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1、人教版八年级上册人教版八年级上册第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.3角的平分线的性质角的平分线的性质(1)一、情景引入一、情景引入:同学们，知道老师手中拿的这是什么吗同学们，知道老师手中拿的这是什么吗?若若AB=AD，BC=DC，将点，将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD沿着角沿着角的两边放下，沿的两边放下，沿AC画一条射线画一条射线AE，则，则AE就是就是BAD的角平分的角平分线线.知道为什么吗知道为什么吗?ADBCE第十二章第十二章 全等三角形全等三角形12.3角的平分线的性质角的平分线的性质(1)二、探究新知二、探究新知:(1)画一画画一画:N NM MA AB BC
2、 C 可不可以像平分角的仪器一样，用可不可以像平分角的仪器一样，用尺规作出已知角的平分线尺规作出已知角的平分线?作法作法:A AB BC CD DE E、以、以O O为圆心为圆心,适当长为半径画弧适当长为半径画弧,交交OAOA于点于点N,N,交交OBOB于点于点M M、分别以、分别以M,NM,N为圆心为圆心,的长为半径画弧的长为半径画弧,两弧在两弧在AOBAOB的内部交于点的内部交于点射线射线OC即为所求即为所求.、画射线、画射线OCOC大于大于 MNMN12O O类比类比二、探究新知二、探究新知:（2）量一量）量一量:在你画的在你画的AOBAOB的平分线的平分线OCOC上任取一点上任取一点P
3、 P，过，过P P点分点分别作别作OAOA、OBOB的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为D D、E E，试用刻度尺测，试用刻度尺测量，你发现量，你发现PDPD、PEPE在数量上有什么关系在数量上有什么关系?P PA AOOB BC CE ED D结论结论:PD=PE二、探究新知二、探究新知:(3)(3)猜一猜猜一猜:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(4)(4)证一证证一证:怎样证明这个命题怎样证明这个命题?已知已知:如图，如图，OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PDOAOA，PEOBPEOB垂足分别为垂足分别为D D、E.E.求证求证:PD=
4、PE.:PD=PE.12P PA AOOB BC CE ED D证明证明:OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D二、探究新知二、探究新知:结论结论:角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边
5、的距离相等.用几何语言表述用几何语言表述:OC平分平分AOB,PD OA，PE OBPD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）证明一个几何命题时的基本步骤证明一个几何命题时的基本步骤:1、明确命题中的已知和求证；、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程写出证明过程.二、探究新知二、探究新知:（5）辨一辨）辨一辨:如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）BD=CD
6、 (角的平分线上的点到这个角的角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等两边的距离相等 )ADCB()二、探究新知二、探究新知:如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）BD=CD (角的平分线上的点到这个角的角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等两边的距离相等 )ADCB(5)(5)辩一辩辩一辩:()二、探究新知二、探究新知:(5)(5)辩一辩辩一辩:AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）BD=CD，(角的平分线上的点到这个角的两角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等边的距离相等 )ADCB()不必证全等不必证全等三、合作探究三、合作探究:例例:在在OAB中，中，
7、OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，ECOA、EDOB，垂足为，垂足为C、D.求证：求证：AC=BD.ODEBAC证明证明:OE平分平分AOB,EC OA，ED OB EC=ED EC OA，E D OB ACE=BDE=90 在在RtACE和和RtBDE中中 EC=ED AE=BE RtACE RtBDE（HL）AC=DB 转化转化变式:OC=ODCP=DPp三、合作探究三、合作探究:变式:如图，P是角平分线OE上一点，PCOA,PDOB.求证:点E到PC和PD的距离相等.OEBACD四、反馈练习四、反馈练习:1.1.如图如图,E,E是是AOBAOB的角平分线的角平分线OCO
8、C上的一点上的一点,EMOB,EMOB垂垂足为足为M,M,且且EM=3cm,EM=3cm,则点则点E E到到OAOA的距离为的距离为3cmO OB BA AM ME E(1(1题图题图)四、反馈练习四、反馈练习:2.在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.则则BD的长为的长为4EBDAC四、反馈练习四、反馈练习:3.如图，如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，AB=8cm,AC=6cm,则则SABD:SACD=()BA.3:4B.4:3C.1:1D.不能确定不能确定ABDC五、反思小结五、反思小结:谈谈本节课你的收获谈谈本节课你的收获.知
9、识上知识上:思想、方法上思想、方法上:同学们的表现上同学们的表现上:六、布置作业六、布置作业:必做题必做题:1.1.如图（如图（1 1），在），在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，沿着过点，沿着过点B B的一条直线的一条直线BEBE折叠折叠ABCABC，使，使点点C C恰好落在恰好落在ABAB边上的中点边上的中点D D处，则处，则AA的度数等于的度数等于 2.2.如图（如图（2 2），在），在Rt Rt ABCABC中，中，C=90C=90，ADAD平分平分BACBAC，交，交BCBC于点于点D D，CD=4CD=4，则，则点点D D到到ABAB的距离为的距离为 3.3.如图（如图
10、（3 3），点），点P P在在BACBAC的平分线上，的平分线上，PEABPEAB，PFACPFAC，垂足分别为点，垂足分别为点E E、F.F.求证：（求证：（1 1）PE=PFPE=PF；（；（2 2）AE=AFAE=AF 六、布置作业六、布置作业选做题选做题:4.4.如图如图(4)(4)，ABCABC，C=90C=90，DEABDEAB，若，若BC=6BC=6，BD=2CDBD=2CD，则，则DE=DE=5.5.如图（如图（5 5），在），在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，ADAD平分平分CABCAB交交BCBC于于D D，DEABDEAB于于E E，且且AB=8cmAB=8cm，则，则BEDBED的周长是的周长是 6.6.如图（如图（6 6），），ABCABC三边三边ABAB、BCBC、CACA的长分别为的长分别为2020、3030、4040，三条角平分线的交点，三条角平分线的交点为为O O，则，则S SAOB:S:SBOC:S:SAOC=7.7.如图（如图（7 7），），ADAD平分平分BACBAC，BFACBFAC于点于点F F，CEABCEAB于点于点E.BFE.BF和和CECE交于点交于点D.D.求证：求证：BE=CF.BE=CF.
人教版初中数学八年级上册12.3.1角的平分线性质
