初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)

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1、-初二数学动点问题归类复习 (含例题、练习及答案）（)如图 5，如图 2,在 PD中, tan QPD =QD DN 3= = .PD DM 4所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开 放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想:分类思想 数形结合思想 转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习,希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类:因动点产生的等腰三角形问题BA 3在 AC 中, tan C = = 所以QPDC.CA 4由PDQ=90，CDE=0,可得PDF=CD

2、因此DFDQ当DF 是等腰三角形时,Q 也是等腰三角形.如图 5，当 CQ=CD=5 时,QNQ-4（如图 3 所示).例 1:(201年上海市虹口区中考模拟第 25 题)如图 1,在 ABC 中，=0,AB=,AC=8,点为边 C 的中点,DEBC 交边 AC 于点，点 P 为射线 A上的一动点，点为边 A上的一动点,且PQ=90.此时 PM =4 4 4 5 QN = .所以 BP =BM -PM =3 - = .3 3 3 3(1)求 ED、EC 的长；（2）若 B=2，求 C的长;（3)记线段 P与线段的交点为 F,若F 为等腰三角形，求 B的长如图 6,当=QD 时,由 cos C

3、=CHCQ5 4 25,可得 CQ = = 2 5 8图 1备用图25 7所以NCNCQ= 4 - = (如图所示）.8 84 7 7 25此时 PM =QN = .所以 BP =BM +PM =3 + = 3 6 6 6不存在PDF 的情况.这是因为DFPDQDPQ(如图 5，图 6 所示)思路点拨1第（2）题P2 分两种情况.2解第（2)题时，画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.3第（3)题探求等腰三角形F 时，根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形 CQ. 解答:(1)在 ABC 中， A,AC=,所以 BC10.在 RCDE 中,CD,所以 ED =CD tan

4、 C =5 3 15 25 = , EC = 4 4 4图 5图 6（2）如图 2，过点 D 作 DMA,DNC,垂足分别为、,那么 D、D是考点伸展:如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等,可以得到P 也是等腰三角形，ABC 的两条中位线，DM4,DN=3.由PDQ=90,MDN=0，可得M=QDN.BP.在DP 中可以直接求解 BP =256因此DMQDN二、直角三角形:因动点产生的直角三角形问题所以PM DM 4 3 4 = = .所以 QN = PM ， PM = QN .QN DN 3 4 3例 2：(008 年河南省中考第 2题）如图 1,直线 y =- 标是（2，

5、）.43x +4 和 x 轴、y 轴的交点分别为、,点 A 的坐（)试说明ABC 是等腰三角形;（2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动,运动的速度均 为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设 M 运动 t 秒时 MO的面积为 S图 2图 3图 4求 S 与的函数关系式；如图 3，当 BP=2，P 在 BM 上时,PM=1.3 3 3 19 此时 QN = PM = .所以 CQ =CN +QN =4 + = .4 4 4 4明理由;设点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在=4 的情形？若存在，求

6、出对应的值;若不存在请说如图 4，当 BP2，P 在B 的延长线上时，PM. 3 15 15 31此时 QN = PM = .所以 CQ =CN +QN =4 + = . 4 4 4 4在运动过程中,当MON 为直角三角形时,求 t 的值-所以5 -t 3=t 5.解得t =258.如图 5,当OMN9时，N 与 C 重合， 不存在ON90的可能.t =5所以,当t =258或者t =5时,MO为直角三角形.图 1思路点拨:1第()题说明是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N 同时出发,同时到达终点2不论 M 在O 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示边上的高都是相同的,用含有 t 的式子

7、表示 M 要分类讨论.3.将 S4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程4.分类讨论MON 为直角三角形，不存在N90的可能.解答:图 4图 5（1)直线 y =-43x +4 与 x 轴的交点为 B（3,)、与 y 轴的交点(0,4)考点伸展:在本题情景下,如果的边与C 平行，求 t 的值.如图，当N/C 时，t3；如图 7, 当 MN/AC 时，t=2.B中,B3,O4,所以 BC=5.点 A 的坐标是（,0),所以A5 因此 BBA，所以B是等腰三角形（2）如图 2，图,过点 N 作 NHAB，垂足为 H在 RH 中,BN，sin B =45，所以4NH = t5.如图 2，当 M

8、在 AO 上时,OM=t,此时1 1 4 2 4 S = OM NH = (2 -t ) t =- t 2 + t2 2 5 5 5定义域为 0t2.图三、平行四边形问题:因动点产生的平行四边形问题图如图 3,当 M 在 OB 上时,OMt-2,此时 1 1 4 2 4S = OM NH = (t -2) t = t 2 - t 2 2 5 5 5.定义域为t5例 3:（10 年山西省中考第 26 题)在直角梯形 OABC 中,CB/OA,CO90，CB=3,OA=6，BA= 别以 O、OC 边所在直线为 x 轴、轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系.3 5分(1)求点 B 的坐标;(）已知

9、D、分别为线段 OC、OB 上的点,OD5，E=2B，直线交轴于点 F求直线 DE 的解析式;(3）点 M 是（2)中直线E 上的一个动点,在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.图 2图把代入 S =25t24- t5,得2 4t 2 - t =4 5 5.t =2 + 11 ， t =2 - 11解得(舍去负值）.1 2因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在4 的情形,此时t =2 + 11.图图 2如图，当ON=90时，在 BN中,B=t,BM=5 -t，cos B =35，思路点拨：.第

10、（1）题和第(2）题蕴含了B 与 D垂直的结论,为第（3)题讨论菱形提供了计算基础. 2讨论菱形要进行两次(两级)分类,先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，DO 与 DM、DO 与 DN 为邻边.-E B E B 2 2 2 22 2 2 2 -解答:(1)如图 2,作x 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形，H=CB=. 在tH 中，AH=3,BA= 3 5 ,所以=6.因此点的坐标为(3,6)四、相似三角形:因动点产生的相似三角形问题例：（2013 年苏州中考 28 题）如图，点为矩形 ACD 的对称中心，AB=10m,BC=12,点 E、F、G2 2(2） 因为 OE

11、=2B，所以 x = x =2 ， y = y =43 3,E(2,4)分别从 A、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1m/s,点 F 的运 动速度为c/s,点的运动速度为 15cm/,当点 F 到达点 C(即点与点 C 重合)时，三个点随之停止运b =5,设直线 DE 的解析式为 y=x+b,代入 D（0,5），(2,4）,得 2 k +b =4.1线 DE 的解析式为 y =- x +5 .2解得k =-12，b =5.所以直动.在运动过程中, EF 关于直线 E的对称图形 EB设点 E、F、G 运动的时间为 t（单位：s） ()当 t= s 时，四边

12、形 EBB为正方形；（）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C，G 为顶点的三角形相似,求 t 的值；(3) 由y =-12x +5，知直线E 与轴交于点 F(0，0)，OF=1,DF 5 5 .（3）是否存在实数 t,使得点 B与点重合?若存在,求出 t 的值;若不存在，请说明理由.如图，当 DO 为菱形的对角线时,MN 与 DO 互相垂直平分，点 M 是 DF 的中点.此时点 M 的坐标为（，525）,点的坐标为(5, )2如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时,点与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为(，8) 如图,当 D、D为菱形的邻边时，N5，延长 M交 x 轴

13、于 P由 NPO D, 得NP PO NO NP PO = = ,即 = =DO OF DF 5 1055 5解得NP = 5，PO =2 5此时点 N 的坐标为( -2 5, 5)思路点拨：（1)利用正方形的性质，得到 BEBF,列一元一次方程求解即可;(2) EBF 与 FCG 相似,分两种情况,需要分类讨论，逐一分析计算;（3）本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的 t 值，它们互相矛盾,所以不存在.解答:(1)若四边形BB为正方形，则 BE=BF,即：10=3t，解得 t=5;考点伸展图 3图 4,即,解得:t=2.8;(2）分两种情况,讨论如下: EF FCG，则有

14、,即,解得:t2 (不合题意，舍去）或 t= EB GCF，则有+. 当 t2.8s 或=（1+2 )s 时，以点 E、B、为顶点的三角形与以点 F，C，为顶点的三角形相似如果第（3）题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内,那么菱形还有如图 6 的情形(3)假设存在实数 t,使得点 B与点 O 重合.如图，过点 O 作 OMBC 于点 M,则在 M 中,OF=F3,M= BB=63t，OM=5，由勾股定理得：OM FM =OF ,即:5 +(3t） =（） 解得：t;过点 O 作 ONAB 于点 N，则在 EN 中，OE=E0t，EN=BBN=10t5t，O= ,图 5图 6由勾股定理得:N

15、+EN =OE，即： +（5t) =(0）解得:t=3.9,不存在实数，使得点 B与点重合.- 、如图,在 中， 点 是 的中点，过点 的直线 从与, O AB D C CE AB l Ea EDBC ADEDBC AD= 90 EDBC, E BCC C N E A B AD 图 3P EF P PM EF BC M M MN AB ADC, 连结 ，设N PN EP =x N AD PMN PMN N DC P PMN-考点伸展： 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程 等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答第(）问中，需要分类讨论

16、,避免漏解；第（3)问 是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在拓展练习:1、如图 1，梯形 ACD 中，AD BC,B90，AB=14cm，D=18c，BC=21c,点 P 从 A 开始沿 D 边以m/秒的速度移动，点从开始沿 CB 向点 B 以 2 /秒的速度移动，如果,Q 分别从 A,C(1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；AD+BE；()当直线 M绕点 C 旋转到图 2 的位置时,求证：E=-B；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时,试问 D、D、B具有怎样的等量关系? 请写出这个等量关系， 并加以证

17、明同时出发,设移动时间为 t 秒。当 t= 时,四边形是平行四边形；5、数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形 ABC是正方形，点 E 是边 B的中点 AEF =90,当 t=时,四边形是等腰梯形且 E交正方形外角的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EFDCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M,连接 M,则 AM=EC，易证 AME ECF,（1 题图）备用图所以 AE =EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出：如图，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 B上（除 B，外）的任意一 点”，其它条件不变,那么结论“A=F”仍然成

18、立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程； 如果不正确，请说明理由;（2)小华提出：如图 3,点 E 是C 的延长线上(除 C 点外）的任意一点，其他条件不变,结论“EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由2、如图 2,正方形 ABC的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=,N 为对角线C 上任意一点，则 DN 的最小值为 。（2 题图）(题图）6、如图， 射线 MB 上,MB9，A 是射线 MB 外一点，A=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从沿射 线 M方向以 1 个单位/秒的速度移动,设 P 的运动时间为 t

19、.求（ PAB 为等腰三角形的 t 值;(2） A为直角三角形的 t 值；（3） 若 AB5 且BM=4 ,其他条件不变，直接写出 PA为直角三角形的 t 值。ACRt ABC ACB =90，B =60BC =2 O AC O l重合的位置开始 , 绕点 作逆时针旋转 ,交 边于点 . 过点 作 交直线 于点 , 设直线l的旋转角为 （1）当当a =a =度时,四边形 是等腰梯形，此时 的长为 ；度时,四边形 是直角梯形，此时 的长为 ；7 、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC ， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC 交 CD 于点（2)当a时，判断四边形 是否为菱形,并

20、说明理由F.AB =4，BC =6 B =60.求:（1)求点 到 的距离;4、在中,ACB=90，AC=B,直线 MN 经过点 C，且DMN 于，BEMN 于 E.MM MDCEDB A BE图 1 N图 2 N-（2)点 为线段 上的一个动点 ,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点.当点 在线段 上时（如图 2)， 的形状是否发生改变?若不变，求出 的周长；若改变,请说明理由;当点 在线段 上时（如图),是否存在点 ，使 为x P 8 、如图，已知 中,厘 米,D AB BPD BPD ABC ABC-等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的 的值;若不存在,请说明理由A D AE F

21、 EPND A DNF E F10、如图, AO中, AOB=0，OAO6，为 OB 上一点,射线 CDOB 交B 于点 D，OC=2. 点 P 从点出发以每秒 个单位长度的速度沿B 方向运动,点从点 C 出发以每秒个单位长度的速度沿 CD 方向运动,P、Q 两点同时出发,当点 P 到达到点 B 时停止运动,点 Q 也随之停止过点 P 作 PEO于点 E，PFO于点,得到矩形 POF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形MN，斜边 MN OB，且B C B图 1M图 2C BM图 3CM=.设运动时间为 t（单位:秒). （1)求=时 FC 的长度 (）求=PF 时 t 的值A D（第 25

22、 题） A D（3) M和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积与 t 的函数关系式 （4）直接写 MN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值E F E FB C B C图 4（备用） ABC AB =AC =10 BC =8图 5（备用）厘米,点 为 的中点.(1）如果点在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时,点在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过秒后， 与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点的运动速度为多少时，能够使 与CQP全等?

23、（2)若点以中的运动速度从点 C 出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿 三 边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇?（8 题图)（9题图)9、如图所示，在菱形 ABD 中，=4,AD=10 EF 为正三角形,点 E、分别在菱形的边 BC.C 上滑动,且 E、F 不与 BC重合.（1)证明不论 E、F 在C.D 上如何滑动,总有 BC；（2)当点 E、F 在 BCC上滑动时,分别探讨四边形 ACF 和F 的面积是否发生变化? 如果不变,求出 这个定值;如果变化,求出最大（或最小）值-E EG BC G E AB 在 中, 3 3 E BC3 3 5P 2 2

24、 H 2 2 2 2 -参考答案：、解:：()要使四边形 PQCD 为平行四边形,则 PD=，D=8cm，即-2,解得：6; （）设经过 ts，四边形 PCD 是等腰梯形.过 Q 点作 QAD,过 D 点作 DFBC,四边形 PQCD 是等 腰梯形,PQ=C又AC，B9,AB=EQF.EQP.FC=EP=BCAD=-1=3又AE=BQ=21-t，=tAE，P=AP-AEt-（2-2t）=.得:t=若 B=B,|9-t|5t=4 、4综上,t=1、4、9-5/2、14（2）若B=9t=t=5若PAB=90BP/BA=A/BE(t）/5=/t=/4 综上，t5、11/4。.经过s,四边形 PQCD

25、 是等腰梯形. 、5;3、解:(1)3，1;60,1.；7、解:(1)如图 1,过点 作 于点 为 的中点,BE =12AB =2(2)当=900 时,四边形 EDBC 是菱形.=ACB=0 ,B/E. E/AB, 四边形 EC 是平行四边形 在 ABC 中,AB9 ，B=00，C=2, A=3 .Rt EBG B =60， BEG =30BG =12BE =1，EG = 22-12= 3AB=,AC= . AO=12AC= .在 RAOD 中，A=300，A=2.即点 到 的距离为 (）当点 N 在线段3AD 上运动时,PMN的形状不发生改变A DBD=2. B=BC. 又四边形B是平行四边

26、形，四边形DB是菱形4、解：（1） ACD=AC CAD+C=0 BCE+D=9 CA=BCE =BC ADCCEB B CE=AD,CD=E DECE+CD=+BE(2) AD=CEBAB0 C= 又AC=CACDE C=AD，CD= DE=CE-=AD-B(3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时，DEBE-A(或 AD=BE-D,E=AD+DE 等）ACCEBACB=9 ACD=CBE， 又AC=BC，ACDCBE, AD=C，D=B, DE=D-CEBE-5、解：（1）正确证 明 : 在 AB 上 取 一 点 M , 使 AM =EC ， 连 接 ME BM =BE . BME =45,

27、 AME =135 CF 是 外 角 平 分 线 ， DCF =45， ECF =135 AME =ECF . AEB +BAE =90 , AEB +CEF =90 ， BAE =CEF AME BCF （AA） AE =EF （)正确.证明:在 BA 的延长线上取一点 N .使 AN =CE ,连接 NE BN =BE N =PCE =45. 四 边形 ABCD 是正方形, AD BE DAE =BEA NAE =CEF ANE ECF（AS ）. AE =EF 6、解:解：（）作 AEB于 E。则 AE=3，AB=5,BE（E)=4 MPt, P9-t若 PM EF，EG EF， PM

28、EGE F EF BC， EP =GM ， PM =EG = 3 同理 MN =AB =4如图 2,过点 P 作 PH MN 于 H ， MN AB， BG1 3 图 1NMC =B =60，PMH =30 PH = PM = 2 2NA D MH =PM cos30 = 则 NH =MN -MH =4 - = 2 2 2E F5 3 在 Rt PNH 中, PN = NH +PH = + = 7 BGM PMN 的周长= PM +PN +MN = 3 + 7 +4 图 2当点 N 在线段 DC 上运动时, PMN 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形.当 PM =PN 时，如图 3，作

29、 PR MN 于 R ,则 MR =NR3类似, MR = MN =2 MR =3 MNC 是等边三角形, MC =MN =32此时, x =EP =GM =BC -BG -MC =6 -1-3 =2CCP=AB,9-t=t=1当MP =MN时，如图 4,这时MC =MN =MP =3此时,x =EP =GM =6 -1 - 3 =5 - 3若 P=P ，P/(1/2)=AB/BP（9-t)=/*5*=9/2(9+5/2 舍去）当NP =NM时,如图,NPM =PMN =30则PMN =120，又MNC =60，-( )2 22 2 t =1CEAECF AEFCEF A CFAB =10 D

30、 AB BD =5又 厘 米, 厘 米， .= 4 3 - 2 3 2 3 - 3 =1 ( )2()2E AA C ACF EC ABABCC 四 边形ECFx PAEFQ P AB2 2 ABEAECF ACF AEB-PNM +MNC =180 因此点 P 与 F 重合， PMC 为直角三角形 MC =PM tan30 =1 此时， x =EP =GM =6 -1-1 =4综上所述,当 x =2 或或 5 - 3 时, PMN 为等腰三角形.1 1H=2, S =S = BC AH = BC AB -BH =4 3 。由“垂线段最短”可知:当正三角形EF 的 四边形 AECF DABC边

31、 AE 与 B垂直时，边 AE 最短.故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 ABP =CQ =3 1 =38、解：解:(1) 秒， 厘米, 厘米,点 为 的中点， 厘米PC =BC -BP，BC =8 PC =8 -3 =5 PC =BD 又 AB =AC ， B =C , BPD CQP BDAPQCF 的面积会最小，又 S S ，则此时的面积就会最大 =S S 四边形 四边形 3 。CEF 的面积的最大值是 3 。2【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 【分析】 (1)先求证 AB=,进而求证AB

32、C、ACD 为等边三角形，得AF 60,C=AB, 从而求证v vP Q， BP CQ， 又BPD CQP，B =C,则BP =PC =4，CQ =BD =5,ABE，即可求得 BE=C。 （2) 由ABCF 可得= , 故根据 S 四边形ACF= + S + 点 P ，点Q运动的时间t =BP 4=3 3秒, v =QCQt5 15= =4 43厘米/秒。=S 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 A与 BC 垂直时，边最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当E 最短时,正三角形 AE的面积会最小,根据 =S （2）设经过 秒后点 与点Q第一次相遇， 由题

33、意，得154x =3 x +2 10,解得x =803秒.S ， CF 的面积就会最大。 10、考点： 相似形综合题.80点 P 共运动了 33 =80厘米. 80 =2 28 +24，点 、点 在 边上相遇,分析: （1)根据等腰直角三角形,可得 ,OEP=t，再将=1 代入求出C 的长度； （2）根据N=PF，可得关于 t 的方程 6t=2t,解方程即可求解;80经过 3 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇.9、解：（1）证明:如图，连接 AC,四边形 AC为菱形,A10，BAEC=6,FAC EA=60，A=AC。BAD12,ABF0。ABC 和ACD 为等边三角形。 AF60

34、,AC=AB。ABE=A。在BE 和中，BA=FA,B=A，A =AF，ABEACF（ASA）。BE=C。（3）分三种情况：求出当t2 时；当 2 时;当 t3 时;求出重叠(阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式；（4)分 M 在 OE 上；N 在F 上两种情况讨论求 QMN 的边与矩形 PF 的边有三个公共点时 t 的值解答: 解：（1)根据题意 AOB AEP 都是等腰直角三角形. ,O=P， 当 t=1 时，C=1;(2) P= t,AEt,OE=6tMQC=2 62t解得 t=2故当 t=时，MN=；(3）当 1t2 时,S=2 4t+2；当 2t 时,=t 30t3；当 t3 时,S=t +t;（2)四边形 AEF 的面积不变 EF 的面积发生变化。理由如下:由(）得ABE,则 =SCF。 =S + +S =S 四边形 ,是定值。作 AHBC 于 H 点,则 (4） QMN 的边与矩形O的边有三个公共点时 t2 或 点评: 考查了相似形综合题,涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想,方程思想,-分类思想的运用,有一定的难度.-