概率论与数理统计第二节概率的概念.ppt

《概率论与数理统计第二节概率的概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第二节概率的概念.ppt（52页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、随机事件及其概率,第二节 概率的概念,一、事件的频率,A=“出现正面”,随机试验,抛掷一枚均匀的硬币,试验总次数n,将硬币抛掷n次,随机事件,事件A出现次数nA,出现正面nA次,随机事件的频率,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,一、事件的频率,一、事件的频率,可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性.,一、事件的频率,二、概率的定义,1.概率的统计定义,在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件发生了次，当试验次数充分大时，事件的频率nA /n将

2、稳定在某一个常数p附近，则称此常数p为事件出现的概率，记作,注：当试验次数n充分大时，根据频率的稳定性，可以用频率近似的代替概率，即,显然，,二、概率的定义,1.概率的古典定义,设随机试验E的样本空间中所含基本事件数为n，A为任意一个事件，若满足条件：,（1） 中基本事件总数n有限有限性,（2） 每个基本事件发生的可能性相同等可能性,设事件A包含的基本事件数为nA，则A发生的概率为,注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这 两个条件,二、概率的定义,例1 掷一均匀硬币，求出现正面的概率。,解：样本空间,例2 掷一均匀骰子，求 （1）出现6点的概率；（2）出现偶数点的概率。,二、概率的定义,

3、解:（1）,（2）,例3 一付扑克牌54张，任取一张，求它是黑桃的概率。,二、概率的定义,解: 以每一张扑克牌为基本事件，所以,设A表示“任取一张是黑桃”，,注：若以花色为基本事件，共5种花色，即,此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。,二、概率的定义,若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色为基本事件数求解均正确。即,以张数为基本事件：,以花色为基本事件：,三、概率的性质,性质1,性质2,设事件A与B互不相容，则,证明：,设总的试验次数为n，事件A与B发生的次数,分别为,频率,将分别在,附近摆动，,增加越来越接近它们。,以频率代替概率，有

4、,且随着n的,因为,三、概率的性质,推论1,若事件,两两互斥，则,同理，若事件,两两互斥，则,推论2,对立事件的概率和等于1，即,三、概率的性质,推论3 若,则,证明：,故,即,也可得出,三、概率的性质,性质3,设A，B为任意两个随机事件，则,证明：,故,即,加法公式,推广,当n=3时，有,三、概率的性质,解,三、概率的性质,三、概率的性质,三、概率的性质,例3 某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2, 两种都订阅的概率为0.1. 求,解 事件A , B分别表示“订阅报纸和订阅杂志”,(1),(1) 订阅报纸而不订阅杂志的概率; (2) 至少订

5、阅一种读物的概率; (3) 两种读物都不订阅的概率.,(2),(3),三、概率的性质,例4 设A , B满足 P ( A ) = 0.8, P ( B ) = 0.7, 在何条 件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得.,- 最小值,- 最大值,最大值在 时取得.,三、概率的性质,例5、,三、概率的性质,例6、设同时发生时，C必然发生，则：,而：,三、概率的性质,定义,我们主要学习等可能概型(古典概型),四、例题分析,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:,古典概型中事

6、件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,四、例题分析,【注】求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事件总数和对所求概率事件有利的事件个数在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：,(1) 加法原理：设完成一件事有k类方法，每类又分别有m1 , m2, mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有m1 + m2,+mk种方法,(2) 乘法原理： 设完成一件事有n个步骤第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，第n步有mn 种方法，则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.,四、例题分析,(3)、不同元素的选排列,从n个不相

7、同的元素中无放回取k个的排列(k n)，称为从n个不同元素中取k个元素的选排列,共有 种。当 n k 时，称n个元素的全排列共有n！种。,例如：从3个元素取出2个的排列总数有6种,四、例题分析,(4)、不同元素的重复排列,例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张,3,2,4,1,n=4,k =3,共有4.4.4=43种可能取法,从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排列，共有种（元素允许重复 ）。,四、例题分析,(5)、不全相异元素的排列,在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1, k2 , km 个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：,n个元素,因为:,四、例题分析,(6)、

8、环排列,从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：,(7)、组合,从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列（组合），共有 种.,四、例题分析,四、例题分析,1.抽球模型,（1）不放回抽取,例13 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球，不放回,取得两个白球的概率,恰有一个白球的概率,基本事件总数为,第一个白球第二个红球,第一个红球第二个白球,四、例题分析,1.抽球模型,（1）不放回抽取,至少一个白球的概率,或者,四、例题分析,1.抽球模型,（2）放回抽取,若为有放回抽取，则基本事件数为,四、例题分析,1.抽球模型,超几何概率：,超几何概率公式,则,不放回,四、例题分析,1.

9、抽球模型,在例13中，不放回抽球模型满足超几何概率的条件，由超几何概率公式，有,注：超几何概率公式可推广到元素个数N可分解为多组的情况,四、例题分析,1.抽球模型,例14 袋中有10个球，编号110，从中任取3球，不放回,求：最小号码是5的概率； 最大号码是7的概率。,解：,四、例题分析,2.生日问题模型（分房问题）,特点：,（1）每个人的生日有 种可能；,（2）任意一天可以容纳很多人的生日。,例15 房内有500人，问至少一人生日是10月1日的概率。,解：因每人生日都有365种可能，故,四、例题分析,2.生日问题模型（分房问题）,分析,此问题可以用投球入盒模型来模拟,50个学生,365天,5

10、0个小球,365个盒子,相似地有分房问题,房子,盒子,人,小球,四、例题分析,2.生日问题模型（分房问题）,例16 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：,（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；,（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。,n个球共 种放法，,解：每球都有N种放法，,（1）当n=N时，每盒恰有一球，,n个球共 n! 种放法，,设A表示“每盒恰有有一球”，则,四、例题分析,2.生日问题模型（分房问题）,例16 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：,（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；,（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。,解: （2）当nN时，盒多球少，先从

11、N个盒中任取n个，,共有 种可能，,再在取出的n个盒中每盒放一个，,共 n! 种放法，,设B表示“任意n个盒中各有一球”，则,四、例题分析,2.生日问题模型（分房问题）,例17 将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？,解：设A，B，C分别表示杯中球数最多为1，2，3，,于是放球过程所有可能结果为,练习1 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,练习2 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,

12、这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,练习3 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接

13、待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,练习4 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,说明,我们利用软件包进行数值计算.,练习5 有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少?,解：(2)排成一圈是环排列， n个人的环排列有(n1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考虑互换性，有利事件有2 (n一2)!种故：,更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，甲占了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与甲相邻的位置有2个所以:,练习6、从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?,解：A =4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双,=4只鞋子中没两只鞋子配成一双,