15.结构的稳定计算

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1、Nanjing University of Technology第 十五 章结构的稳定计算第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2一一.第一类稳定问题第一类稳定问题(分支点失稳分支点失稳)lEIEIP P22lEIPcr-临界荷载临界荷载crPP 稳定平衡稳定平衡crPP 随遇平衡随遇平衡crPP 不稳定平衡不稳定平衡 不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳稳定性称为失稳(屈曲屈曲).).15.1 绪论绪论第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算3PFABCDDcrPF2PF大挠度理论小挠度理论分支点失稳的特征分支点失稳的特征q

2、P PP P两种平衡状态两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。轴心受压和弯曲、压缩。-第一类稳定问题第一类稳定问题完善体系完善体系lEIEIP P第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算4二二.第二类稳定问题第二类稳定问题(极值点失稳极值点失稳)偏心受压偏心受压 第二类稳定问题第二类稳定问题P PP P有初曲率有初曲率非完善体系非完善体系PFABCcrPFPeF第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算5三三.分析方法分析方法大挠度理论。大挠度理论。小挠度理论。小挠度理论。静力法静力法能量法能量法四四 .稳定自由度稳定自由度 在稳定计算中在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时一个体系产生

3、弹性变形时,确定其变形状态确定其变形状态所需的独立几何参数的数目所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。称为稳定自由度。P PEI1 1个自由度个自由度P PP PEI2 2个自由度个自由度无限自由度无限自由度第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算6PFlABkPFlABkBRF例例1 1、分支点失稳示例、分支点失稳示例失稳变形：失稳变形：一、运用大挠度理论分析：0Am根据根据 ：0cossinlFlFRP因因sinklFR0sin)cos(lklFP解一：解一：0平衡路径平衡路径I I解二：解二：cosklFP平衡路径平衡路径IIIIklFcrPIIPFI第第 10 章章 结构的稳

4、定计算结构的稳定计算7PFlABkPFlABkBRF失稳变形：失稳变形：二、运用小挠度理论分析：0Am根据根据 ：0lFlFRP因因klFR0)(lklFP解一：解一：0平衡路径平衡路径I I解二：解二：klFP平衡路径平衡路径IIIIklFcrPPFI小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：sinII第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算8PFlABkBRF例例2 2、极值点失稳示例、极值点失稳示例失稳变形：失稳变形：一、运用大挠度理论分析：0Am根据根据 ：0)cos()sin(lFlFRP因因sin)sin(klFR解得：解得：)sin(sin1)cos(klFPklFcrP

5、PFPFlABk01.02.0第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算9一一.一个自由度体系一个自由度体系 0AM0sinPlk小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：kP PEIlk1 1抗转弹簧抗转弹簧A sink0)(Plk00 Plk-稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）lkPcr/-临界荷载临界荷载15.2 静力法静力法第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算10二二.N自由度体系自由度体系 0BM0)(121yyPlky（以（以2 2自由度体系为例）自由度体系为例）0)2()(plkPPklkl-稳定方程稳定方程02klPklPPkl-临界荷载临界荷载klAP

6、PEIlk1y2y1ky2kyB 0AM02112Pylkylky0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlk03222lkklPPklklklP382.0618.2253klPcr382.0618.112yy-失稳形式失稳形式P P1 11.6181.618第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算11三三.无限自由度体系无限自由度体系)()(xMxyEI 00sincos1001nlnlnl)(xlQpyMEIPn 2P PEIlxyxy挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为QP PMQ)()(xlQPyxyEI 或或)()(xlEIQyEIPxy 令令)()(22xlPQnyn

7、xy 通解为通解为)(sincos)(xlPQnxBnxAxy由边界条件由边界条件0)(,0)0(,0)0(lyyy得得0lPQA0PQBn0sincosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnlnl tan第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算1200sincos1001nlnlnlP PEIlxyxyQP PMQ得得0lPQA0PQBn0sincosnlBnlA稳定方程稳定方程0sincosnlnlnlnlnl tannly22325nlnly)(nlnlytan)(经试算经试算493.4nl485.4tannlEInPcr222/19.20)493.4(lEIEI

8、l第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算13静力法举例静力法举例例例1.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图失稳变形图第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算140Am可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：FP=2qaq通过对通过对A点求矩有：点求矩有：A022122aakaaqFap062akq6kqcr第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算15例例

9、2.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为，刚度系数为k。llABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图失稳变形图ABCFPylyFplyFp第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算160Y可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：通过对竖向取力的平衡有：通过对竖向取力的平衡有：02yklyFp2klFpcr02yklFp第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算17例例3.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I=

10、，刚度系数，刚度系数为为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图失稳变形图lllABCDFPkkABCDFPkkBC 1y2y1M2MpFlyFMp11lyFMp22解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算18代入上式可得：代入上式可得：通过对变形后的通过对变形后的B、C点求矩有：点求矩有：杆杆ABCyFMyFMBCDllyFMyFMpppp11222211222121112yylklyylykM1222yylkM045205242121ylkFylkFylkFylkFpppp由行列式为零可得：由行列式为零

11、可得：lkFpcr1lkFpcr32ABCDFPkkBC 1y2y1M2MpFlyFMp11lyFMp22第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算19例例4.试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、k0、kr分别为常数或等于零或等于分别为常数或等于零或等于时，弹性压杆的支承状况及相应的时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。稳定方程是什么。取压杆变形后的平取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所衡形式及坐标如图所示，采用小挠

12、度理论示，采用小挠度理论可得弹性平衡微分方可得弹性平衡微分方程。程。解：0krkklPxyy0krkkABxl kPBrkBk0第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算20BrPkPxlkxBxAy)(1 cossin通解为：通解为：边界条件为：边界条件为：BAylxylxyxyx,00,00sincos0cossin00)1(BBrABrPklBlAPklBlAPkAPkPklB)()()(BrkxlkyPxMEIy)(xMxyyrkkBxl kPBrkP)(22 BrPkPxlkyy令：令：则：则：EIP/2PkxBxAysincos第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算21

13、2022-9-1122:20:14210)(0PklkkBrA由整体平衡条件由整体平衡条件得0AM整理后得：整理后得：0sincoscossin01)1(cossin00PkllkPBllkPAPkllBlAPkBkPArr可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：llkPkPllkPaPklllPkkkrrrcossinsincos)()cos1(2sin1100 xyy0krkkABxl kPBrkBk0第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算22分情况讨论：一、当一、当k=常数，且常数，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程k0=0、kr=常数；常数；PPklkkPk

14、lklrr)()(tankPABEIrkABEIkPk0=0、kr=0；0tan)(lPkl1-11-20krkkP1-3ABEIkPk0=、kr=0；kPkll)(tan第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算23二、当二、当k=0，且，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程k0=0、kr=常数；常数；2-10krkkPPABEIrkEIklrtan2-22-3k0=、kr=0；k0=、kr=；ltan0sinlABEIPPABEI第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算243-13-23-3k0=0、kr=；k0=、kr=0；k0=、kr=.3-4k0=0、

15、kr=0；ABEIPAEIBPABEIPAEIBPlltan0sinllltan2sincos1lll三、当三、当k=，且，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程0krkkP第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算25一一.势能原理势能原理2.外力势能外力势能1.应变能应变能P P弯曲应变能弯曲应变能2/PVeldxM021拉压应变能拉压应变能2/PVeldxN021P PP P剪切应变能剪切应变能2/PVeldxQ0211231P2P3P 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功原始状态中所作的功.iipPVy(x)q(x)lpdx

16、xyxqV0*)()(3.结构势能结构势能PePVVE15.3 能量法能量法第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算26EAlPPPViip2111结构势能结构势能例例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.45P P1 1llA45解解:杆件轴力杆件轴力2/211PN 杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211PePVVEEAlPEAlPEAlP22212121第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算27EAlPPPViip2111结构势能结构

17、势能45P P1 1llA45杆件轴力杆件轴力2/211PN杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211PePVVEEAlPEAlPEAlP222121214.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVp结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEAPE10)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(21112

18、11EAlP221第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算284.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVp结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEA0)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211PE1EAlP221 在弹性结构的一切在弹性结构的一切可能位移可能位移中，真实位移中，真实位移使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移

19、 对于稳定平衡状态对于稳定平衡状态,真实位移使结真实位移使结构势能取极小值构势能取极小值.第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算29分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图失稳变形图例例6.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。能量法举例能量法举例第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算30221akV则结构势能为：则结构势能为：FP=2qaq变形能为：变形能为：AaaqaaaFVPP2222122

20、22226kqcr外力势能为：外力势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：2232aqkVVEPP可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：0ddEP062aqk解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算31例例7.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为，刚度系数为k。llABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图失稳变形图ABCFPylyFplyFp第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算32221ykV则结构势能为：则结构势能为：变形能为：变形能为：lyFV

21、PP222外力势能为：外力势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：22ylFkVVEpPP可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：0ddEP02ylFkp2klFpcr解：ly22第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算33例例8.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I=，刚度系数，刚度系数为为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图失稳变形图lllABCDFPkkABCDFPkkBC 1y2y解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算34212221221221

22、lyyklyykV则结构势能为：则结构势能为：变形能为：变形能为：212221yyyylFVPP外力势能为：外力势能为：212221212221221221yyyylFlyyklyykVVEpPPABCDFPkkBC 1y2ypFly22第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算35由驻值条件有：由驻值条件有：0,021yEyEPP0254042522122212ylFlkylklFylklFylFlkpppplkFpcr1lkFpcr32由行列式为零可得：由行列式为零可得：ABCDFPkkBC 1y2ypF第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算3610.4 组合压杆的稳定组合压杆

23、的稳定第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算37第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算38第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算39缀板式缀板式肢杆肢杆缀条缀条缀板缀板缀条式缀条式组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为压杆具体可分为缀条式缀条式和和缀板式缀板式两种。两种。第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算40一一.缀条式组合压杆缀条式组合压杆PPldbz21假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：lxaysin则组合杆上任意点的弯矩

24、、剪力和轴力为：则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：lxPaPyMsinlxlPadxdMQcoslxbaPbMNsin肢lxlaPQNcoscoscos条上式中：上式中：b b为组合杆的肢宽，为组合杆的肢宽，为斜缀条与水平轴的夹角。为斜缀条与水平轴的夹角。1A-上斜缀条截面积上斜缀条截面积.2A-下斜杆截面积下斜杆截面积.应变能为：应变能为：EAsNU22nnnAblxlaPAblxlaPAdlxbaPEU2111222211212coscoscoscoscoscossin21肢将轴力代入后得：将轴力代入后得：b肢N肢N条NMQ第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算41一般缀条式组

25、合杆的结间数较多，可取一般缀条式组合杆的结间数较多，可取 dxxdldxlxdlxln02221sin2sin2coscos0221ldxlxdlxln21btgbtgd另外：另外：则应变能为：则应变能为：2321312122222cos1cos1)(24AAtgtglbAElaPU肢外力势能：外力势能：laPdxlxlaPdxyPVll4cos2)(21222022220I 为两根肢杆的截面对为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩.令令 ，可得：，可得：0VU232131212222coscos1211AAAAtgtglblEIPcr肢肢22222bAbAI肢肢PPldbz21nnnAbl

26、xlaPAblxlaPAdlxbaPEU2111222211212coscoscoscoscoscossin21肢第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算42若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr当当 ，时，时，21AAA2122222cossin211AAlblEIPcr肢PPldbz232131212222coscos1211AAAAtgtglblEIPcr肢肢222cossin21AAlb肢第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算43若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径,取取2/br 并

27、且并且,一般一般 为为 ,故可取故可取603027cossin22并引入长细比并引入长细比rl/22271AA肢若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有h若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr22222cossin211AAlblEIPcr肢222cossin21AAlb肢第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算44条肢AArlh2272上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径,取取2/br

28、 并且并且,一般一般 为为 ,故可取故可取603027cossin22并引入长细比并引入长细比rl/22271AA肢若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有h第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算45若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有h二二.缀板式组合压杆缀板式组合压杆可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：板肢EIbdEIdlEIlEIPcr12241122222肢2283.0rlh上式中：上式中：肢肢肢Idbl222/第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算46组合结构稳定计算举例组合结构稳定计

29、算举例1.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程稳定的特征方程.EIEIEI0)sin(l 计算结构临界荷载计算结构临界荷载.22lEIPcrEIEIlPPPPEIlEIP2第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算472.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程稳定的特征方程.EIEIEI0)sin(l 计算结构临界荷载计算结构临界荷载.22lEIPcrlPPEIlEIP2第第 10 章章 结

30、构的稳定计算结构的稳定计算48详细解题过程：详细解题过程：取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。PxyPyxl)(xMxl xyyBMPPPMxBxAyBcossin通解为：通解为：)()(BMyPxMEIyEIMPyyB2 令：令：则：则：EIP/2xBxAysincosBM第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算49边界条件为：边界条件为：0,0,00,0ylxyxyx0sincos00lBlAAPMBB整理后得：整理后得：可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：00sincos001110ll0)sin(

31、l22lEIPcr可得临界荷载：可得临界荷载：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算503.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，一个稳定自由度简化模型如右所示，一个稳定自由度.静力法求解静力法求解.kEIEI0/00lklkPMA 计算结构临界荷载计算结构临界荷载.kllEIPcr23lPlEI3PkEI0klEIk30EIP1kA0klk01k0)3(2lEIklPl第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算51解解：一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示.EI220yPlkyMBPlPklPcr 结构临界

32、荷载为：结构临界荷载为：lEIBkk4.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。PykykyP第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算52解解：产生单位转角后：产生单位转角后：计算刚度计算刚度.31lEIk EIEIlEIFlklPPk21lEIlkFl5.计算简化模型中的刚度计算简化模型中的刚度k。l1F第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算53概念判断概念判断5、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。1、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。2、在稳定分析中，有、在稳定分析中，有n个稳定自由度的结构具有个稳定自由度的结构具有n个临界荷载。个临界荷载。3、两类稳定问题的主要区别是：荷载、两类稳定问题的主要区别是：荷载位移曲线上是否出现分支点。位移曲线上是否出现分支点。4、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。答案：错误答案：错误答案：错误答案：错误答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确谢 谢本章结束