实验五误差分析

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1、实验五绪论一误差分析【实验目的】1、了解数值计算中的误差种类，及避免误差危害的几种手段，2、深刻体会”数学上恒等，数值上不一定恒等”的含义3、为本课程的学习准备良好的数值思想【实验内容】1、误差的来源与分类2、数值计算中避免误差危害的若干方法3、数值实验举例4、根据要求，完成实验报告中的内容【实验指导】1）误差的来源与分类误差的来源是多方面的，通常误差主要由以下4个方面的因素引起：模型误差vModeling Error）把实际问题向数学问题转化的过程中，忽略了一些对问题影响不是很大的因素，我们称这种忽略了 的因素为模型误差；b5E2RGbCAP（2）观测误差vMeasurement Error

2、）在一般的数学模型中，往往含有比较多的参数，而这些参数的值一般都需要通过观测 得到，而 观测得到的结果由于受到观测设备、观测方法等因素的影响往往都有误差， 我们称这种由于观测引起的误差为观测误差。p1Ea nqFDPw（3）截断误差VTruncation Error）当我们不能得到数学模型的精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。例如：在计算机上直接使用公式计算时，会Lrl出现无穷过程的计算，不能在有限时间内得到需要的结果，因此，通常需要将上述无穷过程近似为有穷过程：一，由此可以得到近似的计算结果，这样用数值方法中的有穷过程替代数 学模型中的无限过程时，

3、就会产生上述截断误差。截断误差又称为方法误 差。DXDiTa9E3d（4）舍入误差VRoundof Error）由于计算机的字长有限，在使用计算机进行数据处理时，计算机表示的数据或计算结果会与原始 数据或理论上的计算结果有差异，这种误差就是舍入误 差。比如说，在计算 机上表示时，只能表示成 二的形式，这 里与的误差就是舍入误差。 RTCrpUDGiT由于误差是不可避免的，我们只能尽可能的减少它对计算结果的影响。在计算方法这门课程中，我们主要关心如何减少截断误差与舍入误差对计算 结果的影响。5PCzVD7HxA2）数值计算中避免误差危害的若干方法（1）选择稳定的算法稳定算法是指后面一次运算产生的

4、误差不能把前面一次运算所产生的误差扩大，这样就可以保证在运算过程中 计算结果的误差能够控制，保证计算结果的可靠性；jLBHrnAlLg避免相近两数相减一一由于两个相近数相减，会丢失有效数字，从而会增大相对误差。避免相近数相减需要结合具体的问题采取不 同的方法或技巧。例如：当时，利用等式XHAQX74J0X可以避免相近数相减。（3） 避免分母过小或用绝对值较大的数作乘数分母过小 或乘数过大会导致计算机数据溢出，从而影响计算结果；（4）避免大数“吃”小数；简化计算，减少计算步骤一一一般来说运算次数减少，则计算过程中的积累误差有可能下降，这样就可以达到降低误差的目的。LDAYtRyKfE3）数值实验

5、举例1）下述三个表达式在数学上是恒等的，试在字长为的计算机上，分别利用这三个表达式计算其在区间上一些点处的函数值，并比较计算结果，并说明理由。Zzz6ZB2Ltk解：为了能够模拟字长为的计算机上的数值计算我们先编写函数digitvx, m)，其功能是将向量x表示成字长为m的规格化浮 点向量。 函数 digit% This fun cti on is used to round x towards% a nearest normalized scientific m-digit number.% For example,% digit (12345,3=0123*10 八 2。% digit(1

6、2.345,4=0.1235*10a2 。% digit(0.012345,3=0.123*10A-1.% In put:%- x is a vector in RAk.%- m is the give n nu mber of sig nifica nt% decimal digits of computer.% Sep., 26, 2007 by Xu Min ghua.k=max(size(x。y=x。 % initialize the value of y.for i=1:kif x(i=abs(x(i。p=0 。if x(i epswhile x(i =x(i*10。p=p-1。en

7、dendif x(i =1while x(i=1x(i=x(i/10。p=p+1。endendy(i=rou nd(x(i*10Am/10Am。y(i=sig n*y(i*10Ap。endreturn我们设计2e-22e-3为了便于看出上述三种表达式在数值计算上的差异算机的字长习，并将分别取为：2e-12e-42e-5 pi/2 pi 3*pi/22*pirqy n14ZNXI利用下述主程序可以得到如下计算结果：x0.20000.0200A 0.5000 0B 0.5000 0.5000C 0.5000 0.50000.002000.50000.50000.000200.50000.50000

8、.000000.50000.50001.60000.40000.41000.41003.10000.21000.23000.20004.70000.04600.04400.05106.300000.00000.0002从上述结合防止误差的危害手段思考造成上述差异的原因。上述计算的主程序如下：% Mai n program for Example 1% Show the differe nee of the followi ng 3expressi on sEmxvxOtOco% 1. A=(1-cosx/xa2,% 2. B=(si nx/xA2/(1+cosx,% 3. C=2(si n(

9、x/2/xA2% in numerical computation.clem=2x=digit(2e-1 2e-2 2e-3 2e-4 2e-5 pi/2 pi 3*pi/22*pi,m。SixE2yXPq5 a=(1-digit(cos(x,m./digit(x.A2,m。a=digit(a,m。b=digit(digit(digit(s in( x,m./x,mA2,m./digit(1+cos(x,m。6ewMyirQFLb=digit(b,m。c=2*digit(digit(si n(digit(x./25m5m./x5m.A2。c=digit(c,m。x, a, b, c+ cdot

10、s +B(1,n$ and $S2=B(1,1+cdots+B(1, n+A$, an dy6v3ALoS89 % show big nu mber eati ng small nu mber.% Assume the computer is an m-digit computer.ClCom=5% in itialize the dadaA=12345n=1000oB=digit(0.5*digit(ra nd(1, n,m,m。% Compute $S 1 = A+B(1,1+ cdots +B(1,n$ and $S2=B(1,1+cdots+B(1, n+A$,M2ub6vST nP

11、% in machi ne precisi on.S仁Afor i=1: nS1=S1+B(1,i oendS2=dfor i=1: nS2=S2+B(1,i oendS2 二 S2+Afpri ntf(Numerical results computed in mach ine precision n。 0YujCfmUCwfprintf(S1= %8.4e, S2 = %8.4e , S1-S2= %8.4e n, S1, S2, S1-S2 o eUts8ZQVRd% Compute $S 1 = A+B(1,1+ cdots +B(1,n$ and $S2=B(1,1+cdots+B(

12、1, n+A$,sQsAEJkW5T % in an m-digit number computer.C仁Afor i=1: nC1=digit(C1+B(1,i,m oendfpri ntf(nfprintf(Numerical results computed in a computer with m-digit nu mber n GMslasNXkAfprintf(S1= %8.4e, The error of S1 is %8.4e n, C1,C1-S1。TIrRGchYzgC2=Qfor i=1: nC2=digit(C2+B(1,i,m。endC2=C2+Afprintf(S2

13、= %8.4e, The error of S2 is %8.4e n, C2,C2-S2。7EqZcWLZNXfpri ntf(S1-S2 二 %8.4e n, C1-C2。运行上述程序可得结果如下：Numerical results computed in mach ine precisi onS1= 1.2596e+004, S2 = 1.2596e+004 , S1-S2= -9.0949e-012 lzq7IGf02ENumerical results computed in a computer with m-digitnu mber zvpgeqJ1hkS1= 1.2345e+0

14、04, The error of S1 is -2.5088e+002S2= 1.2596e+004, The error of S2 is -1.0320e-001S1-S2= -2.5078e+002从上述结果可以看出如果利用现有的机器精度来计算和，则两者的差异不大，但如果在字长为5的计算机上计算和，则两者差异很大，出现了大数吃小数的现象。如果取值为3, 4, 6则结果如何？ NrpoJac3v1长春大学计算机科学技术学院实验报告日期 学号 姓名成绩 1no wfTG4KI实验五绪论一一误差分析一、上机运行验证：1、运行实验指导中的程序，观察其结果。2、回答实验指导最后提出的问题，并给出测试结果。二、编程与程序分析1、把函数用Taylor展开至9阶，然后分别用下面两个公式计算 近似 值，要求保留三位有效数字，并与真解|进行比较，说明那个公式更精确并说明理由。fjn FLDa5Zo (A(B申明:所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。