第一章节条件概与独立性

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1、第五节条件概率第五节条件概率一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式 在随机试验中，对于有些事件往往需要在有在随机试验中，对于有些事件往往需要在有某些附加信息某些附加信息(条件条件)下求其概率例如下求其概率例如 一箱产品共一箱产品共50件，其中有件，其中有4件不合格品，且这件不合格品，且这4件不合格品中有件不合格品中有2件是次品件是次品,另另2件是废品，今从件是废品，今从箱中任取一件产品，求箱中任取一件产品，求(1)取得次品的概率是多少？取得次品的概率是多少？(2)已知取得的是不合格品，则它是次品的概率是已知取得的是不合格品，则它是次品的概率是多少多少?容易得出容易得出(1)的答案是的答案

2、是2/50=0.04，(2)的答案是的答案是2/4=0.5 从上面的结果看，这两个概率不相等产生从上面的结果看，这两个概率不相等产生两个概率不相等的原因是这两个问题的提法是有两个概率不相等的原因是这两个问题的提法是有区别的，第二个问题是一种新的提法：区别的，第二个问题是一种新的提法：“所取的所取的产产品是不合格品品是不合格品”,本身也是一个随机事件若把此本身也是一个随机事件若把此事件记作事件记作A，把，把“所取的产品是次品所取的产品是次品”记作记作B，于，于是是可以把问题叙述成：在事件发生可以把问题叙述成：在事件发生A（即发现产品（即发现产品是不合格品）的条件下，事件是不合格品）的条件下，事件

3、B（所取的产品是（所取的产品是次次品）发生的概率是多少品）发生的概率是多少?我们把这种概率叫做在事我们把这种概率叫做在事件件A发生的条件下事件发生的条件下事件B的条件概率，记作的条件概率，记作.)(ABP它既不同于它既不同于P(B)，也不同于，也不同于P(AB).定义定义1.7 设设A,B是两个随机事件，且是两个随机事件，且P(A)0,我们我们称称)()()(BPABPBAP（1.7）为事件为事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B的的条件概率条件概率.相应地，相应地，P(B)称为无条件概率称为无条件概率.同理有：同理有：)()()(APABPABP 这个式子的直观含义是明显的，在这个式子的直

4、观含义是明显的，在A发生的条件发生的条件下下B发生当然是发生当然是A发生且发生且B发生，即发生，即AB发生，但发生，但是现在是现在A发生成了前提条件，因此应该以发生成了前提条件，因此应该以A作为作为整个样本空间整个样本空间，而排除，而排除A以外的样本点，因此以外的样本点，因此)(ABP是是P(AB)与与P(A)之比之比.条件概率的性质0)(1 ABPB，有有、对对于于每每一一事事件件1)(2 ASP、则则，是两两不相容事件，是两两不相容事件，、若、若,321BB 11)(iiIiABPABP例例1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20岁以上的概岁以上的概率为率为0.8，活到，活

5、到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4.如果一只动物如果一只动物现在已经现在已经20岁，问它能活到岁，问它能活到25岁的概率为多少岁的概率为多少?解：解：设设 A=“活到活到20岁岁”，B=“活到活到25岁岁”，则，则,8.0)(AP.4.0)(BP因为因为B A，所以，所以 4.0)()(BPABP由公式由公式(1.7)有有:)()()(APABPABP 5.08.04.0 例例2 仓库中存放仓库中存放10箱青霉素箱青霉素,其中甲厂产其中甲厂产6箱，箱，乙厂产乙厂产3箱，丙厂产箱，丙厂产1箱现从中任取一箱，发现箱现从中任取一箱，发现不是丙厂生产的，求是甲厂生产的概率不是丙厂生产的，求是甲厂

6、生产的概率解解:设设 A=“取出的青霉素由甲厂生产取出的青霉素由甲厂生产”，B=“取出的青霉素由乙厂生产取出的青霉素由乙厂生产”，C=“取出的青霉素由丙厂生产取出的青霉素由丙厂生产”则则 A,B,C 两两互不相容，所求概率为两两互不相容，所求概率为:)()()()()()(BPAPAPBAPBAAPBAAP323.06.06.0 二、二、乘法公式乘法公式由公式由公式(1.7),我们可得到下述定理我们可得到下述定理定理定理1.1（乘法公式）（乘法公式）对于任意的事件对于任意的事件A，B，若，若 P(A)0，则，则)()()(APABPABP(1.8)乘法公式可以推广到多个事件积的情形乘法公式可以

7、推广到多个事件积的情形推论推论 设设 nAAA,21是是n个事件个事件,n 2,且且 0)(121 nAAAP则则)()(121APAAAPn)|(12AAP)|(213AAAP)|(121 nnAAAAP例例3 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1 000个零件，其中个零件，其中450件是甲厂生产的而在这件是甲厂生产的而在这450个零件中，有个零件中，有380个个是标准件，现从这是标准件，现从这1 000个零件中任取一个，问这个零件中任取一个，问这个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少？个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少？解解 设设 A=“零件是甲厂生产的零件是甲厂生产的”，B=“零件为标

8、准件零件为标准件”，由题设由题设,1000450)(AP450380)(ABP则则)()()(APABPABP 50191000450450380 例例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为下时打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为第二次落下打破的概率为 7/107/10,若前两次落下若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为未打破，第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透。求透镜落下三次而未打破的概率。镜落下三次而未打破的概率。解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事

9、件“透镜第透镜第 i 次落下次落下打破打破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打透镜落下三次而未打破破”，有：，有：.2003)211)(1071)(1091()()|()|()()(112213321APAAPAAAPAAAPBP3条件概率返回主目录三、全概率公式三、全概率公式定义定义1.8 设设 为试验为试验E的样本空间的样本空间,B1,B2,Bn为为E的一组事件的一组事件,若若njijiBBji,2,1,)1(nBBB21)2(则称则称 B1,B2,Bn为样本空间为样本空间 的一个的一个划分划分B1B2Bn.全概率公式)()()()()()()(2211nnBPBAPBPB

10、APBPBAPAP 的一个划分，且的一个划分，且为为SBBBn,21 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事的事件，件，则，则),2,1(0)(niBPi 例例5 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四级名射手，其中一、二、三、四级射手分别为射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率概率解：解：标该小组在比赛中

11、射中目设B4321，级射手参加比赛选iiiA由全概率公式，有第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念3条件概率返回主目录 41nnABPnAPBP32.020345.020964.020685.02025275.0第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念3条件概率返回主目录练习：练习：某厂使用某厂使用5个产地的同型号的电子元件个产地的同型号的电子元件.已已知此厂使用这知此厂使用这5个产地的电子元件数量各占个产地的电子元件数量各占20%,30%,10%,15%和和25%.且它们的合格率分别是且它们的合格率分别是0.87,0.96,0.82,0.88和和0.96.现随机地抽取一件现随机

12、地抽取一件,问：问：此元件为合格品的概率为多少此元件为合格品的概率为多少?解解:设设 A=“元件是合格品元件是合格品”，Ai=“元件来自第元件来自第i个产地个产地”,i=1,2,3,4,5.显然显然,)(,jiAAji 54321AAAAA 由全概率公式由全概率公式)()()(51iiiAPAAPAP =0.20.87+0.30.96+0.10.82+0.150.88+0.250.96=0.916事件独立性的定义设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果 BPAPABP 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件事件独立性的性质：1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 0AP BPAB

13、P则第六节第六节 独立性独立性4 独立性返回主目录4 独立性2）必然事件）必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立；不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立证明：由 APSAP AP1 APSP同理可证第二个结论。3)若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.证：为方便起见，只证BA 与相互独立即可由于ABBPBAP，由概率的可减性，得注意到BAB ABPBPBAP 的独立性与事件BABPAPBP4 独立性 BPAP 1 BPAP相互独立与所以，事件BA返回主目录三个事件的独立性设设A、B、C是三个

14、随机事件，如果是三个随机事件，如果 CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称A、B、C是相互独立的随机事件4 独立性返回主目录注：上面四个条件缺一不可相互独立的概念可以推广到三个以上事件的情况相互独立的概念可以推广到三个以上事件的情况.定义定义 设设 nAAA,21是是n个事件个事件,如果对于任意的如果对于任意的,1nji 有有)()()(jijiAPApAAP 则称这则称这n个事件个事件两两相互独立或两两独立两两相互独立或两两独立.如果对于任意的如果对于任意的k(k n)，任意的，任意的,121niiik 都有都有)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAP

15、AAAP 则称这则称这n个事件相互独立个事件相互独立.注意：注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念4 独立性返回主目录例例1 甲甲,乙两战士打靶乙两战士打靶,甲的命中率为甲的命中率为0.9,乙的乙的命中率为命中率为0.85.两人同时射击同一目标两人同时射击同一目标,各打一枪各打一枪,求目标被击中的概率求目标被击中的概率解解:设设 A=“甲击中目标甲击中目标”，B=“乙击中目标乙击中目标”显然甲是否击中不影响乙的击中

16、显然甲是否击中不影响乙的击中,因而因而A,B是独是独立的于是立的于是)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP 985.085.09.085.09.0 例例 2 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。LR2134 解解：设事件 Ai(i=1,2,3,4)为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：AA AA A1234.4 独立性返回主目录由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到)()()()()(43214321

17、4321AAAAPAAPAAPAAAAPAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAPppppp224242.第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念4 独立性返回主目录练习：练习：三门高射炮向敌机进行射击三门高射炮向敌机进行射击,已知每门炮发已知每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率分别为射一发炮弹击中飞机的概率分别为0.6,0.5,0.6.现现三门炮同时发射三门炮同时发射(每门炮射一发每门炮射一发),求：求：敌机被击中的概率；敌机被击中的概率；敌机至少被两门炮击中的概率敌机至少被两门炮击中的概率解解:设设 Ai=“第门炮击中敌机第门炮击中敌机”(i=1,2,3)B=“敌机被击中敌机被击中”,C=“敌机至少被两门炮击中敌机至少被两门炮击中”则则A1,A2,A3相互独立相互独立)(1)()()1(321321AAAPAAAPBP 92.04.05.04.01)()()(1321 APAPAP)()(321321321321AAAAAAAAAAAAPCP)()()()(321321321321AAAPAAAPAAAPAAAP 6.05.06.06.05.04.06.05.06.04.05.06.0 6.0 作业：作业：