函数的极值和单调区间2课件

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1、一、函数的极值和单调区间oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxy0 xoxy0 x)()(12xfxf 01 证证12,xxa b 、（）21 xx 设设12 (),f xx x在（）上 符合 件件拉格朗日中值定理的条拉格朗日中值定理的条)()(12xfxf)(12xxf ),(21xx ),(ba()0,f 012 xx0 (),.f xa b故在（）递增()(,),yf xD a b 有有若若对对),(bax 定理定理3(p181)010.(),fx （）则，则，f(x)在在(a,b)上上(严格严格)单调递增函数单调递增函数020.(),()fx 则，则，f(x)是是(a,b)

2、上上(严格严格)单调递减函数单调递减函数0()fx 0()fx xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA0()fx 0()fx .)(12的单调性的单调性判断判断例例xxf 解解xxf2)(时，时，0 x时，时，0 x时，时，0 x,0)(xf,0)(xf,0)(xf()(,0f x在在单单调调减减少少，()0,).f x 在在单单调调增增加加-10-551020406080100()fx严严 格格 单单 调调 增增xxfxf12110)0()(即，xxx121103时，、证明：当例xxxf1211)(令证012121)(0 xxfx，时当 0,ln(1).xxx 例例 当当时时

3、试试证证成成立立0)1ln(xx即即证证),1ln()(xxxf 设设 )(xf则则x 111xx 1),0)(Cxf),0(x又又0)(xf有有上递增上递增在在),0 )(xf时，时，当当0 x0)0()(fxf函数的极值oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxy0 xoxy0 x0()(),f xf x （）函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值；极值；函数的极大值与极小值点统称为函数的极大值与极小值点统称为极值点极值点.定义定义设设f 在在(a,b)上有定义，如果上有定义，如果0(,)xa b 存在存在0,00(,)(,)xxxa b ，有则称则称0 x是是

4、f(x)的极大的极大（小）（小）值点。值点。f(x)一个极大一个极大(小小)值。值。0()f x而是oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x2定定义义,0)(0 xf若若.)(0得得一一个个驻驻点点是是则则称称xfx1例例xxf)(解解0)0(f,0时时 x0)(xf的极小值点的极小值点是是)(0 xfx 不是驻点不是驻点0 x2例例3)(xxf 解解23)(xxf 是驻点是驻点0 x0)0(f时时0 x0)(xf的的极极值值点点不不是是)(0 xfx 时时0 x0)(xf 0()f xx 在在不可导不可导极极值值点点驻驻点点0 x定义定义2 设设f是定义在是定义在(a,b)上的函数，上

5、的函数，0(,)xa b 00()fx 若（驻点）或（驻点）或 f 在在处不可导时，处不可导时，0 x被称为是临界点被称为是临界点f 的所有临界点就是临界点集的所有临界点就是临界点集2323yxx 例 求的临界点的临界点13201()yxxx 由，得0,xy 不存在所以临界点集为所以临界点集为0,1.-1定理1（极值点的必要条件）极值点极值点临界点临界点3yx 例：是驻点但是驻点但不是极值点不是极值点0 x 0(,)xa b，0 x是极是极值点，则必是值点，则必是 f 的临界点。的临界点。设设 f 是定义在是定义在(a,b)上的函数，上的函数，xyo0 x xyo0 x （第一充分条件）（第一

6、充分条件）定理定理2连续，连续，在在设设0)(xxf.)(0内可导内可导且在某且在某xU的的符符号号不不变变，两两侧侧，在在)(.100 xfx 不不是是极极值值点点；则则0 x的符号改变，的符号改变，两侧，两侧，在在)(.200 xfx 是极值点，是极值点，则则0 x且且 00 xxxx0)(xf0)(xf是是极极小小值值点点0 x 00 xxxx0)(xf0)(xf0 x是极大值点是极大值点处二阶可导，处二阶可导，在在设设0)(xxf则则且且,0)(0 xf，若若0)(.100 xf，若若0)(.200 xf证证.10)(0 xf xxfxxfx )()(lim0000:故由极限的保号性知

7、故由极限的保号性知时时，当当0 x0)(0 xxf时时，当当0 x0)(0 xxf所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).(2).异异号号，与与 xxxf )(00 x是极大值点是极大值点0 x是极小值点是极小值点定理定理2(第二充分条件第二充分条件)求函数在求函数在(a,b)(a,b)的极值的步骤的极值的步骤:（1）求函数）求函数 f 在（在（a,b）中的临界点集）中的临界点集0()fx 的点的点(驻点驻点)或不可导点或不可导点A）判断）判断()fx 在每一个临界点两侧的正负在每一个临界点两侧的正负（2）列表判断列表判断每一个临界点是否为极值点，

8、每一个临界点是否为极值点，（3）若是极值点，求出其值（极值）若是极值点，求出其值（极值）0()fx B)若若 存在，存在，判断判断 的正负的正负0()fx(2)极大值不一定大于极小值。极大值不一定大于极小值。注意：注意：(1)极值点不在区间端点上定义，即极值点不在区间端点上定义，即 f(a)，f(b)不可能是不可能是极值。极值。oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x 3例例2().f xx 求函的极值解解xxf2)(,0)(xf令令0 x得得驻驻点点:方法一方法一0)(,0 xfx0)(,0 xfx:方法二方法二2)(xf2)0(f0 总之，总之，)0(极小极小f0 x)1,(),3(

9、)3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10 4例例.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf解解963)(2 xxxf)3)(1(3 xx，令令0)(xf.3,121 xx得得驻驻点点和单调区间和单调区间)1,(),3(单调上升，单调上升，)3,1(单调下降单调下降的的图图形形：593)(23 xxxxfMm xy0:另解另解66)(xxf)1(6 x)1(f0 x=-1是极大值点是极大值点)3(f 0 x=3是极小值点是极小值点5例例解解)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当

10、xfx .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf时时，当当2 x;0)(xf时时，当当2 x.0)(xf21()().ff x 是的极大值求函数求函数 的极值的极值2312()()f xx 函数的最值oxybaoxyaboxyab假设前提：假设前提：(,)A f是定义在是定义在A上的函数上的函数0,xA 若使得0()()(),f xf xxA 0 x为为 f 在在A上的最大上的最大（小）（小）值点，值点，0()f x为最大为最大（小）（小）值值最大值点和最小值点通称为最值点最大值点和最小值点通称为最值点最大值和最小值通称为最值最大值和最小值通称为最值f 在在(a,b)上的临界点集为有限点集上

11、的临界点集为有限点集最大值与最小值，极值的应用最大值与最小值，极值的应用不可导点驻点极值点内某点或是，或是或是的最值点),(babaf结论结论：)(,)(,)(,)(min)(min)(,)(,)(,)(max)(max)1(不可导点驻点不可导点驻点ffbfafxfffbfafxfbxabxa2()(),(,);a bf x 在在只只有有一一极极值值 那那么么 极极大大也也即即最最大大极极小小也也就就是是最最小小。临界点临界点f(x)在在a,b上连续上连续闭区间闭区间a,ba,b的最值的最值步骤步骤:1.1.求临界点求临界点;2.2.比较区间端点及临界点的函数值比较区间端点及临界点的函数值;3

12、.3.最大的就是最大值最大的就是最大值,最小就是最小值最小就是最小值;最值定理：闭区间上的连续函数必有最值最值定理：闭区间上的连续函数必有最值1266)(2 xxxf4,314123223 在在求函数求函数xxxy得得令令,0)(xf.1,221 xx )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f.最大值与最小值最大值与最小值解解)1)(2(6 xx，最最大大值值142)4(f.7)1(f最小值最小值:比较得比较得例：例：14123223 xxxy开区间开区间(a,b)上的函数可能有最值也可能无最值上的函数可能有最值也可能无最值xyoab（a,b）上无最值）上无最值xyoab1x2x最小值点最小值点 最大值点最大值点1x2x注意注意:如果区间内部只有一个极值点如果区间内部只有一个极值点,则这个局部极值点就是则这个局部极值点就是最值点最值点.(最大值点或最小值点最大值点或最小值点)不论不论 f 在开区间还是闭区间上，在开区间还是闭区间上，xyo)(xfy ab0 xxyo)(xfy 0 xab