一章六节_线性目标规划

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1、线线 性性 目目 标标 规规 划划(Goal programming)目标规划的图解法目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划的单纯形法目标规划概述及其模型目标规划概述及其模型 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。2 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。1 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可束条

2、件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。求得更切合实际的解。第一节第一节 目标规划概述及其模型目标规划概述及其模型（一）目标规划与线性规划的比较（一）目标规划与线性规划的比较 4 4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。3 3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而目标规划中有轻重缓

3、急和主次之分，即有优先权。而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。目前，目标规划已经在经济计划、生产管理、物流管目前，目标规划已经在经济计划、生产管理、物流管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。例例1:某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。好，应尽可能少生产；乙的

4、销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。试建立此问题的数学模型。12070单件利润单件利润3000103设备台时设备台时200054煤炭煤炭360049钢材钢材资源限制资源限制乙乙甲甲 单位单位 产品产品资源资源 消耗消耗（二）目标规划的基本概念（二）目标规划的基本概念设：甲产品设：甲产品 x1，乙产品，乙产品 x2 一般有：一般有：maxZ=70 x1+120 x2 9 x1+4 x2 3600 4 x1+5 x2 2000 3 x1+10 x2 3000 x1，x2 0同时：同时：maxZ1=70 x1+120 x2 minZ2=x1 maxZ3=x2 9 x1+4 x2 3600

5、 4 x1+5 x2 2000 3 x1+10 x2 3000 x1，x2 0 显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法很难找到最优解。很难找到最优解。目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。函数转化为目标约束。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。实现值或决策值：是指当决策变量实现值或决策值：是指当决策变量x xj j 选定以后，目选定以后，目标函数的对应值。标函数的对应值。偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值偏差变量（

6、事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异和目标值之间的差异,记为记为 d d。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d d。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为为 d d。1 1、目标值和偏差变量、目标值和偏差变量 当完成或超额完成规定的指标则表示：当完成或超额完成规定的指标则表示：d d0,d d0 当未完成规定的指标则表示：当未完成规定的指标则表示：d d0,d d0 当恰好完成指标时则表示：当恰好完成指标时则表示：d d0,d d0 d d d d 0 0 成立。成立。引

7、入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，既目标约束。有了新的限制，既目标约束。目标约束既可对原目标函数起作用，也可对原约束目标约束既可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有到目标值，故有 d d d d 0,0,并规定并规定d d0,d d02 2、目标约束和绝对约束、目标约束和绝对约束 绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或绝对约束（系统约束

8、）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。例如：在例一中，规定例如：在例一中，规定Z1 的目标值为的目标值为 50000,正、负正、负偏差为偏差为d、d,则目标函数可以转换为目标约束，既则目标函数可以转换为目标约束，既70 x1+120 x2 50000，同样，若规定同样，若规定 Z2200，Z3250 则有则有 11dd200221ddx250332ddx)3.2.1(0,jddjj 若规定若规定36003600的钢材必须用完，原

9、式的钢材必须用完，原式9 x1+4 x2 3600则变为则变为0,360049444421ddddxx 达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ=f（d、d）。）。一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则尽可能小，则minZ=f（d d）。）。.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则正偏差变量尽可能小，则min

10、Z=f（d）。）。.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则也就是负偏差变量尽可能小，则minZ=f（d）。）。3 3、达成函数（即目标规划中的目标函数）、达成函数（即目标规划中的目标函数）优先因子优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。示出来。P1P2PkPk+1PK，k=1.2K。权系数权系数k 区别具有相同优先因子的两个目标的差区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。别，决策者可视具体情况而定。对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分对于

11、这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。有些可能就不能实现。4 4、优先因子（优先等级）与优先权系数、优先因子（优先等级）与优先权系数 5 5、满意解（具有层次意义的解）、满意解（具有层次意义的解）若在例一中提出下列要求：若在例一中提出下列要求：1、超额完成利润指标、超额完成利润指标 50000元；元；2、产品甲不超过、产品甲不超过 200件，产品乙不低于件，产品乙不低于 250件；件；3、现有钢材、现有钢材 3600吨必须用完。吨必须用完。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型

12、。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。第一目标：第一目标：第二目标：有两个要求即甲第二目标：有两个要求即甲 ，乙，乙 ，两者，两者具有相同的优先因子，为区分两者的差别（或重要程具有相同的优先因子，为区分两者的差别（或重要程度），需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权度），需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即系数即 70:120，化简为，化简为7:12。11dP32 dd)127(322ddP例例2:第三目标：第三目标：)(443 ddP)4.3.2.1(0.,03000 10 3 2000 5 4 36004 9 250 200 50

13、00012070)()127(min2121214421332221112144332211jddxxxxxddxxddxddxddxxddPddPdPZjj目标规划模型为：目标规划模型为：某厂生产某厂生产、两两种产品，有关数据如表种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的所示。试求获利最大的生产方案？生产方案？拥有量拥有量原材料原材料2111设备设备(台时台时)1210单件利润单件利润810 在此基础上考虑：在此基础上考虑：1、产品、产品的产量不低于产品的产量不低于产品的产量；的产量；2、充分利用设备有效台时，不加班；、充分利用设备有效台时，不加班；3、利润不小于、利润不小于 56 元。元。解

14、解:分析分析 第一目标：第一目标：即产品即产品的产量不大于的产量不大于的产量。的产量。第二目标：第二目标：11dP)(222ddP例例3：第三目标：第三目标：33dP规划模型：规划模型：)3.2.1(0.,011 256108102 0 )(min21213321222111213322211jddxxxddxxddxxddxxdPddPdPZjj（三）目标规划数学模型1 1、目标规划数学模型的一般形式、目标规划数学模型的一般形式 )2.1(0.n)1.2(j 0)2.1().()2.1()(min1111KkddxmibxaKkgddxcddPZkkjnjijijnjkkkjkjLlKkkl

15、kklkl达成函数达成函数目标约束目标约束其中：其中：g gk k为第为第k k个目标约束的预期目标值，个目标约束的预期目标值，和和 为为p pl l 优先因子优先因子对应各目标的权系数。对应各目标的权系数。lk lk2、建模的步骤、建模的步骤 （1 1）根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定）根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束。目标值，列出目标约束与绝对约束。klkl和和 （4 4）对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按）对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数其重要程度的不同，赋予相应的权系数 。（3 3）给各目

16、标赋予相应的优先因子）给各目标赋予相应的优先因子 P Pk k（k=1.2k=1.2K K）。）。（2 2）可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束）可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。变量和减去正偏差变量即可。（5 5）根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个）根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。现极小化的目标函数，即达成函数。minZ=f(

17、)ddmin()Zf dm in()Zfd1.1.恰好达到目标值，即取正、负偏差变量都要恰好达到目标值，即取正、负偏差变量都要尽可能地小，这时尽可能地小，这时2.2.要求超过目标值，即超过量不限，但必须是要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏量要尽可能小，这时负偏量要尽可能小，这时3.3.要求不超过目标值，即允许达不到目标函数值，要求不超过目标值，即允许达不到目标函数值，即正偏量要尽可能小，这时即正偏量要尽可能小，这时3、小结、小结线性规划线性规划LPLP目标规划目标规划GPGP目标函数目标函数min ,max系数可正负系数可正负min ,偏差变量偏差变量系数系数0 0变量变量x xi,i

18、,x xs s x xa a x xi i x xs s x xa a d d约束条件约束条件绝对约束绝对约束目标约束目标约束绝对约束绝对约束解解最优最优最满意最满意第二节 目标规划图解法适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。的求解原理和过程。1.将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量，令其等于偏差变量，令其等于0）的直线方程分别标示于坐标平面上。）的直线方程分别标示于坐

19、标平面上。2.确定系统约束的可行域。确定系统约束的可行域。3.在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向。值增大的方向。目标规划的图解法 4.求满足最高优先等级目标的解 5.转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解 6.重复5，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止，确定最优解和满意解。目标规划的图解法 例4 用图解法求解下列目标规划问题112223334412121112221233124412min)3()416(4.1)412(4.1)2312(4.1)0(4.1)22

20、12(4.1)28(4.1),0(1,4)iizPdP ddP ddPdxaxbxxddcxxdddxxddexxddfx x ddi（目标规划的图解法(a)(b)(c)(d)x2x1(e)(f)d1-d1+d2+d2-d3-d3+d4-d4+满意解满意解(3,3)12121112221233124412416(4.1)412(4.1)2312(4.1)0(4.1)2212(4.1)28(4.1),0(1,4)iixaxbxxddcxxdddxxddexxddfx x ddi 4433322211)()mindPddPddPdPz（04683462 2目标规划的图解法1 12223312121

21、11222123312min)211()0()210()81056(),0(1,2,3)iizPdP ddPdxxaxxddbxxddcxxdddx x ddi（x1x2(a)(b)d1+d1-(c)d2-d2+(d)d3-d3+GD满意解是线段满意解是线段GD上任意点上任意点其中其中G点点X(2,4),D点点X(10/3,10/3)05.51055.6112,410/3,10/35107例例5目标规划的图解分析法 )4,1(0,)(30)(24)(50)(40)2(min21442331222111214332211iddxxdddxcddxbddxxaddxxddPdPdPziiOx1x2

22、2040605020406050abd1-d1+d2-d2+cdd3-d3+d4-d4+(24,26)满意解满意解X=(24，26)例例6目标规划应用举例 例7 已知一个生产计划的线性规划模型如下，其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。0)(100 )(60 )(14021230max21212121xxxxxxxZ丙丙资资源源乙乙资资源源甲甲资资源源现有下列目标：现有下列目标：1.要求总利润必须超过要求总利润必须超过 2500 元；元；2.考虑产品受市场影响，为避免积压，考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过生产量不超过 60 件件和和 100 件；件；3.由于甲

23、资源供应比较紧张，不要超过现有量由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。试建立目标规划模型，并用图解法求解。目标规划应用举例解：以产品解：以产品 A,B 的单件利润比的单件利润比 2.5:1 为权系数，模型如下：为权系数，模型如下：)4.3.2.1(0,0100 60 100 60 140 2 250012305.2min21214423312221112123423211lddxxxddxddxddxxddxxdPdPdPdPZll目标规划应用举例0 x2 0 x114012010080604020 20 40 60 80 100 2d 2d 1d

24、1d 3d 3d 4d 4dABCD )4.3.2.1(0,0100 60 100 60 140 2 250012305.2min21214423312221112123423211lddxxxddxddxddxxddxxdPdPdPdPZllC(60,58.3)为所求的满意解。为所求的满意解。(24,26)补补充充练练习习1212123213213xxxxPPPPPPPPP一一、某某市市预预算算购购置置一一批批救救护护车车分分配配给给所所属属甲甲、乙乙两两医医院院各各、辆辆。已已知知每每辆辆救救护护车车价价格格为为2020万万元元。甲甲、乙乙医医院院接接到到求求救救电电话话到到救救护护车车出

25、出动动的的响响应应时时间间分分别别为为（40403 3）、（50504 4）秒秒。决决策策目目标标为为：救救护护车车购购置置费费不不超超过过400400万万元元；：甲甲医医院院的的响响应应时时间间不不超超过过5 5秒秒；：乙乙医医院院的的响响应应时时间间不不超超过过5 5秒秒。（1 1）建建立立目目标标规规划划模模型型；（2 2）若若对对优优先先级级目目标标作作出出调调整整：变变为为；变变为为；变变为为，重重新新建建立立模模型型。112233121112223312min202040040355045,0,0(1,2,3)iizPdP dP dxxddxddxddxxddi 122331121

26、112223312min202040040355045,0,0(1,2,3)iizPdP dP dxxddxddxddxxddi 二二、已已知知某某实实际际问问题题的的线线性性规规划划模模型型为为19001PzP1 12 2现现重重新新确确立立决决策策目目标标为为：利利润润值值 不不低低于于；：资资源源 必必须须全全部部利利用用（可可以以超超量量）。1212121210050926200.12425,0MaxZxxxxs txxx x ，1资资源源2资资源源试试建建立立目目标标规规划划模模型型。1 12212111222123123min100501900926200.12425,0;,0(1

27、,2)iizPdPdxxddxxdds txxxx x xd di 三三、用用图图解解法法求求目目标标规规划划的的满满意意解解：12111222123312242428,0(1,2,3)iixxddxxddxxddxxddi 约约束束方方程程112332minzPdP dP d目目标标函函数数：第第三三节节解解目目标标规规划划的的单单纯纯形形法法 目目标标规规划划与与线线性性规规划划数数学学模模型型没没有有本本质质的的区区别别。则则可可以以用用单单纯纯形形方方法法解解决决目目标标规规划划问问题题。j0min 注注意意事事项项：（1 1）目目标标函函数数为为问问题题，则则最最优优准准则则为为；1

28、23.PPP（2 2）目目标标函函数数中中非非基基变变量量的的检检验验数数（系系数数）含含有有优优先先因因子子，应应考考虑虑因因素素。1 1、建立初始单纯形表。、建立初始单纯形表。一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级偏差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数（有几个优先因子，从左至右分别计算出各列的检验数（有几个优先因子，检验数就有几行），填入表的下半部检验数就有几行），填入表的下半部 。2 2、检验是否为满意解。判别准则如下：、检验是否为满意解。判别准则如下：按

29、优先级顺序依次检查按优先级顺序依次检查P P1,1,P P2,.2,.P Pk k行的检验数行的检验数（c cj j-z-zj j）,如果全部为非负，则表示目标均已全部达到，如果全部为非负，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计算转到第获得满意解，停止计算转到第6 6步；否则转入。步；否则转入。（一）、单纯形法的计算步骤（一）、单纯形法的计算步骤 .如果如果P Pk k行有负的检验数。说明第行有负的检验数。说明第k k个优先等级的目个优先等级的目标尚未达到标尚未达到,必须检查必须检查Pk这一行的检验数。若这一行的检验数。若Pk这一行某这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级）没有正检验数

30、，些负检验数的同列上面（较高优先等级）没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转到第说明未得到满意解，应继续改进，转到第3 3步；若步；若Pk这一这一行全部负检验数的同列上面（较高优先等级）都有正检验行全部负检验数的同列上面（较高优先等级）都有正检验数，说明数，说明第第K K个目标虽没达到，但已不能改进，故得满意个目标虽没达到，但已不能改进，故得满意解解，转到第，转到第6 6步。步。3 3、确定进基变量。、确定进基变量。在在Pk行，从那些上面没有正检验数的负检验数中，行，从那些上面没有正检验数的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量选绝对值最大者，对应的变量xs就是进基变量。若就是进基变量

31、。若Pk行行中绝对值最大的负检验数有多个（相等），则选最左中绝对值最大的负检验数有多个（相等），则选最左边的变量（变量下标小者）为进基变量。边的变量（变量下标小者）为进基变量。4 4、确定出基变量、确定出基变量 其方法同线性规划，即依据最小比值法则其方法同线性规划，即依据最小比值法则故确定故确定xr为出基变量，为出基变量，e ersrs为主元素。若有几个相同的为主元素。若有几个相同的行可供选择时，选最上面那一行所对应得变量为行可供选择时，选最上面那一行所对应得变量为xr 。rsorisissiebeeb0/min 5 5、旋转变换（变量迭代）。、旋转变换（变量迭代）。以为主元素进行变换，得到新

32、的单纯形表，获得一组以为主元素进行变换，得到新的单纯形表，获得一组新解，返回到第新解，返回到第2 2步。步。6 6、对求得的解进行分析、对求得的解进行分析 若计算结果满意，停止运算；若不满意，需修改模若计算结果满意，停止运算；若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数，或者改变目标值，型，即调整目标优先等级和权系数，或者改变目标值，重新进行第重新进行第1 1步。步。+11223min+（）zP ddP d11112221233121024032100,0(1,2,3)iixddxxdds.txxddxxddi 8用单纯形法解下列目标规例划问题：00000112101011000010/1

33、10402100110040/2210032000011100/323100101001320000012CPPpj+CXbxxddddddBB12123123Pd1dPdPjP 第一步，列出初始单纯形表，目标约束中负偏差变量系数均为单位第一步，列出初始单纯形表，目标约束中负偏差变量系数均为单位向量，故它们的系数列向量构成初始基。目标函数中偏差变量分别向量，故它们的系数列向量构成初始基。目标函数中偏差变量分别乘以不同的优先因子，因此表中的检验数（乘以不同的优先因子，因此表中的检验数（cj-zj）按优先因子）按优先因子P1，P2分成两行，分别计算。按优先级依次检查，确定入基、出基变量分成两行，分

34、别计算。按优先级依次检查，确定入基、出基变量000001120101011000010200122110020/22700233001170/332001001001023300012CPPPj+CXbxxddddddBB12123123xdpdPjP 用换入变量替换基变量中的换出变量，进行迭代运算，得下表。因检验数中p2行中仍有负数，可以继续优化，重复迭代，得最终单纯形表00000112010101100001020012211002300011221123001001001001122012CPPPj+CXbxxddddddBB12123123xxPdPjP P2行中虽有负检验数，但负检验

35、数同列较高优先级的行中存在正检验数，计算应停止，得到满意解。说明：说明：对目标函数的优化是按优先等级顺序逐级进行的。对目标函数的优化是按优先等级顺序逐级进行的。当当P P1 1行所有检验数均为非负时，再考察行所有检验数均为非负时，再考察P P2 2行的检行的检验数是否存在负值，依次类推。验数是否存在负值，依次类推。判断迭代计算是否应停止的准则为：判断迭代计算是否应停止的准则为：（1 1）检验数）检验数P P1 1，P P2,2,.,P.,Pk k行的所有值均为非负。行的所有值均为非负。（2 2）若）若P P1,1,.,P,.,Pi i 行所有检验数为非负，第行所有检验数为非负，第P Pi+1i

36、+1 行行存在负检验数，但在负检验数所在列的上面行中存在负检验数，但在负检验数所在列的上面行中有正检验数。如上题中，有正检验数。如上题中，P P2 2行中虽有负检验数，行中虽有负检验数，但负检验数同列较高优先级的行中存在正检验数，但负检验数同列较高优先级的行中存在正检验数，计算应停止。计算应停止。例例9.用单纯形法求解用单纯形法求解 已知一个生产计划的线性规划模型为已知一个生产计划的线性规划模型为 01006014021230max21212121xxxxxxxZ)()()(丙丙资资源源乙乙资资源源甲甲资资源源 其中目标函数为总利润，其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品为产品A、B产量。现

37、产量。现有下列目标：有下列目标：1、要求总利润必须超过、要求总利润必须超过 2500 元；元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产生产量不超过量不超过 60 件和件和 100 件；件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。)4.3.2.1(0,0100 60 140 2 250012305.2min214423312221112123423211lddxddxddxddxxddxxdPdPdPdPZll解：以产品解：以产品 A A、B B 的单件利润比的单件利润比 2.5 2.5：1 1 为为A

38、A、B B产品产量权系数，模型如下：产品产量权系数，模型如下：Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P1250030121100000001402100110000060100000110001000100000011jP1 301201000000P2 00000002.501P3 00000100001d1d2d2d3d3d4d4d1d2d3d4d=min2500/30,140/2,60/1=60,故故 为换出变量。为换出变量。3dCj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P1700012110030300002001001122000 x16010000

39、0110001000100000011jP1 0120100303000P2 00000002.501P3 00000100001d1d2d2d3d3d4d4d1d2d4d=min700/30,20/2,=10,故故 为换出变量。为换出变量。2dCj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P14000-31-1-151500002.5P21001/2001/2-1/2-11000 x17011/2001/2-1/200000100010000001-1jP1 030115-150000P2 0-5/400-5/45/45/2001P3 00000100001d1d2d2d3d3d

40、4d4d1d4d=min400/15,故故 为换出变量。为换出变量。3d1dCj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P380/30-1/51/15-1/15-1100002.5P270/302/51/30-1/3000-11000 x1250/312/51/30-1/3000000001000100000011jP1 0010000000P2 0-1-1/121/12002/5001P3 01/5-1/151/151000001d1d2d2d3d3d4d4d4d=min,350/6,1250/6,100/1=75/3,故故 为换出变量。为换出变量。2d3d3dCj 00P10

41、0P302.5P20P2CBXBbx1x2P3115/3001/12-1/12-11-1/21/2000 x2175/3011/12-1/1200-5/25/2000 x160100000-11000125/300-1/121/12005/2-5/211jP1 0010000000P2 00000005/201P3 00-1/121/12101/2-1/2001d1d2d2d3d3d4d4d4d2d表中表中P3行存在负数行存在负数，说明说明P3 优先等级目标没有实现，但已无法改优先等级目标没有实现，但已无法改进，得到满意解进，得到满意解 x1 60，x2 175/3，115/3，125/3。4

42、d2d 结果分析：计算结果表明，工厂应生产结果分析：计算结果表明，工厂应生产A产品产品60件，件，B产品产品175/3件，件，2500元的利润目标刚好达到。元的利润目标刚好达到。125/3，表明产品比最高限额少，表明产品比最高限额少125/3件，满足要求。件，满足要求。115/3 表明甲资源超过库存表明甲资源超过库存115/3公斤，该目标没有达公斤，该目标没有达到。到。从表中还可以看到，从表中还可以看到，P3 的检验数还有负数，但其高的检验数还有负数，但其高等级的检验数却是正数，要保证等级的检验数却是正数，要保证 P1目标实现，目标实现，P3等级等级目标则无法实现。目标则无法实现。可考虑如下措

43、施：降低可考虑如下措施：降低A、B产品对甲资源的消耗产品对甲资源的消耗量，以满足现有甲资源库存量的目标；或改变量，以满足现有甲资源库存量的目标；或改变P3等级目等级目标的指标值，增加甲资源标的指标值，增加甲资源115/3115/3公斤。公斤。若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等级，以取得可行的满意结果。级，以取得可行的满意结果。4d2d)3.2.1(0.,011 256108102 0 )(min21213321222111213322211jddxxxddxxddxxddxxdPddPdPZjj练习：练习：用单纯形法求解下列目标规划问题用单

44、纯形法求解下列目标规划问题Cj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 00111100000P210120011000 P3 5681000001100 x3 11210000001jP1 000100000P2 120002000P3 81000000101d1d2d2d3d3d1d2d3d=min,10/2,56/10,11/1=5,故故 为换出变量。为换出变量。2dCj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 053/20111/2-1/20000 x251/21001/2-1/2000 P3 63000-551100 x3 63/2000-1/21

45、/2001jP1 000100000P2 000011000P3 30005-50101d1d2d2d3d3d1d3d=min10/3,10,6/3,12/3=2,故故 为换出变量。为换出变量。3dCj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 0200113-3-1/21/200 x2401004/3-4/3-1/61/600 x121000-5/35/31/3-1/300 x3 300002-2-1/21/21jP1 000100000P2 000011000P3 0000001001d1d2d2d3d3d1d 最优解为最优解为x12 2，x2 4 4。但非基变量但非基变量 的检验的检验数为零，故此题有无穷多最优解。数为零，故此题有无穷多最优解。=min4,24,6=4,故故 为换出变量。为换出变量。1d3dCj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 04002-26-6-1100 x210/301-1/31/31/3-1/30000 x110/3102/3-2/31/3-1/30000 x3 100-11-11001jP1 0000100000P2 0000011000P3 00000001001d1d2d2d3d3d3d 最优解为最优解为x110/3,，x2=10/3。目标规划结束目标规划结束谢谢！谢谢！