第五章相似原理量纲分析

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1、第五章 相似原理与量纲分析 流体力学流体力学汽车学院汽车学院同济大学同济大学Tongji University上海地面交通工具风洞中心上海地面交通工具风洞中心Shanghai Automotive Wind Tunnel Center目 录 绪论第一章 流体及其主要物理性质第二章 流体静力学第三章 流体运动学基础第四章 流体动力学基础第五章 相似原理和量纲分析第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动第七章 粘性流体流动第八章 定常一元可压缩气流第九章 实验流体力学 5-1，5-2，5-3，5-4，5-6，5-11，5-17第五章作业第五章作业第五章 相似原理和量纲分析5.15.1 相似概念相似概

2、念5.25.2 相似定理相似定理5.35.3 相似准则相似准则5.45.4 模型试验方法模型试验方法5.55.5 量纲分析量纲分析第五章 相似原理和量纲分析 对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的分支。对许多实际流动，直接用实物（原型）进行实验会遇到很大困难：如新型飞机，汽车，大型流体机械因尺寸大，造价昂贵，没有足够把握是不能冒然投产并进行原型实验的；有的原型尺寸太小，实测非常困难。因此，在研究过程中，都必须要用一定尺度的模型进行实验。第五章 相

3、似原理和量纲分析 模型实验方法起始于19世纪末。如今，随着工业技术的高速发展，应用模型实验方法进行科学研究和产品开发就更为普遍。例如用风洞模型实验研究航空航天飞行器的性能；用船模在水池或水洞中研究船只的航行性能；用气候风洞研究汽车在各种气候条件下的驾驶性能；用建筑物模型在风洞内进行风载实验；用环境风洞进行大气污染实验等等。5.1 5.1 流动现象的相似流动现象的相似一）相似的定义一）相似的定义 如果描述一个系统中发生的全部物理量（线性尺寸、速度、力、时间间隔等）可以从另一个系统的同类量乘以相应的常数得到，则这两个系统中发生的现象称为相似。二）相似现象的分类二）相似现象的分类 根据现象的性质和特

4、点，相似现象可分为力学相似、热力学相似、电学相似等。三）相似理论的研究对象三）相似理论的研究对象 相似理论主要研究的对象是发生在其和相似系统中的同一性质的物理现象之间的相似问题，即首先是两个系统确保几何相似，其次两个系统中的物理现象变化过程可以用同一个关系方程来描述。一、几何相似一、几何相似 若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部线性长度的比例相等，则称这两个物体几何相似。由于几何相似，模型和原型对应的面积、体积也必然程一定的比例。流体力学中，两个现象相似必须满足以下条件流体力学中，两个现象相似必须满足以下条件：mmmmLpppplhdClhd2mmmALpppl hAC

5、Cl hA1、几何相似、几何相似 2、运动相似、运动相似 3、动力相似、动力相似3mmmmVLppppl h bVCCl h bV5.1 5.1 流动现象的相似流动现象的相似二、运动相似二、运动相似 在几何相似的两个流场中，所有对应点、对应时刻的流速方向相同，而流速大小成比例，则对应的速度场相似。（流场的几何相似是运动相似的前提）。pmAmBmvApBpVVVCVVVpmmmmLtppppmvVtLVLCCtLVL VC2mmmvvappptLaVtCCCaVtCC222pmmLLvppptLtCkC CLtC3323VVmmmLqLvVppptqLtCCC CqLtC2mmmvvppptLV

6、tCCCVtCC速度比例速度比例时间比例时间比例加速度比例加速度比例体积流量比例体积流量比例运动粘度比例运动粘度比例角速度比例角速度比例5.1 5.1 流动现象的相似流动现象的相似三、动力相似三、动力相似 在几何、运动相似的流场中，对应瞬间、在对应点上作用着同样性质的力，而且由各种力组成的力多边形几何相似，则称这两个流场动力相似。在动力相似条件下，模型与原型的流场所对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，大小成比例。mmmFpppTPICTPI3mmmmLpppmCC Cm 22mmmFmaLvpppIm aCC CC C CIm a32mm mMFlLvpppMF lCC CC C CM

7、F l2mmmFpvpppApFACCC CpFAC23mmmNFVLvpppNF vCC CC C CNF vmmmLvpppCC CC C C 5.1 5.1 流动现象的相似流动现象的相似5.2 5.2 相似定理相似定理1 1、相似第一定理（相似性质）、相似第一定理（相似性质）“彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则”2 2、相似第二定理（相似充要条件）、相似第二定理（相似充要条件）“凡同一种类现象，当单值条件相似而且单值条件中的物理量所组成的相似凡同一种类现象，当单值条件相似而且单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等时，则这些现象必定相似

8、准则在数值上相等时，则这些现象必定相似”3 3、相似第三定理、相似第三定理“描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则之间的函数关系这种关描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则之间的函数关系这种关系式称为准则关系方程式，这种准则关系方程可推广到与其相似的现象中系式称为准则关系方程式，这种准则关系方程可推广到与其相似的现象中”5.2 5.2 相似定理相似定理1 1、相似第一定理（相似性质）、相似第一定理（相似性质）“彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则”由于相似的现象都属同一种类的现象，因此，它们都应为同一的微分方程组所描述，现象的几何条件（形

9、状与大小）、物性条件（密度，粘度等）、边界条件（进口与出口的流速分布、壁面上流速的大小等），对于非定常的流动还有初始条件（初瞬的流速分布特性等）都必定是相似的。这些条件又统称为单值条件。相似现象的一切物理量在对应的空间点和对应的瞬时各自互成一定的比例，而这些物理量又必须满足同一的微分方程组，因此各量的比值，即相似倍数不能是任意的，而是彼此相约束的。描述现象的微分方程组必须相同是现象相似的第一必要条件。描述现象的微分方程组必须相同是现象相似的第一必要条件。5.2 5.2 相似定理相似定理 2 2、相似第二定理（相似充要条件）、相似第二定理（相似充要条件）“现象相似的必要和充分条件是单值条件相似，

10、并且由单值条件中的物理现象相似的必要和充分条件是单值条件相似，并且由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等量所组成的相似准则在数值上相等”服从同一方程组的同类现象可以有许许多多，如何把所要研究的具体现象从这无数现象中单一地划分出来，便耍靠它的单值条件。若两种流动状态的单值条件相同，则由上述方程组得到的解是一个，即这两种流动状态是完全相同的一种流动，若两种流动的单值条件相似，则得到的解是相似的，即这两种流动相似，若它们的单值条件既不相同也不相似，则得到的仅是服从同一自然规律的两个互不相同又不相似的流动。因此，单值条件相似单值条件相似是现象相似的第二个必要条件。是现象相似的第二个必要条件。

11、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。5.2 5.2 相似定理相似定理3 3、相似第三定理、相似第三定理“描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则 之间的函数关系，之间的函数关系，。这种关系式称为准则关系这种关系式称为准则关系方程式，可以推广到与其相似的现象中。方程式，可以推广到与其相似的现象中。”n、3210)(321 nF、因为对于所有彼此相似的现象，

12、相似准则都保持同样的数值，所以他们的准则方程式也应相同。由此，如果按相似第二定理的规定把模型试验的结果整理成准则方程式，则该方程可以应用到实物中去。通过试验得到的准则方程式就是描述流动现象的微分方程组的解。通过试验得到的准则方程式就是描述流动现象的微分方程组的解。也就是说，对于复杂的流动现象，当靠数学分析无法求解时，相似原理提供了通过试验求解的可能。因此，相似原理是模型试验研究的理论基础。5.2 5.2 相似定理相似定理1、要进行模型试验，首先会遇到如何设计模型，如何选择模型中的流 动介质，才能保证与原型中的流动相似？相似第二定理表明，凡同类现象，当单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的

13、相似准则在数值上相等时，则这些现象必定相似。这就是说，设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的定性相似准则在数值上要相等。2、试验过程中需要测定哪些物理量、试验数据如何整理、才能找到规 律性？相似第一定理表明，彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则。这就是说，试验中应测定各相似准则中所包含的一切物理量，并把它们整理成相似准则。相似三定理解决了模型试验中必须解决的一系列问题，归纳起来可概述相似三定理解决了模型试验中必须解决的一系列问题，归纳起来可概述如下：如下：5.2 5.2 相似定理相似定理3 3、模型试验所得的结果如何整理，才能推广应用到原型（实物）中去？、模型

14、试验所得的结果如何整理，才能推广应用到原型（实物）中去？相似第三定理表明，描述某现象的各种量之间的关系可表达成准则方程的形式，而且彼此相似的现象，它们的准则方程也是相同的。这就是说，把试验结果整理成相似准则之间的关系式，便可推广应用到原型中去。按上述原则去安排试验、进行试验和整理试验结果，则所得到流动规律可推广应用于与之相似的任何流动过程中去。5.3 5.3 相似准则相似准则 根据相似三定理可知：判断原型与模型流场相似，没有必要用一一检查各物理量的比例尺的方法去判断两个流动是否力学相似，这样做是极不合适的。在进行模型设计或组织模型试验前应该首先找出研究对象的全部相似准则即可（因为判断相似的标准

15、是相似准则）。相似准则的推导方法有两种:1 1）微分方程法微分方程法 2 2）量纲分析法）量纲分析法5.3 5.3 相似准则相似准则111111,LzzLyyLxx1 1）相似准则的导出）相似准则的导出对应点上的无量纲量速度对应点上的无量纲坐标222222,LzzLyyLxx222222,UwwUvvUuu111111,UwwUvvUuu1111011,gffTttpppxx2222022,gffTttpppxx对应点上的其他无量纲量速度特征量的概念用来形成各物理量之无量纲量的参考量称之为特征量UL、5.3 5.3 相似准则相似准则220211mmmmmxmmmmmUUpUuuuupuvwg

16、fuTtLxyzLxL2022mmmmmxmmmmmmmLL gpuuuupuvwfuU TtxyzUUxU L20221pppppxppppppUUpUuuuupuvwg fuTtLxyzLxL0222pppppxpppppppLL gpuuuupuvwfuU TtxyzUUxU L5.3 5.3 相似准则相似准则220022111RepmmmppmpmmmmpmmmpppmmmppLLU TU LStL gL gUUFrppEuUUL UL UULUpEuLgUFrLUTStRe22无量纲量系数关系式无量纲量系数关系式aUMa 雷诺数是惯性力与粘性力的比值。两流动的粘滞力作用相似，它们的雷

17、诺数必定相等，反之亦然。这便是粘滞力相似准则。弗劳德数是惯性力与重力的比值。两流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，反之亦然。这便是重力相似准则。斯特劳哈尔数是当地惯性力与迁移惯性力的比值。两非定常流动相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，反之亦然。这便是非定常流动相似准则。5.3 5.3 相似准则相似准则ReMaFr3）相似准则数的物理意义 欧拉数是总压力与惯性力的比值。两流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，反之亦然。这便是压力相似准则。EuSt 马赫数反映流体的压缩性大小。两流动的气动弹性力作用相似，它们的马赫数必定相等，反之亦然。这便是压缩性相似准则。5.3 5.3 相似准则相似

18、准则4）决定性相似准则数 以上得到的相似准则数，是任意两个力学相似的流动应当满足的条件，即满足以上相似准则数全部相等的两个流动称为完全相似流动。由于实际流动是非常复杂的，要同时满足所有相似准则数相等时十分困难的，而且有些相似准则要同时满足相等也是不可能的。由试验分析知道，在流体流动的力学现象中，通常只有一到二种力起着主要作用，决定力学相似的本质，因此，在流体力学试验中往往只需满足主要作用力的力学相似即可，其它对流动现象不起主要作用的力则可忽略不计，这种相似流动成为近似相似或部分相似。满足主要作用力相似的相似准则数成为决定性相似准则数。5.3 5.3 相似准则相似准则5）自模化性和稳定性 在稳定

19、有压流动情况下，不可压缩粘性流体通常还具有“自模性”和“稳定性”两种特性，在这两种特性下的流动模化条件还可进一步简化。对于有压流动，决定性相似准则为雷诺数。流动分层流，过渡和紊流三种状态，由临界雷诺数决定。（第一临界雷诺数）流动处于层流状态，这时模型与实物管路中的断面上的速度分布彼此相似，流动不再与 有关；当 （大于第二临界值），紊流状态的速度分布不随雷诺数增加而变化，这时的流动又进入自动模化状态。当实物与模型都处于同一种自模化区，模型试验的 数可不必与在实物的 数相等。cReRe ReceRRe ReRe自模化性5.3 5.3 相似准则相似准则稳定性粘性流体在管道中流动时，不管入口处的速度分

20、布如何，必须经一定的入口长度后，流速分布才能固定下来。粘性流动的这种特性称为稳定性。由于稳定性的存在，模化时只要在模型入口有一段几何相似的稳定段，就能保证进口速度分布相似。同样，出口速度分布的相似，也只要保证出口通道几何相似即可。5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法 模型试验（又称模化试验）是指，把通常比较大型（或小型）的原型工程设备按一定比例缩小（或放大）成通道内部几何相似的模型试验台，利用试验台进行流动规律的测试和研究。这样做的原因是，由于在许多原型设备上利用试验手段去测试和研究流体的流动规律，常常是很不方便的，甚至是很难办到的。设计一种新设备，事先进行模型试验，探索内部的流动规律，然

21、后根据相似原理推广应用于原型设计，便可为设计提供依据，少走弯路，节省时间和经费器材。5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法 在进行流体动力的模型试验时，为保证模型与原型中的现象相似，应按相似原理规定的条件去设计模型和安排试验。这些条件是：（1）模型与原型流体通道的内廓几何相似；（2）在模型与原型设备对应截面或对应点上流体的物性，即流体的 密度与粘度具有固定的比值；（3）模型与原型进口截面的速度分布相似，（4）对于粘性不可压缩流体的定常流动，模型与原型进口处按平均 流速计算的Re数、Fr数相等。满足以上条件的流动为完全相似流动。实践表明，尽管粘性不可压缩流体的定常流动只有两个定性准则，要同时相

22、等常常也是很困难的，决定性准则数越多，模型设计越困难。因此，需要考虑采用近似模型试验方法。B、如果模型与原型流场中雷诺数相等，则 5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法ULRe一、为什么要采用近似的模型试验法一、为什么要采用近似的模型试验法在设计模型试验时，如果所选的三个比例尺能满足相似准则的制约，则两流动为完全相似。但是这是非常困难的。以不可压缩粘性流体的定常流动的相似为例：A、在重力场中模型与原型流场的弗劳德数相等，则 C、如果模型与原型流场中采用相同的工质，则速度比例尺为 1 2vLCCvLCCC则运动粘性的比例尺为：3 2LCC1 5LC模型与原型的线性尺寸比例 18.111C1 1

23、0LC62.311C1 100LC10001C1vLCCLgUFr25.4 5.4 模型试验方法模型试验方法二、近似的模型试验的实际意义二、近似的模型试验的实际意义 近似模型法的试验是有科学根据，弗劳德数代表惯性力与重力之比，雷诺数代表惯性力与粘性力之比，这三种力在一个具体问题上不一定具有同等的重要性，只要我们能够针对所要研究的具体问题，保证它在主要方面不致失真，而有意识地摒弃与问题本质无关的次要因素，采取近似相似的方法来设计模型试验不仅无碍于实际问题的研究，而且从突出主要矛盾来说是有益的。5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法三、近似模型试验的三种方法三、近似模型试验的三种方法 1弗劳德模

24、型法 在水利工程及明渠无压流动中处于主要地位的力是重力。用水位落差形式表现的重力是支配流动的原因，用静水压力表现的重力是水工结构中的主要矛盾。粘性力有时不起作用，有时作用不甚显著，因此弗劳德模型法的主要相似准则是弗劳德数 弗劳德模型法在水利工程，船模水洞试验等领域应用甚广，大型水利工程设计，船舶设计等必须首先经过模型实验的论证而后方能投入施工。5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法 2 2雷诺模型法雷诺模型法 管中有压流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生的流动，粘性力决定压差的大小，粘性力决定管内流动的性质，此时重力是无足轻重的次要因因此雷诺模型法的主要相似准则是雷诺数 雷诺模型法的应用范围

25、也很广泛，管道流动、液压技术、水力机械等方面的模型实验多数采用雷诺模型法。5.4 5.4 模型试验方法模型试验方法3欧拉模型法 随着管道流动的雷诺数的增大，（即惯性力与粘性力之比增大），粘性力的影响会逐渐减弱，当达到一定数值后，继续提高雷诺数，再也不会对流动现象和流动性能发生质和量的影响，（即此时尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的）。这种现象叫作自动模化，产生这种现象的雷诺数范围叫作自动模化区，雷诺数处在自动模化区时，雷诺准则失去判别相似的作用。研究雷诺数处于自动模化区时的粘性流动，流动阻力主要是紊流阻力而不是粘性阻力。因此，在设计模型时，粘性力的影响不必考虑了；如果是管内气体流动，其重力的

26、影响也不必考虑；这样我们只需考虑代表压力和惯性力之比的欧拉数。欧拉模型法用于自动模化区的管中流动、风洞实验及气体绕流等情况。弗劳德模型法弗劳德模型法 弧形闸门放水时的情景如图所示，已知水深弧形闸门放水时的情景如图所示，已知水深 。模型闸门是按长模型闸门是按长度比例尺度比例尺 制作的，试验时的开度与原型的相同。试求流动相似制作的，试验时的开度与原型的相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模型上测得收缩截面的平均流速时模型闸门前的水深。在模型上测得收缩截面的平均流速 ，流量流量 ，水作用在闸门上力，水作用在闸门上力 ，绕闸门轴的力，绕闸门轴的力矩矩 。试求原型上收缩截面的平均流速、流量以及作用在

27、。试求原型上收缩截面的平均流速、流量以及作用在闸门上的力和力矩。闸门上的力和力矩。mh61 20LC 2.0mvm s30vmqL s92mFN110mMN m解：解：1、模型闸门前的水深、模型闸门前的水深6 200.3()mLphC hm水在重力作用下流过闸门，要使流动相似，弗劳德数必须相等。水在重力作用下流过闸门，要使流动相似，弗劳德数必须相等。1 2vLCC2、原型收缩截面上的流速、原型收缩截面上的流速3、原型上的流量、原型上的流量4、作用在原型闸门上的力、作用在原型闸门上的力5、作用在原型闸门轴上的力矩、作用在原型闸门轴上的力矩1 21 2202.08.994()mmpvLvvvm s

28、CC5 235 2200.0353.67()vvmvmvpqLqqqmsCC35320927.360 10()mmpFLFFFNCC474201101.76 10()mmpMLMMMN mCC雷诺模型法雷诺模型法为了探索用输油管上的一段弯管的压强降来计量油的流量，进行水模拟试验。选取的长度比例尺 。已知输油管内径 ，油的流量运动粘度 ，密度 ，水的运动粘度 ，密度 。为了保证流动相似，试求水的流量。如果测得在该流量下模型弯管的压强降 ，试求原型弯管在对应流量下的压强降。1 5LC mmd100sLqv20sm2610625.03720mkg621.0 10mms3998mkg m41.177

29、10mpPa解：解：粘性有压管流，要使流动相似，雷诺数必须相等。vLC CC661.0 10580.625 10vlCCC 2vqLvLCC CC C63611.0 100.020.00649()6.4()50.625 10mvLvpqC C qm sL s欧拉数相等2pvCC C224272011.177 10132.79988pppmmmvppPav欧拉模型法（欧拉模型法（1）输水管道的内径输水管道的内径 ，内装蝶阀。，内装蝶阀。当蝶阀开度为当蝶阀开度为 、输送流量、输送流量 时，流动已进入自动模化区。利用空气进行模拟试验，选时，流动已进入自动模化区。利用空气进行模拟试验，选用的长度比例尺

30、用的长度比例尺 。为了保证模型内的流动也进入自动模化区，。为了保证模型内的流动也进入自动模化区，模型蝶阀在相同开度下的输送流量模型蝶阀在相同开度下的输送流量 。试验时测得经过蝶试验时测得经过蝶阀的压强降阀的压强降 ，气流作用在蝶阀上的力，气流作用在蝶阀上的力 ，绕绕蝶阀轴的力矩蝶阀轴的力矩 。试求原型对应的压强降、作用力和力试求原型对应的压强降、作用力和力矩。已知矩。已知 时水的密度时水的密度 ，粘度，粘度 ，时空气的密度时空气的密度 ，粘度，粘度 ，声速，声速 md5.1asmqv30.41 7.5LC 31.6vmqms2697mpPa137mFN2.94mMN m32.998mkgC02

31、0sPa310005.1C02031.205mkg m51.83 10mPa s343.1mcm s解：解：1 1、求原型中的雷诺数、求原型中的雷诺数2 2、求模型中的雷诺数、求模型中的雷诺数3 3、求模型中的马赫数、求模型中的马赫数smdqvv264.242610373.3Revd2450.93vmmmqvm sd5Re6.707 10mmmmmv d50.930.14840.3343.1mmmvMac欧拉模型法（欧拉模型法（2）根据以上计算，原型和模型中流动均进入自动模化区，且马赫数小于0.3 属不可压缩流动范围。在流动进入自动模化区后，雷诺数不相等也能保持两流动相似。此时只要保证两流动的

32、欧拉准则相等即可。24416mpvppPaC C4221.26110mpLvFFNC C C322030mpLvMMNmC C C根据欧拉准则根据欧拉准则根据力的比例关系根据力矩的比例关系5.5 5.5 量纲分析量纲分析 量纲分析法是依据物理方程量纲一致性原则(量纲齐次性原理）对一些机理尚不清楚地物理现象从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数，并借助试验找出这些相似准则数之间的函数关系，即准则方程。准则方程就是无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。根据相似原理，可以将准则方程式直接应用到原型及其它相似流动中去。用量纲分析法，结合试验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动的流动

33、规律，而且找出的流动规律还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是与相似原理密切相关的另一种通过实验探索流动规律的重要方法。常用的量纲分析法有瑞利法和常用的量纲分析法有瑞利法和 定理。定理。基本量和导出量 对应于基本单位和导出单位的物理量，分别称为基本量 和导出量（速度、力等物理量）。基本单位 相互独立的单位称为基本单位。力学中通常用长度 、时间 、质量 作为基本单位。5.5 5.5 量纲分析量纲分析物理量物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理量是用数值和单位表示的。2kgm/s-F 力的单位)cm(、m)gkg(、1 1、物理量纲和量纲、物理量纲和量纲 s/cms/mV或速度的单位)

34、s(、hr导出单位 由基本单位组成的单位称为导出单位。)mtl(、基本量选取不是固定的，只要三个物理量的单位相互独立即可基本量纲基本量纲 通常取 表示长度、表示时间和 表示质量的量纲为基本量纲。5.5 5.5 量纲分析量纲分析 TMLA 量纲量纲 不考虑物理量单位中的基本单位的大小，而只用其单位的种类性质的符 号及其组成方式的表达式，称为量纲或量纲式，也可称为因次。即量纲不是物理量的单位，只是物理单位组成规律的抽象表示LTM 导出量纲导出量纲 任意物理量的量纲可由基本量纲导出1dim LTv2dim LTa3dim ML2dimMLTF21dimTMLp212dimTMLv量纲相同的物理量具有

35、相同单位的关系，并不代表它们的物理意义和数值相同无量纲量 任意物理量与量纲相同的基本量组合之比称为该物理量的无量纲两或无量纲数，用 表示。5.5 5.5 量纲分析量纲分析2Vpp22lVFF3lmmlVtt1由于基本量选取是随意性的，故物理量的无量纲形式随基本量的选取而不同5.5 5.5 量纲分析量纲分析2、物理方程量纲一致性原则 一切物理过程都可以用物理方程来表示。任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，因此，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。若用方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程化为无量纲方程22222211VpVp量纲分析法就是根据以上物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找

36、出流动过程的相似准则数，并借助试验找出这些相似准则数之间的函数关系，即准则方程。建立起来准则方程式可直接应用到原型及其它相似流动中去。2122112121VVVpp 定理的表述：定理的表述：如果一个物理过程涉及到如果一个物理过程涉及到 个物理量和个物理量和 个基本量，则这个物理过程可以个基本量，则这个物理过程可以用由用由 个物理量组成的个物理量组成的 个无量纲量（相似准则数）的函数关系来描个无量纲量（相似准则数）的函数关系来描述。这些无量纲量用述。这些无量纲量用 表示。表示。5.5 5.5 量纲分析量纲分析3 3、量纲分析法、量纲分析法物理方程：物理方程：无量纲物理方程：无量纲物理方程：nrn

37、rn(1,2,)iinr0,21 naaaF12,0n rF 准则方程准则方程5.5 5.5 量纲分析量纲分析1xyzpd v 2xyzd v 3xyzld v 0,vdlpF例题：试用 定理导出不可压缩粘性流体在粗糙管内作定常流动时，沿管道的压强降 与管道长度 、内径 、绝对粗糙度 、平均流速 、流体密度 和动力粘度 的关系。4xyzd v pldv现取 为基本物理量，可以组成 个无量纲 项、vd4375.5 5.5 量纲分析（量纲分析（1010）1xyzpd v zyxMLLTLTML31212xyzd v zyxMLLTLTML31113xyzld v zyxMLLTLL314xyzd

38、vzyx31y 2z1zyx31y1z1zyx31y0z012pEuv 21Revd3ld4d:L:T:M:L:T:M:M:T:L5.5 5.5 量纲分析（量纲分析（1111）ddlvdfvp,22Re,2vdldfp12pEuv 21Revd3ld4d22vdlpgvdlhgpf220,21 ddlvdvpF5.5 5.5 量纲分析量纲分析应用量纲分析法探索流动规律时，应该注意：应用量纲分析法探索流动规律时，应该注意：1 1、必须清楚知道流动过程所包含的全部物理量，不应缺少其、必须清楚知道流动过程所包含的全部物理量，不应缺少其 中任何一个，否则会得到不全面的，甚至是错误的结果。中任何一个，否

39、则会得到不全面的，甚至是错误的结果。2 2、在表征流动过程的函数关系式中存在无量纲常数时，量纲、在表征流动过程的函数关系式中存在无量纲常数时，量纲 分析法不能给出它们的具体数值，只能由试验来确定。分析法不能给出它们的具体数值，只能由试验来确定。3 3、量纲分析法不能区别量纲相同而意义不同的物理量。、量纲分析法不能区别量纲相同而意义不同的物理量。量纲分析例题量纲分析例题 通过气轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为 ，它与旋转速度 ，叶轮直径 ，空气密度 ，声速 有关，试证明气轮机噪声功率满足PDccDfDP52解：解：根据题意可写出根据题意可写出0,cDPf现取现取 为基本物理量，可以组成为基本物理量，可以组成 个无量纲个无量纲 项项 ,D1xyzPD 2xyzcD 235 zyxLLMTTML332/1/:M:L:Ty1zy 32x33x1y5z135PD 量纲分析例题量纲分析例题2xyzcD zyxLLMTTL312cD DcfDP53cDfDP53:M:L:Ty0zy 31x10y1z1x0,531DcDPF