3.1.3 两个向量的数量积2

《3.1.3 两个向量的数量积2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.1.3 两个向量的数量积2（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、两个向量的数量积教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）大连市第三十六中学数学组 王昕一、课型：新授二、教学目标：【知识与技能】（1） 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2） 初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单的长度与角度的计算问题.【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.【情感态度价值观】通过知识的探究过程培

2、养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.三、教学重点、难点【重点】空间两个向量的夹角、异面直线及异面直线所成角、空间两个向量数量积的概念，数量积计算方法以及简单应用【难点】空间两个向量数量积的应用：把立体几何问题转化为向量计算问题.四、方法手段1. 教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2. 教学手段教

3、学中使用多媒体投影和白板来辅助教学目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识五、教学过程：(一)创设情境，引入课题通过电影哈利波特的图片，把小哈利和其他魔法学院学生骑的飞天扫帚理想化抽象成空间向量，引入空间向量成角问题.构建数学模型:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如何确定的夹角？ ABCDA1B1C1D1（设计意图：从学生感兴趣的问题出发，并以学生熟悉的正方体做为教学模型，使学生能愉快融入课堂，消除对新知的陌生感，进而顺利接受新知.）(二)类比探究，获得新知预测学生回答：方法1.平移向量；方法2.平移向量.提问：还有其它平移向量的方法

4、吗？（设计意图：对于确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置再通过讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）强调向量始点重合1空间两个向量夹角的概念：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作.且规定，显然有.若，则称与互相垂直，记作：；（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）例1：判断题:在正方体中ABCD-A1B1C1D1中：.向量为共面向量，它们的基线为共面直线（设计意图：通过三个判断题，加深学生对概念理解的

5、同时指出：求向量的夹角注意向量的方向性；两个共线向量的夹角为0或p；空间任意两个向量必共面，但是基线不一定共面，进而引出异面直线以及异面直线所成的角的概念.）2.异面直线的概念及异面直线所成的角：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.例1变式训练：在正方体中ABCD-A1B1C1D1中：求（1）直线AB与直线C1A1所成的角；（2）直线BD与直线直线C1A1所成的角.BCDB1C1AA1D1指出：求两条异面直线所成的角的步骤；异面直线所成角的取值范围；什么叫两条异面直线互相垂直；两条异面直线成角和

6、向量夹角的区别与联系.思考：我们在解决了引例中后，如何求？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.）3.空间两个向量的数量积的概念：已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积），记作，即4性质： （1）；（2）； （3）； （4）. 5运算律：（1）； （2）（交换律）； （3）（分配律） （设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.）（三）

7、回味建构，应用拓展例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 求: (1) ;(2) .（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题3的解决打好基础.）例3.已知平面a平面b,ab=l,点A,B在a内,并且它们在l上的正射影分别为A,B; 点C,D在b内,并且它们在l上的正射影分别为C,D,求证:. 组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？证明：A B 和CD分别为 AB和CD在l上的正

8、射影，且ab，AA/BB，且AA 和BB分别和CC，CD，DD垂直； CC/DD，且CC和DD分别和AA，AB，BB垂直； =（设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法则及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.）例4.已知长方体ABCD-ABCD,AB=AA=2,AD=4,E为侧面AB的中心,F为AD的中点,求:（1）长方体对角线AC的长；（2）异面直线EF与MC所成的角.ABBDCDACEF （设计意图：巩固方法，鼓励学生选择运用向量方法解决立体几何问题，形成并提高解题能力；通过学生板演、学生讲解进行随堂反馈。让学生感受到单纯用立体几何

9、知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望.）（四）归纳小结，提高认识1课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.O1C1A1B1DCABGE2布置作业层次一：教材第88页，练习A 1,2，练习B 1,2,3；层次二：选做题1.在边长为2的正方体中,AC交BD

10、于E,G为CC1的中点,求:（1）异面直线A1E与BC1所成角;（2）异面直线A1E与BG所成角.2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是DD1、DB中点，G在棱CD上，CG=CD，H为CG的中点，（1）求证：EFBC;（2）求EF、CG所成角的余弦；（3）求FH的长（设计意图：实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层使学生在完成教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣.补充题同时也为下节课向量坐标化引入埋下伏笔，促进学生自主发展、合作探究）板书设计课题：两个向量的数量积 二、概念、性质及运算率的应用 例2 例3 一、空间向量相关概念1.两个向量的夹角及其表示： 2异面直线及异面直线所成的角： 3.两个向量的数量积：4.性质：5运算率：