2021届九年级数学下册 28.2 等可能情形下的概率计算讲解与例题 沪科版

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1、等可能情形下的概率计算1等可能性与概率(1)等可能性抛掷一枚均匀的硬币，会出现两种结果：“出现正面”和“出现反面”，这两个结果发生的机会是均等的抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面只有1,2，6点六种不同的可能结果，而且六种结果出现的可能性相等以上试验具有如下两种特点：所有可能出现的不同结果都只有有限个；每种结果出现的可能性相等对于这种等可能情形下的试验，我们可以用列举法举出所有等可能的结果，从而得到随机事件的概率(2)概率的表示一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中，使事件A发生的结果有m(mn)种，那么事件A发生的概率为P(A).在上式中，当A是必然事

2、件时，mn，P(A)1；当A是不可能事件时，m0，P(A)0；当A是随机事件时0P(A)1.注意：表示一个事件的概率，可以用百分数、分数或小数表示等可能情形下的事件的概率可用列举法分析所有等可能的结果n及事件所包含的几种结果m.【例11】已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是()A BC D解析：粉笔盒中共有5支粉笔，任何一支粉笔被取出的可能性是相等的，而其中有2支黄色粉笔，故P(取出黄色粉笔).答案：B【例12】从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是()A BC D

3、解析：这十个数中的每一个数被取出的可能性相等，即共有10种等可能的结果，其中3,6,9是3的倍数，故P(取出3的倍数).答案：B【例13】在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是()A B C D解析：6张卡片中每张被摸出的机会是均等的，共6种等可能的结果，其中线段、平行四边形、正方形和圆4种结果是中心对称图形，所以P(摸出中心对称图形).答案：D【例14】在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则n_.解析：袋

4、中共有(n2)个球，每一个球被摸到的机会是均等的，共(n2)种结果，其中有n种结果是黄球，故P(摸到黄球)，解得n8.答案：8以上几例均为一步(维)概率的求法及应用，只要能举出一次试验的所有等可能结果数和事件所包含的结果数即能获得所需要的概率其中例14是概率求法的逆用2用列举法求概率用列举法求概率时，最关键有两点：(1)要弄清楚事件所包含的是哪个或哪些结果；(2)要弄清楚一次试验中所有机会均等的结果一个事件的概率就是前者与后者的比因此，为了求出一个事件发生的概率，可以用列举法举出所有等可能的结果而列举法包括列表法和画树状(形)图法用列表法求概率列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的

5、次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法a列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；b用列表法求概率适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率，其计算方法是：由表格可知共有n2种可能情况，再分别计算各类情况的概率用树状(形)图法求概率树状(形)图是指用树状(形)图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法a树状(形)图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；b在求可能事件的概率用列表法或画树状(形)图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同；c在列表或画树状(形)图求概率时，各种情况出现的

6、可能性不能重复，也不能遗漏；d用树状(形)图法求概率适用于涉及两步或两步以上试验的事件发生的概率，其画树状(形)图和计算的方法如下图所示：故共有n2种可能情况，再分别计算各类情况的概率例如：你能用几种方法计算抛掷两枚硬币正面都朝上的概率？方法一：列表法由上表可知，出现两个正面朝上的概率是.方法二：树状图法(如下图)由树状图知，同时出现正面朝上的只是4种机会均等的结果中的一种因此，相应的概率是.【例2】如图所示，有一个可以自由转动的圆形转盘，被平均分成四个扇形，四个扇形内分别标有数字1,2，-3，-4.若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为a，b(若指针恰好指在分界线

7、上，则该次不计，重新转动一次，直至指针落在扇形内)请你用列表法或树状图法求a与b的乘积等于2的概率分析：先用列表法或树状图将a与b的乘积的所有等可能结果全部列出解：a与b的乘积的所有可能出现的结果如下表所示：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中ab2的结果有2种，a与b的乘积等于2的概率是.3利用概率估计游戏公平性的方法看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方获胜的概率是否相等，如果不是，那么这个游戏就是不公平的，要想把它变成公平，就要修改游戏规则一个公平的游戏，双方获胜的可能性的概率是相等的_【例3】如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，

8、B，C都可使小灯泡发光(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_；(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率分析：本题借电路图考查概率的计算，根据电学知识，可知只有当开关A，B，C同时闭合或闭合开关D时，小灯泡才能发光解：(1)(2)画出树状图如图所示，其中“”表示灯泡不发光，“”表示灯泡发光列表如下：开关1ABCD开关2BCDACDABDABC是否发光否否是否否是否否是是是是从树状图(或列表)可见，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况只有6种，所以闭合其中两个开关能使小灯泡发光的概率为.以上例题属于二步(维)概率的求法，解决这

9、类问题常常需要借助列表法或树状图法举出所有等可能的结果数，这样才能做到不重不漏，对于二维概率问题，当等可能的结果数较多时，一般选用列表法，当等可能的结果较少时，一般选用画树状图的方法4巧借树状图，直观解两型同学们知道求一个事件发生的概率，往往需要借助树状图加以分析，在分析的过程中，我们可以发现一些计算方法和计算规律现分别从互不影响型和互相影响型进行例析，供同学们参考(1)互不影响型例如：随机掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上的概率是多少？解：随机掷一枚质地均匀的硬币三次，所有可能出现的结果如下图所示从树状图可以看出，总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次都是正面朝上的只有一种

10、，因此三次都是正面朝上的概率为.推广：随机掷一枚质地均匀的硬币n次，n次都是正面朝上的概率为.(2)互相影响型例如：不透明的袋子中有五个球，三红二白，从中摸出一个球，记下颜色，不放回，再摸出一个球问：摸到二红的概率是多少？摸到一红一白的概率是多少？解：此例中由于“不放回”，所以第一次摸到的球，第二次不可能再摸到列表如下：从中可以看出，“不放回”地两次摸球共有20种等可能结果，其中属于“二红”的结果有6种，属于“一红一白”的结果有12种，因此摸到二红的概率是，摸到一红一白的概率是._【例41】有背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有4个不同的几何图形，如图，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀

11、后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张(1)用画树状图(或列表)的方法表示两次摸到的所有可能的结果，纸牌可用A，B，C，D表示(2)求摸出两张牌是中心对称图形的概率分析：本题是有放回地求两次摸出的图形都是中心对称图形的纸牌的概率，属于互不影响型概率问题，四种几何图形中，只有B和C是中心对称图形解：(1)画树状图如图或列表如下ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(2)摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种情况，即(B，B)，(B，C)，(C，B)，(C，C)

12、故所求的概率是.【例42】有两个不同形状的计算器(分别记为A，B)和与之匹配的保护盖(分别记为a，b)(如图所示)散乱地放在桌子上(1)若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率；(2)若从计算器和保护盖中随机取两个，用树状图法或列表法，求恰好匹配的概率解：(1)从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况，恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，P(恰好匹配).(2)用树状图法表示如图所示：所有可能的结果为AB，Aa，Ab，BA，Ba，Bb，aA，aB，ab，bA，bB，ba.可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有12种不同的情况，其中恰好匹

13、配的有4种，分别是Aa，Bb，aA，bB，P(恰好匹配).5几何模型的概率概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积几何模型的概率实质上可以看作是将图形等分成若干份，那么事件A发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形所占的份数除以总份数，因此，几何模型的概率也可以通过列举法求解例如：一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是多少？解：黑砖和白砖共有12块，蚂蚁停留在任何一块砖上的概率是相等的，所以蚂蚁停留在地板砖上的结果数为12.由于黑砖有4块，蚂蚁停留在黑砖上

14、的结果数为4.故蚂蚁停留在黑砖上的概率为，即P(蚂蚁停留在黑砖上).【例51】随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是_解析：在34的方格中，黑色方格占4个，故P(豆子停在黑色方格中).答案：【例52】某火车站的显示屏，每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是()ABCD解析：显示屏上每5分钟有1分钟持续显示火车班次信息，故所求概率为.答案：B6利用概率做决策在生活中许多领域涉及概率知识，如果能够正确加以运用，可解决某些类型的决策问题例如：某商场设计了两种促销方案

15、：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1,2，100)的箱子里随机摸出一个球(摸后放回)，若球上的数字是88，则返500元购物券；若是11或77，则返300元购物券；若球上的数字能被5整除，则返5元购物券；若是其他数字不返还购物券第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得15元购物券，估计活动期间将有5 000人参加活动，请你通过计算说明商家选择哪种方案促销合算些？解：若通过摸球方案，则顾客获得500元购物券的概率为0.01，获得300元购物券的概率为0.02，获得5元购物券的概率为0.2，摸球一次获得购物券的平均金额为(0.015000.0

16、23000.25)12(元)如果5 000人参加摸球，商场付出的购物券的金额是5 000(0.015000.023000.25)60 000(元)若直接获得购物券，商场需付金额是5 0001575 000(元)，故商场选择摸球的促销方式合算【例6】某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客每购买100元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数获奖方法是：指针两次都指向8时，顾客可以获得100元购物券；指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券(如6

17、684，获40元购物券)；其余情况无奖若顾客不愿意转转盘，可以直接获得25元购物券(1)试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；(2)试求顾客可获得100元购物券的概率；(3)试求顾客无奖的概率；(4)你认为转转盘和直接获得购物券哪种方法对顾客更合算？试说明理由解：(1)列表如下：(2)因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中两次指针指向8的情况只有一种，所以所求概率为.(3)因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中无奖的情况有6种，所以所求概率为.(4)每转动两次转盘所获得购物券金额的平均数为10050402030(元)25(元)所以转转盘对顾客更合算9