三维各向异性谐振子的能级简并-太原师范学院物理系

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1、各向异性谐振子的能级简并刘永宏 指导教师：焦志莲（太原师范学院物理系，太原 030031）摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题。关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。0. 引 言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的量子 力学导论就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。但是对于各向异性谐振子的问题，则很少 有教材中进行专门的讨论。各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性， 且在一定的近似条件下 可转变为各向同性谐振子来处理。所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加

2、深对各 向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。本文先 给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。 1. 各向异性谐振子的能级及波函数1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在 oxy 坐标系中可以表示为H二 P2 + Py + 1 叫 x 2 + 1 2 y 2( 1)(x，y)222 x 2 yP2 1P2 12)3)( 4 )Hx=耳 + 2 吧2X2, Hy 二命 + 2 吧2y2求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为E n , n xy屮(x,

3、 y) = T (a x)T (a y)n , nn x n yx yxy其中，各维波函数为屮(a x) = N exp( a 2x2)H (a x); n xx2 xx xx屮(a y) = N exp(a2y2)H (a y)；ny y y 2 y y y6)1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数在三维空间O -xyz中，三维谐振子的哈密顿量为H=竺 + 二 + 生 +1x2 +1 卩 2 y 2 + 卩 2 z 2(x，y,z)2 卩 2 卩 2 卩 2 x 2 y2 z7)P21P 21P21令H =十+ 卩2x2,H = +卩y ,2H = = + 卩z2 2x 2 卩 2 x y

4、 2 p 2 y z2 p2 z8)由三维谐振子体系哈密顿量的本征值方程，可以求出的体系哈密顿量的本征值及相应的本征值函数为E n , n , n xyz=(nx + 轧 x + (ny + 轧背 + (n + 轧 (9)其中，屮nx(a z) = N exp( 1 a2z2)H (a z);a =zz2 z z zz, n = 0,1,2,z(11)2 各向异性谐振子的能级简并一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。以下我们分别就二维、三维谐振子情况，对能级简并进行了讨论。21 二维各向异性谐振子的能级简并能级E 所对应的量子状态只有一个，即 屮 (x,y)态，可以用(n ,n )表示这个

5、能态。 n , nn , nx yx yx y由(3)式可知，当3 ,3满足一定关系时，能级E 有可能出现简并。设存在另一组态(n ,n)，x yn , nx yxy其能量 E 与 E 相等，即n ,nx, yxy(n n )3 +(n n )3 = 0(12)x x x y y y10)屮(x, y, z) = T (a x)T (a y)T (a z)n , n , nn x n y n zx y zxyz(a x)、屮(a y)的具体表示与(5)、(6)式完全相同，z方向的波函数为xn yy令卩二/，下面对各种情况进行讨论。 x y2.1.1 0为有理数的情形当0为有理数时， 心 可以表

6、示为x y13)式中 p,q 为不可约正整数，将（ 13）式代入 （12）式得14)(n - n )(n - n ) = -w /w = - q px x y yy x由于（ n , n , n , n ）的取值均可为 0，yy1，2,，因此，要使（14）式成立有三种可能xx情形：1)n n ，xxn 0, nyy kp，可得k = 1,2,/p ，其中n/p 表示njp这个数的整数部分。于是（n , n）有n jp 个可能的组态满足（12）式。n n 的情况 xxyyn -n = -kq, xxn - n = kpyy(17)n = n - kq ， xxn = n + kpyy18 )由于

7、n 0,xn kq，可得k = 1,2, , n /q，n /q表示n . q这个数的整数部分（下面XXXx的类似表示也代表同样的意义）。于是（n ,n）还有n /q个可能的组态也满足（12）式。X y一3) n = n ， n = n 的情况xxyy这种情况下只有一组能态，即能级 E 所对应的量子状态只有一个，即 （n ,n ） 态。 n , nx yxy综合上述三种情况，当0= 为有理数时，（n ,n）的可能组态个数共有x yX y19 )n , p + n q +1。它们均满足（12）式和（14）式，它们的能量均为 En , n所以此能级的简并度就是 f ，由此可见，xy二维各向异性谐振

8、子的能级简并与参量心 有关。x y212卩为无理数的情形当卩为无理数时，要使（12）式成立，必然要求：n - nxx=0,即n = n ,由此还可以得到n = n。xy y这就说明，当 Z为无理数时，不可能存在另一组态（x yn ,n )， xy使其能量也为 E ，即能量是x,y非简并的。22 三维各向异性谐振子的能级简并三维各向异性谐振子能级 E ，所对应的量子状态只有一个，n , n , n xyz即屮（x, y, z）态，可以用n ， n ， nxyzn ，n ，n ）表示这个能态。根据（9）式，当 ， ， 满足一定关系时，能级 E x y zx y z有可能出现n ， n ， nxy简

9、并，设存在另一组态（ n ，n ，n ），其能量 Exyz与 E 相等，即nx，ny ，nznx，ny ，nz+ (nz + 2)力 z = (nx + 2)力 + (ny + 2)力 y + (nz + 轧 z(20)(n - n ) + (n - n ) + (n - n ) = 0 x x x y y y z z z21)令卩缈，心，下面对各种情形下的能级简并进行讨论。x yy z2. 2. 1 = 0的情况z21）式简化为：(n - n )w + (n - n ) = 0 x x x y y y22)对于这种情形，体系能级简并度与二维谐振子能级简并讨论完全相同，在这里面就不再累述。但是

10、，需要注意=0时，三维谐振子体系并非转化为二维谐振子，此时只是三维谐振子体系哈密 z顿量转化为P 2P2P2 1 1H = x +y + z- +x2 +2 y2(x，y，z)2 p 2 p 2 p 2 x 2 y23)P2与二维各向异性谐振子哈密顿量（1）式比较，相差一项亍，即此时三维谐振子体系在z轴方2pF面就Y的各种取值情形下的能级简并进行讨论。(n ,n ,n ) 态。xyz( 25)( 26)( 27)式成立有两种( 28)( 29)向只有动能部分，不存在势能作用。222 o丰0的情形z当o丰0时，, (21 )式变为：zx yI(n p + n) 一(n p + n )Io + (

11、n n )o = 0x yxy y zzz(1) 当(n P + n ) - ( n P + n )=0 时， 得 n = n , n = n , n = n .x yxyxxyy z z这种情况下只有一组能态，即能级 E 所对应的量子状态只有一个， n , n , nx y z(2) 当(n P+ n ) - ( n P + n )丰 0 时，(24)化简为x yx yn n(n p + n ) (n p + n ) xyxy(一)Y为有理数的情形当Y为有理数时，Y=o ,.o可以表示为y zY = m.-n式中m,n为不可约正整数，将(26)式代入(25)式得:n n(n P + n )

12、(n P + n )xyxy由于(n ,n ,n ,n ,n ,n )的取值均可为0, 1, 2,，因此，要使(27) x x y y z z可能的情形如下：(1 ) n n的情形zz在此情况下，( 27)式为n nlmz z= (n n ) P + (n n ) 加x xy y由于n 0，由(31)式得：znl 0，所以对于( 30)式的讨论又有以下三种情况：(a )n n , n n 情况x x y y令： (n -n )p =n ，则由(30)式可得x xpn - n = ln - n( 33)y yp由于n - n 0，可得：In - np 0，即y ypnl -(34)n所以由(32

13、)与(34)式联立得：一 1 ，于是( n ,n ,n )有 f =n yn”+1个nmx y zmn可能的组态满足( 28)式。(b ) n n 情况x x y y令： (n -n )p =-n ，则由(30)式可得x xpn - n = In + n(35)y yp由于n -n = In + n 本身大于零。所以l可取任意正整数，由(32)式可知(n ,n,n)有n m y y卩x y zz个可能的组态满足( 28)式。(c ) n n ， n n 情况x x y y令：(n -n )0 = np，则由(30)式可得x xpn - n = ln - n( 36)y y0由于n -n 0，可

14、得:yynIn - n 0，即 / 0，得:yn - nn = In + n - n 0，即 / yyy Pn所以 l 的取值为从到 minnpn的正整数，于是（ n ,n,n ）同时还有 x y zmin4-nn p-nyn+个可能的组态满足（28）式。综合上面三种情况，当丫=/为有理数且n n的情形zz当 n n ，由zzn - nlmz z=-(n - n ) p + (n - n ) Inx xy y从上式可以得到n - n = lmzz(n - n ) p + (n - n ) = -ln 0 x xy y39)40)41)由（ 40）式可知，l 可取任意正整数，但此时对（ 41）式

15、也同样有以下三种情况讨论。a ) n n ， n n 情况x xy y令：(n - n )p =-np，由(41)式得到x xpn -n = n -ln yyp由 n -n 0，得到 y 044)I n + n I所 以， 由(43 ), ( 44 )得l的取值为从到|)n 0 I的正整数，于是(n ，n,n)有n + nI n I0-亠I n II n I+1个可能的组态满足(39)式。(b ) n n ， n 0,y y0得到46)I n所以l取值为l = 1,2,1-yn -n I0 I，于是(n ,n,n)也有f = |t 0 |个可能的组态满足(39) n Ix y zI n I式。

16、(c )n n 情况 xxy令： (nx=-n 0，由41)式得到47)n - n = In + n 0y y因此得到由( 47)式可知，ny=n - ln + n 0 可得y卩所以，l取值为l = 1,2,-P- n的正整数，于是（n ,n,n）在这种情况x y z个可能的组态满足（ 39 ）式。n ,n ,n ）的可能组态个数有：x y z综合上面三种情况，当为有理数且n n时,y zzzn + nn 一 nP+nn（二） Y为无理数的情形当Y为无理数时，要使（24）式成立，必然要求:n P + n = n P + n ， n = n。xy xy z z即:（n 一 n ） P + n 一

17、 n =0x xy y50）所以，在这种情况下三维各向异性谐振子的能级简并情况讨论，同二维各向异性谐振子的能级简并相同。即Y为无理数时，当卩= /为有理数时，可能的简并度为 f =n /pI + n /q+1；x y1- y r x当P =6 /为无理数时，此时能级是非简并的。x y3 各向异性谐振子的能级简并运动学特征3.1 二维各向异性谐振子运动学特征由经典动力学考虑，求解其经典动力学方程可得x = A cos（ t + 0 ），xx x51 ）d2x卩 =-k x，dt 2 x52）卩 = -k y，y = A cos（ t +0 ）,dt 2yyy y式中66 =JT7门，由以上两式消

18、去t可得二维各向异性谐振子的运动轨迹，显然它x xy * y是两个互相垂直且频率不同的简谐振动合成的结果，一般情况下其轨迹是一条既不封闭，也不稳定 的曲线。当且仅当6 6为有理数时，这两个简谐振动的合成才呈现出周期性。即6 /6 = P/q，x yx y为不可约正整数，则周数为t = 2 兀 p = 2 兀 qg（53）x1 y在一个周期中，x方向的简谐振动来回振荡p次，而y方向的简谐振动来回振荡q次。这时， 二维各向异性谐振子的运动轨迹是一条稳定的封闭曲线，即利萨如图。由此可见，为有理数x y反映在运动学上，为二维各向异性谐振子的周期性，同时也反映了二维各向异性谐振子的某种对称性，这是这种对

19、称性导致了它的能级简并。3.2 三维各向异性谐振子运动学特征同3.1描述相同，在x,y轴方向经典动力学方程同（51）、（52）式，z轴方向有卩=_上乙，z = A cos（ t +0 ），（54）dt 2zz z z其中貲二 阿口。由（51 ）、（52 ）、（54）式消去t可得三维各向异性谐振子的运动轨道方程。对于三维各向异性谐振子，显然它是三个互相垂直且频率不同的简谐振动合成的结果，一般情况下其轨道是一个既不封闭，也不稳定的曲面。当且仅当：为有理数时，这三个简谐振动的合xyz成才呈现出周期性。即:二P : q : s，为不可约正整数，则其周数为：xyzt= 2兀 p： o 二 2兀 q： o

20、 二 2兀 s o（ 55）xyz在一个周期中，x方向的简振动来回振荡p次，y方向的简振动来回振荡q次，而z方向的简 振动来回振荡 s 次。这时，三维各向异性谐振子的运动轨迹是一个稳定的闭合曲面。由此可见， o :o :o 为有理数反映在运动学上，为三维各向异性谐振子的周期性，同时也反映了三维各向异 xyz性谐振子的某种对称性，正是这种对称性导致了谐振子的能级简并。【参考文献】1 周世勋量子力学教程M .北京：高等教育出版社，1979。2 余寿绵.高等量子力学M .济南：山东科技出版社，1985。3 曾瑾言. 量子力学导论（ I） M . 北京：科学出版社， 1990。4 尹鸿钧.量子力学M

21、.合肥：中国科技大学出版社，1999。【评语】作者经过查阅大量的文献资料，对各维简谐振子做了系统严密的研究，该论文选题适当，论述准确、逻辑性强、推导过程完整，具有一定理论价值。Abstract】The Energy Level Degeneracy of Anisotropic Harmonic OscillatorEnergy level and wave function of two-dimensional and three-dimensional anisotropic harmonic oscillator is given ,and energy level degeneracy of two-dimensional and three-dimensionalKey word】anisotropic harmonic oscillator is discussed under all kinds of conditions.anisotropic harmonic oscillator, energy level, wave function, energy level degeneracy.