节课件2 2）求法二）求法二 在在L L1 1格点直线上格点直线上 任取两点任取两点,其坐标其坐标 分别为分别为R R1 1x x1 1y y1 1z z1 1 和和R R2 2x x2 2y y2 2z z2 2,将将 、化成三个化成三个 互质数连比，即互质数连比，即 uvwwvuzzyyxx:12121212xx 12yy 12zz 72章节课件3 3、注意点、注意点 1 1）如果坐标是负值，即直线指向负方向，则在）如果坐标是负值，即直线指向负方向，则在相应的指数上加一负号；相应的指数上加一负号；2 2）方向指数）方向指数100100与点坐标

47、与点坐标100100不可混淆；不可混淆；3 3）互相平行的格点直线，其方向指数相同）互相平行的格点直线，其方向指数相同。73章节课件4 4、举例、举例 求面心斜方格子求面心斜方格子x x、y y、z z 轴和轴和L L1 1、L L2 2的晶的晶向指数。向指数。解：因为解：因为x x、y y、z z轴上距轴上距坐标原点最近的点的坐标原点最近的点的坐标为坐标为100100、010010、001001，故故 uvwuvw x x=100=100 uvwuvw y y=010=010 uvwuvw z z=001=00174章节课件 对对L L1 1，其上两点，其上两点R R1 1、R R2 2，坐

48、标分别为坐标分别为 和和 则则:21211211211010:1:10:21:2111:021:1212Luvw75章节课件12121 对对L L2 2，其上两点坐标分别，其上两点坐标分别为为 和和 ，则，则:1011010:1:10:21:212121:211:1212Luvw76章节课件五、晶面指数五、晶面指数 通过点阵中若干格点通过点阵中若干格点而成的一个平面称为而成的一个平面称为格格点平面点平面（在晶体结构中（在晶体结构中称为称为晶面晶面），晶面的数），晶面的数字表示符号（字表示符号（hklhkl）就）就是是晶面指数晶面指数（面指数面指数），），又称为又称为蜜勒蜜勒（MillerMil

49、ler）指数指数。77章节课件1、晶面指数确定的根据晶面指数确定的根据 如图，如图，ABCABC为一格点平面，分别交为一格点平面，分别交x x、y y、z z轴轴于于A A、B B、C C点，点，O O为原点，其截距分别为为原点，其截距分别为 a a、b b、c c为轴单位，为轴单位，m m、n n、p p为相应的截距为相应的截距系数。根据平面方程的截距式可以写成系数。根据平面方程的截距式可以写成 式中式中m m、n n、p p为三个有理数，并且总可以找到为三个有理数，并且总可以找到另一正的有理数另一正的有理数t t，使得，使得1pznymxpcoC maoAnboB 78章节课件ktn1 H

50、klHkl为三个互质整数，所以上式可以写成为三个互质整数，所以上式可以写成 m m、n n、p p的不同，平面方位就要变化。所以对于一的不同，平面方位就要变化。所以对于一 固定平行平面族固定平行平面族 、这个连比值是一定这个连比值是一定 的。即的。即hklhkl是一定的，因此可以用是一定的，因此可以用h h：k k：l l 来表明来表明 面的位向。面的位向。htm1ltp1tlzkyhxm1n1p179章节课件2 2、晶面指数的确定、晶面指数的确定1)1)求法一求法一 a a、找出、找出ABCABC面与面与x x、y y、z z轴的截距系数轴的截距系数m m、n n、p p；b b、写出这、写

51、出这三个截距的倒数三个截距的倒数 、；c c、把上述三个分数化为、把上述三个分数化为互质整数连比互质整数连比则则（hklhkl）即为晶面即为晶面ABCABC的的面指数面指数。n1p1m1hkllkhtptntmpnm:1:1:11:1:180章节课件1)1)求法二求法二 如果已知所求平面上的三个格点如果已知所求平面上的三个格点R R1 1xx1 1 y y1 1 z z1 1、R R2 2xx2 2 y y2 2 z z2 2和和R R3 3xx3 3 y y3 3 z z3 3，将它们分别代人，将它们分别代人 方程中，得一组方程组方程中，得一组方程组tlzkyhxtlzkyhxtlzkyhx

52、tlzkyhx33322211181章节课件 联立求解，得联立求解，得hkllkhyxyxyxzxzxzxzyzyzytyxtyxtyxztxztxztxzytzytzyt:111:111:111:33221133221133221133221133221133221182章节课件3 3、注意点、注意点1 1）如晶面与某一轴的负方向相交，则相应的指数）如晶面与某一轴的负方向相交，则相应的指数上加一负号表示，如上加一负号表示，如 ；2 2）当晶面与一晶轴平行时，则可认为与该轴在无）当晶面与一晶轴平行时，则可认为与该轴在无 穷远处相交，即截距系数为穷远处相交，即截距系数为，而，而 等于等于0 0，

53、所以相应于这个轴的指数为所以相应于这个轴的指数为0 0；3 3）在晶体结构中凡是互相平行的晶面，其晶面指）在晶体结构中凡是互相平行的晶面，其晶面指数均相同。数均相同。此外，此外，1l khhkl 12383章节课件4 4、例：求面心格子的、例：求面心格子的 ABGFABGF、EFGEFG、HIBHIB等平面的等平面的 面指数面指数1101:11:11解：解：1 1）ABGFABGF平面与平面与x x、y y轴的截距系数分别为轴的截距系数分别为1 1和和1 1，与，与z z轴平行。其面轴平行。其面指数为：指数为：84章节课件2 2）平面）平面EFGEFG，其上可找出，其上可找出 三点，坐标分别为

54、：三点，坐标分别为：E110E110、F101F101和和 G011G011，则：，则：也可用截距来求，其截距分别为也可用截距来求，其截距分别为-1-1、-1-1、-1-1，则其晶面指数也为（则其晶面指数也为（111111）。）。1111:1:11:1:1110101111:110111011:111101011:lkh85章节课件3 3）对平面）对平面HIBHIB，其上三点的坐标分别为，其上三点的坐标分别为 H 、I I 和和 B B 。121212102101013141:41:43110102112121:010211211121:01121011211hkl86章节课件六、六方晶系的四

55、轴定向六、六方晶系的四轴定向1 1、四轴定向的必要性、四轴定向的必要性 1 1）三轴定向使用了与）三轴定向使用了与z z轴垂直的两个二次轴垂直的两个二次轴来定义轴来定义 x x、y y轴，轴，就不能显示出六方晶就不能显示出六方晶系的对称特性。系的对称特性。87章节课件2 2）在晶向和晶面指数的表示上也不能显示其对称情）在晶向和晶面指数的表示上也不能显示其对称情况。况。88章节课件2 2、四轴定向的表示原则、四轴定向的表示原则 将垂直于将垂直于z z轴的三个轴的三个二次轴都选作坐标轴，二次轴都选作坐标轴，分别记为分别记为 、和和 ，其上的基矢记，其上的基矢记为为 、1a2a3a0321321aa

56、aaaa1ox2ox3ox89章节课件3 3、四轴定向下的点的坐标、四轴定向下的点的坐标 若若则则R R点的坐标可以记为点的坐标可以记为因为因为可得可得czaxaxaxOR332211zxxx321cZaYaXczaxxaxxczaaxaxaxOR2123213121322110321aaazZxxYxxX323190章节课件 上式为上式为4 4轴定向的点坐标转换成轴定向的点坐标转换成3 3轴定向的点坐轴定向的点坐标关系式。在标关系式。在4 4轴定向中，为了便于计算，规定点轴定向中，为了便于计算，规定点的坐标在的坐标在x x1 1、x x2 2、x x3 3轴上分量应满足：轴上分量应满足：这样

57、得这样得3 3轴和轴和4 4轴定向的点坐标转换关系式：轴定向的点坐标转换关系式：0321xxxZzYXxXYxYXx3123123132191章节课件4 4、四轴定向下的直线的晶向指数、四轴定向下的直线的晶向指数 设设3 3轴定向下的指数为轴定向下的指数为 UVWUVW，4 4轴定向下的指轴定向下的指数为数为 uvtwuvtw，则有转换关系式则有转换关系式：0wvuwWtvVtuUWwVUtUVvVUu3123123192章节课件5 5、六方晶系的晶面指数、六方晶系的晶面指数1 1）由该晶面与四个晶轴的截距的倒数求得，即：）由该晶面与四个晶轴的截距的倒数求得，即：2 2）根据平面截距式方程得）

58、根据平面截距式方程得 3）有时写成有时写成注意：注意：在立方晶系中，如果一晶向和某一晶面的指在立方晶系中，如果一晶向和某一晶面的指数数值相同，则这一晶向一定和该晶面垂直。在数数值相同，则这一晶向一定和该晶面垂直。在其它晶系中，这种关系就不一定了。其它晶系中，这种关系就不一定了。likhpqnm:1:1:1:1khihkillhk,93章节课件六、单形和聚形六、单形和聚形1 1、晶向单形、晶向单形 在晶体结构中凡能用宏观对称操作（在晶体结构中凡能用宏观对称操作（点群对称点群对称操作操作）而产生规则重复的晶向组合称为一个）而产生规则重复的晶向组合称为一个晶向晶向单形单形（点群直线系点群直线系）例如

59、：在立方晶系中，例如：在立方晶系中，可通过宏观对称操作与可通过宏观对称操作与 作规则重复，作规则重复，所以这六个晶向构成一所以这六个晶向构成一 个晶向单形，记为个晶向单形，记为 01110111001111010194章节课件2 2、晶面单形、晶面单形1 1）定义：在晶体结构中，凡能用宏观对称操作（）定义：在晶体结构中，凡能用宏观对称操作（点点群对称操作群对称操作）而产生规则重复的晶面的组合称为一）而产生规则重复的晶面的组合称为一个个晶面单形晶面单形（点群平面系点群平面系），简称），简称单形单形。例如：在立方晶系中，例如：在立方晶系中，可通过宏观对称操作与可通过宏观对称操作与 作规则重复作规则

60、重复 ，所以这六，所以这六个晶面构成一个晶面单形，记为个晶面构成一个晶面单形，记为：100.同一单形中的晶面，其形同一单形中的晶面，其形状、大小和性质等应该是完全相同的状、大小和性质等应该是完全相同的。01001000110010000101095章节课件2 2）单形的种类）单形的种类a a、闭形：如果一个单形的各晶面能围成封闭的多面、闭形：如果一个单形的各晶面能围成封闭的多面 体，则此单形称为体，则此单形称为闭形闭形。b b、开形：凡是不能构成封闭多面体的则为、开形：凡是不能构成封闭多面体的则为开形开形。3 3）重复次数）重复次数 构成单形的晶面的数目称为该单形的构成单形的晶面的数目称为该单

61、形的重复次数重复次数（重复因子重复因子）。）。4 4）单形符号的写法）单形符号的写法a a、根据点群元素确定晶系，选取坐标系。写出晶面、根据点群元素确定晶系，选取坐标系。写出晶面（晶向）指数；（晶向）指数；b b、尽可能选取指数中正数较多者；、尽可能选取指数中正数较多者；c c、尽可能选取指数中数字按大小递减次序排列；、尽可能选取指数中数字按大小递减次序排列；d d、4 4轴定向时，第四个数字除外，然后按轴定向时，第四个数字除外，然后按2 2）、）、3 3）两）两条选取。条选取。96章节课件3 3、聚形、聚形 由两个或两个以上由两个或两个以上的单形所组成的多面的单形所组成的多面体称为体称为聚形

62、聚形。如果单形中出如果单形中出现现n n种大小、形状不种大小、形状不同的晶面，一般这个同的晶面，一般这个聚形含有聚形含有n n种单形。种单形。97章节课件概括概括：单形的晶面在物理性质和化学性质上彼此相：单形的晶面在物理性质和化学性质上彼此相同，在理想结晶情况下，晶面的外形也相同，因同，在理想结晶情况下，晶面的外形也相同，因此可以借助对称操作由一个晶面推道出其余的晶此可以借助对称操作由一个晶面推道出其余的晶面。面。聚形的各种晶面间毫无对称操作联系，因此在聚形的各种晶面间毫无对称操作联系，因此在外形上、数量上以及其他性质上可能各不相同，外形上、数量上以及其他性质上可能各不相同，它是单形的总和。它

63、是单形的总和。98章节课件1-7 1-7 倒易点阵概念倒易点阵概念 为了能够简便地解决晶体学中的一些问题和为了能够简便地解决晶体学中的一些问题和更清楚地解释各种衍射问题，现在引人一种新的更清楚地解释各种衍射问题，现在引人一种新的几何图形几何图形倒易点阵倒易点阵，它是在空间点阵（，它是在空间点阵（晶体点晶体点阵阵、正点阵正点阵）的基础上按照一定的对应关系建立）的基础上按照一定的对应关系建立起来的，它也是一种点的集合，是一种数学模型。起来的，它也是一种点的集合，是一种数学模型。倒易点阵是由被称为倒易点阵是由被称为倒格点倒格点或或倒易点倒易点的点所构的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何

64、成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，方法，它和空间点阵具有倒易关系它和空间点阵具有倒易关系。99章节课件一、倒易点阵几何一、倒易点阵几何 倒易点阵中的倒易点阵中的一格点一格点对应着晶体点阵中对应着晶体点阵中一族晶一族晶面间距相等的格点平面面间距相等的格点平面。如果让两个点阵的原点。如果让两个点阵的原点重合，它们之间的关系为：重合，它们之间的关系为：1 1、晶体点阵中的、晶体点阵中的 晶面在倒易空间中用一晶面在倒易空间中用一 点点 来表示，来表示，和和 间的连线垂直于晶间的连线垂直于晶 体点阵中的体点阵中的 晶面；晶面；hkl*hklp*hklp*ohkl100章节课件2 2、如果倒

65、易点阵中的矢量、如果倒易点阵中的矢量 称为称为倒易矢量倒易矢量（严格说为（严格说为倒格矢量倒格矢量），则），则 或或 式中式中 称为称为 晶面族的晶面族的晶面间距晶面间距，它为，它为该该晶面族中相临两个晶面间的垂直距离晶面族中相临两个晶面间的垂直距离。利用上述转换关系，可以由任何一个空间点阵利用上述转换关系，可以由任何一个空间点阵得到其对应的倒易点阵，或者反之。得到其对应的倒易点阵，或者反之。hklhkldg1hklhkldkghkldhklhklhklgpo*101章节课件二、倒易点阵的矢量分析二、倒易点阵的矢量分析1 1、若空间点阵的基矢为、若空间点阵的基矢为 、，其相应的倒，其相应的倒

66、易矢量的易矢量的三个基矢为三个基矢为 、，则这两个则这两个点阵的基本关系表示为：点阵的基本关系表示为：bca*a*b*c10*ccbbaabcaccbabcaba102章节课件证明：证明：1 1）因为）因为 所以所以2 2）因为因为式中式中 为为 和和 的夹角，所以的夹角，所以001*cbcac*0*bcac001*1dc cos001cpodc*ccos11001*cdc1*cc103章节课件2 2、求、求 、的大小和方向的大小和方向解：因为解：因为 垂直于包含垂直于包含 、两个矢量的平面，两个矢量的平面，而而 也垂直于包含也垂直于包含 、所在的平面，所在的平面，所以所以 与与 成比例，即成比例，即 将两边同乘以将两边同乘以 ，则，则 *a*b*c*cababbabac*c1*Vcbacc*cba104章节课件所以即同样可得到其它两个值。cbabaVbac*V1cbaacVacb*cbacbVcba*105章节课件3 3、倒易矢量、倒易矢量 表示对应于（表示对应于（hklhkl）面族的倒易）面族的倒易矢量，则矢量，则gghklhklg*c lbkah106章节课件三、正、倒点阵关系三