概率论习题(哈工程版).ppt

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1、概率论与数理统计,胡金燕,数学科学与技术学院,应用数学教研室,梅尔求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,概率论的诞生赌徒学,1654年的某一天梅尔和保罗赌钱, 他们 事先各出6枚金币,并约定先胜三局者为胜, 取得全部12枚金币.由于出现意外情况, 在 梅尔胜2局保罗胜1局时,不得不终止赌博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平?,本课程内容,第一章 概率论的基本概念第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计,一、 随机现象,七

2、、 小结,二、 随机试验,第一章 基本概念 随机试验 、样本空间、随机事件,三、 样本空间、样本点,四、 随机事件,五、 随机事件的关系及运算,六、 随机事件的概率,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,2. 什么是确定性现象？,1.自然界所观察到的现象分为几种？,确定性现象,随机现象,一、随机现象,看电影回答问题,3. 什么是随机现象 ？,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为,随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 观察正反两面出现的情况.,“函数在间断点处不存在导数” .,结果有可能出现正面也可能出现反面.,“太阳不会从西边升起”,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流

3、向低处”,4. 下面哪些现象是随机现象 ？,(),(),(),(),结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子, 观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种 炮弹多发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任 意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 遇上的交通指挥 灯的颜色.,其结果可能为:,红灯 、绿灯.,实例6 即将出生的婴儿可能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雪.,随机现象的特征：,概率论就是研究 随机现象规律性 的一

4、门数学学科.,条件不能完全决定结果,确定性现象的特征：,条件完全决定结果,5. 随机现象是不是没有规律可言? 举例说明.,否！,随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.,二、随机试验,随机现象是通过随机试验来研究的.,什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,定义 如果试验（1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每

5、次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果(或者范围);进（3)行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 称为随机试验（简称为试验）.,定义 如果试验（1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果(或者范围);进（3)行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 称为随机试验（简称为试验）.,定义 如果试验（1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果(或者范围);进（3)行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 称为随机试验（简称为试验）.,定义 随机试验 E

6、 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S .,样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为样本点, 记作e .,三、样本空间、样本点,每次试验有样本空间的一个样本点出现，且只有一个样本点出现.,实例：,2个样本点,实例：,6个样本点,实例：,无限多个样本点,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,生产产品直到得

7、到10件正品,记录生产 产品的总件数.,课堂练习,说明,1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,2. 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应,的样本空 间也不同.,例如 对于同一试验 “将一枚硬币抛掷三次”.,(1) 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 , 则样本空间为,(2) 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明,建立样本空间, 事实上就是建立随机现象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以概 括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反 面的模型 , 也可以作为产品检验中合格与 不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人

8、排队与无人排队的模型等.,所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.,随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的 子集称为 E 的随机事件, 简称事件.,1. 基本概念,四、随机事件的概念,也可以说：在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件.,“点数不大于4”,实例,抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数为偶数”,都为随机事件.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,实例,抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,都为基本事件.,相对于观察目的不可再分解.,复合事件 由

9、多个样本点组成的事件.,实例,抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,“点数大于1”,“点数为奇数”,“点数小于5”,都为复合事件.,两个以上基本事件的并.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,“点数不大于6”,抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,是必然事件.,实例,两个特殊的事件：,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,常用表示 .,“点数为8”,是不可能事件.,必然事件的对立面是不可能事件, 不可能事件的对立面是必然事件, 它们互称为对立事件.,2. 几点说明,例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,可设 A = “点数不大于4”,B = “点数为奇数” 等等.,随机事件可简称为事件, 并

10、以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1. 包含关系,若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称,事件 B 包含事件 A,记作,五、随机事件间的关系及运算,实例,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示 B 包含 A.,S,B,“长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,2. A等于B,若事件 A 包含事件 B， 而且事件B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.,3. 事件 A 与 B 的并(和事件),实例 某种产

11、品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是 “长度不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件 A 与 B 的并.,S,A,4. 事件 A 与 B 的交 (积事件),图示事件A与B 的积事件.,S,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,和事件与积事件的运算性质,5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现, 则称事件 A与B互不相 容, 即,实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是

12、互不相容的两个事件.,“骰子出现1点” “骰子出现2点”,图示 A 与 B 互斥.,S,实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .,6. 事件 A 与 B 的差,由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合格” 与 “直径合格” 的差.,给定事件 A, 则事件 “事件 A 不出现” 称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,S,B,若 A 与 B 互逆,则有,7. 事件 A 的对立事件,对立事件

13、与互斥事件的区别,S,S,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,事件间的运算规律,A（BC）,(A B) (A C),=,分配律（一）,事 件 运 算 的 基 本 规 律,A (B C),(A B) ( A C),=,分配律（二）,事 件 运 算 的 基 本 规 律,=,德莫根律（一）,事 件 运 算 的 基 本 规 律,=,德莫根律（二）,事 件 运 算 的 基 本 规 律,(1)没有一个是次品;,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4)至少有三个不是次品;,(5)恰好有三个是次品;,(6)至多有一个是次品.,六、事件的概率（probability of event

14、s）,研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,概率的取值范围：,事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.,0P(A)1,我们用P(A)表示事件A发生的概率，则,事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.,讲故事：从死亡线上生还,本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到每一种可能性各占一半 ，也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必

15、然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣死里逃生.,学习概率的意义,了解随机事件发生可能性的大小，即概率 的大小对人们的生活有什么意义呢？,下面举几个例子：,了解发生意外人生事故的可能性大小，从 而确定保险金额.,了解进入某商场购物的人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性的大小，合理确定堤坝高度.,Laplace ：,The most important questions of life are, for the most part, really only problems of probability.,七、小结,为了计算事件的概率，首先要会表示事件，并掌握,那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.,事件的概率,随机事件（集合）的运算关系,