概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明第二章

《概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明第二章（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二章习题解答1.设仆x)与仆x)分别是随机变量X与Y的分布函数，为使叫(x)-笔(x)是某个随机变量的分布函数，则a,b的值可取为(A).A.B.a二2,b二333C.D.2,b2.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个产品中的次品数X的分布律.解：因为随机变量X=这4个产品中的次品数X的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.C4C091且PX二0二-15-二，0.2817；-432320-3-1455PX二1二-15-二，0.4696；C496920PX二2二-15-2二2,0.2167.C432320-1-310PX二3二一二，0.0310；C432320-0

2、-41PX二4二-1二，0.0010Ca96920因此所求X的分布律为:X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103.如果X服从0-1分布，又知X取1的概率为它取0的概率的两倍，写出X的分布律和分布函数.解：设Px二1二p,则Px二0二1-p.由已知，P二2(1-p),所以p二3X的分布律为：X01P1/32/3当x0时，F(x)=PXx=0；当0x1时，F(x)，PXx，PX，0PX，1，1.(x0X的分布函数为：F(x)，1/30x14.一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合

3、格品为止，求在取出合格品以前已取出不合格品数的概率分布.解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3.7Px，0，-；10Px，1，3710973032Px，2，10-9190#39Px，3，10-917187120所以X的概率分布为：X0123P7/107/307/1201/1205.从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布.解：设X=其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.C0C52109Px，0，1339，沁0.2215；C5952052C1C427417Px，1，339，沁0.4114；C56664052C2C

4、327417Px，2，1339，0.2743；C59996052Px，3，C3C2-339C55216302199920沁0.0815；C4C1429Px，4，1339，沁0.0107；C53998452C5C033Px，5，1339，沁0.0005.C566640所以X的概率分布为:X012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.00056.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数.解:由已知，XG(p)所以P(X=ip(1-p)ii0,1,27. 一汽车沿一街道行驶，需要通过

5、三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.解:X的所有可能的取值为0，1，2，3.1且PX0-；PXPX22PX所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求:(1) 恰有6个人不能完成培训的概率；(2) 不多于4个的概率.解：设X=不能完成培训的人数.则XB(100,0.04),(1) PX二6C60.0460.96940.1052；100(2) PX42Ck0.04

6、k0.96100-k0.629.100k09. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率.假设你是使用方，允许次品率不超过p=0.05,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？(假设这批产品实际次品率为0.06).解：设X=100个产品中的次品数,则XB(100,0.06),所求概率为PX3二Ck(0.06)k(0.94)100-k二0.1430100k310. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲

7、输10元，乙赢10元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设X厂投掷一次后甲的赌本,X乙=投掷一次后乙的赌本.则X甲的取值为20,40,且PX=20=PX=40=-,甲甲2PX=10=PX=30=2,4#(1)PX=k=a2k,k=1,2,100；2(1-2100)1-2所以a=12(21001)X甲2040X乙1030p1/21/2p1/21/2x200,x10F(x)=1,20x4,0F(x)=1,10x401,x3011.设离散型随机变量X的概率分布为：所以X与X的分布律分别为：甲乙(2)Pxk=a2-k,k1,2,，分别求(1)、(2)中常数a的值.解：(

8、1)因为Px=k=a2k=1,k=1k=1（2）因为8-PX9=0.0511-0.0214=0.0297；（2）PX8=0.02136.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为1,2,3.Px1C26C3105Px2C1.5Px3C212C3105所以X的概率分布为：X123P6/103/101/1014. 已知每天去图书馆的人数服从参数为九(九,0)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为P(0P1)，且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数X的概率分布.解：设Y每天去图书馆的人数，

9、则YP(九)，.九i.PYie-九,i0,1,2,i!当Yi时，xB(i,p)，PXkPYiCkpk(1p)/kiik艺e-x-Ckpk(1p)i!iiki!ik艺答顾顷P(1-沪iki!ikXkpkAXi-ke九pk(1p)ikeX(1p)ikk!(i-k)!k!(i-k)!iki!XkpkXikXkpk(Xp)kex(1p)ikexeX(1p)=expk!(ik)!k!k!ik即X的概率分布为Pxk匕牛eXp,k0,1,2,.k!ax+b15设随机变量X的密度函数为f(x)00x1其它且PX3，试求常数a和b.ab18+3；解：PX3J_J：(ax+b)dx_ab4a2b1由+_+_得，1

10、839324a92b+3a=一1.5,b16.服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+Barctanx,求常数A,B;PX|1以及概率密度f(x).解：由-F(一8)_lim(A+Barctanx)_A一一B_0xT-82得-F()_lim(A+Barctanx)_A+B_1xT+82A=12_1.兀11所以F(x)=+arctanx；2兀PX1=P1x1=F(1)-F(-1)=0.5；11f(x)_F(x)_-.兀1+x217.设连续型随机变量X的分布函数为0,Ax2,1,F(x)=x00x1x1求：(1)常数A的值；(2)X的概率密度函数f(x)；(3)P“X2”.解：(1)由F(

11、x)的连续性得F(10)=F(1+0)=F(1)=10,即limAx2=1，所以A=1,xt1一1,x00x1x1#0x1其他12x,f(x)二F(x)=o(3)PX2二F二1.#18.设随机变量X的分布密度函数为f(x)=,当ix11-x20,其它试求：(1)系数A；(2)Pj2X2；(3)X的分布函数F(x).解:(1)因为1二卜“f(x)dx=f1Adx=Aarcsinx-8-11=A兀-11-所以A=，f(x)=，兀其它(2)P,1X2=J2f(x)dx=f1=l2J22e1-x2dx=1arcsinx兀当X-1时，f(x)二PXx=0,12当0x1时，f(x)=PXx=Jx1dt=丄

12、arcsinx1时,f(x)=PXx=f1dt=1,-1兀、*112j0,所以F(x)=21arcsinx,兀1,x-1-1119.假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10min之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为10s,从11层电梯口到达会议室需要20秒如果你不想走楼梯而执意等待电梯，贝M尔能准时到达会场的概率是多少？解：设X=在任意一层等待电梯的时间，则XU(0,10)，由题意，若能准时到达会场，贝在10等电梯的时间不能超过4.5min，4.5-0所求概率为PX1.8解：(1)由已知，XE(1),YB(5,p)其中

13、p，PX10，1PX10,1_J10gf(x)dx，1J1o1e_5dx，e059#所以Y的分布为PY，k，Ckpk(1p)5-k,Ck(e-2)k(1e-2)5-k,(k，0,1,2,3,4,5)；55(2)Py1=1PY，0，1Co(e-2)o(1e-2)5，0.5167.521.设随机变量XN(5,4)，求a使：(1)PXa)，0.01.X5解：由XN(5,4)得厂N(0,1)(1)PXa=P|a5，(2)，0.903，所以a,7.6；PX5a=0.01得，所以PX5a,paX5a#，P2J-十W一(2)，2(2)1，99aa即(-)，0.995，查标准正态分布表得-，2.58，所以a，

14、5.1610222.设XN(10,22)，求P0X13,PX解：由XN(10,22)得N(0,1)P10X13=P,01.5，(1.5)(0)，0.99320.5，0.4932；PX102，P2X102X10，P125018528，1(2.32)，10.9898，0.0102所求概率为24.测量某一目标的距离时，产生的随机误差X(cm)服从正态分布N(0,400),求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30cm的概率.X解：由XN(0,400)得20N(0,1)设Y=在3次测量中误差的绝对值不超过30cm的次数,则YB(3,p)其中p，PX30，P-30X30，P-1.5X1.5，(1.5

15、)-(1.5)，2(1.5)1，2x0.93321，0.8664所以P3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30cm=PY1，1PY，0，1C00.86640-0.13323，0.9976325.已知测量误差XN(7.5,102),x的单位是mm,问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9.解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9.X7.5由已知XN(7.5,102),询N(0,1)设Y=n次测量中，绝对误差不超过10mm的次数,则YB(n,p)X7.5其中p，PX10，P10.9,即PY，00.1C00.598

16、70-0.4013n3n必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9.26.参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分.设学生的得分XN(卩,G2)，某教授根据得分X将学生分成五个等级：A级：得分X(卩+。)；B级：卩X(卩+Q)；C级：(卩)X卩；D级：(卩2d)X(卩)；F级:X(卩-2d)已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，贝I：11(1)和b是多少？(2)多少个学生得B级?解：(1)由已知，+g二448b二352，解之得=400b二4812#(2)PX+b二P0X1b二(1)(0)二0.8413-0.5二0.3413由

17、于0.3413x380=129.66，故应有130名学生得B级。27.已知随机变量X的概率分布如下，X-1012P0.20.250.300.25求Y=3X,1及Z=X2+1的概率分布.解：Y=3X+1的所有可能的取值为4，1，-2，-5.且PY二4二PX=1二0.2；PY二1二PX二0二0.25；PY=2二PX二1二0.3；PY=5=PX=2=0.25.所以Y=-3X+1的分布律为Y=3X+1-5-214P0.250.30.250.2Z=X2+1的所有可能的取值为1，2，5且PZ=1=PX=0=0.25；PZ=2=PX=1+PX=1=0.5；PZ=5=PX=2=0.25.所以Z=X2+1的分布

18、律为Z=X2,1125P0.250.50.2528.设随机变量XN(0,1)，求Y=1X的密度函数.解：由XN(0,1),得p(x)=X1x2.e2，设Y=1X的分布函数为FY(y)，则13F(y)，PYy，P1-2|X1时，F(y)，PY于，p，1；当y1时，F(y)，PYy，P|X，1-pX孚，1-P-1-yX21y，1-F(-y)-F(“X2X21-2y1-y).1-F(孚)-fx(-0,),y1.1(1-y1，2x2/20,)+2役(-y1.14#y1.1-(y-1)2e8,2兀0,29.随机变量X的概率密度为2,x0兀(X2+1)0,X0求Y，lnX的密度函数.解：由于y=lnx是一

19、个单调函数，其反函数为X，ey,a=minf(00),f(+s)=g、卩，maxf(00),f(+g)，g.利用公式得Y=lnX的密度函数为P(y)，P(ey)(ey)YX#2ey30.设通过点(0,1)的直线与x轴的交角6在0,兀上服从均匀分布，求这直线在x轴上截距X的密度函数.解：以a表示过(0,1)点的直线与x轴的交角,见图1。由题意知：随机变量a在(0,n)内服从均匀分布，故得a的概率密度为p(x)彳兀a0,0x兀,其它.设随机变量X表示直线在x轴上的截矩，易知Xctg，即Xctg，其分布函数为：F(x)PXxPctg一xXParcctg(-x)Farcctg(-x)。其密度函数为fp(x)F(x)Farcctg(-x)XX=1,(-，x+，).兀(1+x)15