2021年云南省高考数学第一次（一模）检测试卷（理科）【含答案】

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1、2021年云南省高考数学第一次检测试卷（理科）（一模）一、选择题（每题5分）.1已知集合Sx|x2，Tx|x2x，则ST（）Ax|x2Bx|x1Cx|1x0Dx|2x12已知i为虚数单位若z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知P（3，4）是角的终边上的点，则tan（）ABCD4已知实数x，y满足约束条件，则z3x+y+的最大值等于（）ABC2D35执行如图所示的程序框图，则输出的n（）A2B3C4D56一个正三棱柱的三视图如图所示（正视图由两个全等的矩形组成，侧视图是一边长为4的矩形，俯视图是正三角形）若这个正三棱柱的表面积为136，则它的侧视图的

2、面积为（）A52B53CD367已知向量（，1），（，4），则（）A（）B（）C（）（+）D（）（+）8甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A、B两种类型的机器各一台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A、B两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（）A2种B4种C6种D8种9已知M的圆心在曲线y（x0）上，且M与直线2x+y+10相切，则M的面积的最小值为（）AB4C5D910三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，ACBC，AC2，BC4若三棱锥PABC的体积的最大值为，则

3、球O的体积为（）AB33CD3611已知双曲线M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，点P（，1）在双曲线M的一条渐近线上若以双曲线M的实轴为直径作圆，该圆经过点P，则双曲线M的方程为（）A1B1C1D112ABC的三内角A，B，C对的边分别为a，b，c若3asinA+3bsinB+4asinB3csinC，则cosAcosBsinAsinB（）ABCD二、填空题（共4小题）.13（x4x6）10的展开式中常数项是 （用数字作答）14某学校为了解该校400名学生的百米成绩（单位：秒），从这400名学生中随机选取了50名进行调查，把他们的百米成绩分成13，14），14，15），15，16），16，17

4、），17，18），18，19，共6个组，绘制成如图所示的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图，估算该校这400名学生百米成绩在14，16）（单位：秒）的人数大约是 人15已知抛物线M：y216x的焦点为F，P为抛物线M上一点若|PF|5，则P点的坐标为 16已知e是自然对数的底数，当x（0，+）时，关于x的不等式x3eax0的解集非空，则实数a的取值范围为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共60分。17某社区管委会积极响应正在开展的“创文活动”，特制订了饲养宠物

5、的管理规定为了解社区住户对这个规定的态度（赞同与不赞同），工作人员随机调查了社区220户住户，将他们的态度和家里是否有宠物的情况进行了统计，得到如下22列联表（单位：户）：赞同规定住户不赞同规定住户合计家里有宠物住户7040110家里没有宠物住户9020110合计16060220同时，工作人员还从上述调查的不赞同管理规定的住户中，用分层抽样的方法按家里有宠物、家里没有宠物抽取了18户组成样本T，进一步研究完善饲养宠物的管理规定（1）根据上述列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有宠物有关系”？（2）工作人员在样本T中随机抽取6户住户

6、进行访谈，求这6户住户中，至少有1户家里没有宠物的概率P（结果用数字表示）附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.0100.001k02.7066.63510.82818已知数列an的前n项和为Sn，an22Sn（1）求数列an的通项公式；（2）用x表示不小于实数x的最小整数，例如6.86，00，1.52设bnlog3an，求数列bn的前n项和Tn19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，DEPC，垂足为E，EFPB，垂足为F（1）求证：PB平面EFD；（2）若PDDCDA，求二面角FDEB的正弦值20已知e是自然对数的底数，函数f（x）ex+sin

7、x2x的导函数为g（x）（1）求曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）若对任意x，0，都有xg（x）x2+m，求实数m的取值范围21已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的动直线与椭圆C交于P、M两点，直线PF2与椭圆C交于P、N两点，且，当F1PF2的面积最大时，MPN为等边三角形（1）求椭圆C的离心率；（2）若b，直线x+y1与椭圆C是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选-题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程(10分

8、)22在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为4cos，点B是曲线C2上的点，且点B的极坐标为（1，0），10（1）直接写出点B的直角坐标，曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若点A是曲线C1上的点，求AOB的面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，a+b2（1）求证：+2；（2）若不等式|2x+1|2x3|ab对满足已知条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Sx|x2，Tx|x2x，则ST（）Ax|x2Bx|x1Cx|1x0Dx|2

9、x1解：Sx|x2，Tx|1x0，STx|1x0故选：C2已知i为虚数单位若z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：z，故复数z在复平面内对应的点的坐标为，故在第四象限故选：D3已知P（3，4）是角的终边上的点，则tan（）ABCD解：P（3，4）为角终边上的一点，x3，y4，tan故选：C4已知实数x，y满足约束条件，则z3x+y+的最大值等于（）ABC2D3解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A，由z3x+y+，得y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故选：D5执行如图所示的程序框图，则输出的n（）

10、A2B3C4D5解：模拟程序的运行，可得：n1，S0，第1次执行循环体，n2，S4，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，n3，S29，满足退出循环的条件；故输出n值为3故选：B6一个正三棱柱的三视图如图所示（正视图由两个全等的矩形组成，侧视图是一边长为4的矩形，俯视图是正三角形）若这个正三棱柱的表面积为136，则它的侧视图的面积为（）A52B53CD36解：根据几何体的三视图可知该几何体为底面为等边三角形，高为h的直三棱柱体；直观图如图所示：设等边三角形的边长为a，根据，解得a8故，解得h，则故选：A7已知向量（，1），（，4），则（）A（）B（）C（）（+）D（）（+）解：向量（，1）

11、，（，4），（ 2，3），故 和（）不共线，故A 错误；（）2+1（3）0，故（），故B正确；（+）（1，5），故 和+不平行，故C错误；（）（+）21+（3）50，故（）和（+）不垂直，故D错误，故选：B8甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A、B两种类型的机器各一台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A、B两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（）A2种B4种C6种D8种解：根据题意，从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人，分2种情况讨论：甲没有被选中，即乙、丙入选，有A22

12、2种安排方法，甲被选中，甲只会操作A种类型的机器，需要在乙、丙再选出1人，来操作B种类型的机器，有2种选法，则有2+24种不同的选法；故选：B9已知M的圆心在曲线y（x0）上，且M与直线2x+y+10相切，则M的面积的最小值为（）AB4C5D9解：设圆心为（a，）（a0），则r，当且仅当2a，即a1时取等号，M的面积的最小值为故选：C10三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，ACBC，AC2，BC4若三棱锥PABC的体积的最大值为，则球O的体积为（）AB33CD36解：因为ACBC，且AC2，BC4，所以，过AB的中点M作平面ABC的垂线MN，则球心O在直线MN上，设OMh，球O的半径为r，则

13、棱锥的高的最大值为r+h，所以，解得r+h5，在RtOAM中，OA2OM2+AM2，则，由解得r3，h2，所以球O的体积为故选：D11已知双曲线M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，点P（，1）在双曲线M的一条渐近线上若以双曲线M的实轴为直径作圆，该圆经过点P，则双曲线M的方程为（）A1B1C1D1解：由题意可设双曲线的方程：1；由题意可得，即a，圆的方程为：x2+y2a2，P在圆上，所以（）2+12a2，所以a23，b2，所以双曲线的方程为：1，故选：A12ABC的三内角A，B，C对的边分别为a，b，c若3asinA+3bsinB+4asinB3csinC，则cosAcosBsinAsinB（）

14、ABCD解：因为：3asinA+3bsinB+4asinB3csinC，所以：3a2+3b2+4ab3c2，可得a2+b2c2ab，由余弦定理可得cosC，则cosAcosBsinAsinBcos（A+B）cos（C）cosC故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（x4x6）10的展开式中常数项是210（用数字作答）解：（x4x6）10的展开式中，通项公式为Tr+1（x4）10r（x6）r（1）rx4010r，令4010r0，解得r4，所以常数项是T5（1）4210故21014某学校为了解该校400名学生的百米成绩（单位：秒），从这400名学生中随机选取了50名进行调查，

15、把他们的百米成绩分成13，14），14，15），15，16），16，17），17，18），18，19，共6个组，绘制成如图所示的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图，估算该校这400名学生百米成绩在14，16）（单位：秒）的人数大约是216人解：根据样本的频率分布直方图，得：该校这400名学生百米成绩在14，16）（单位：秒）的频率为：0.18+0.360.54，估算该校这400名学生百米成绩在14，16）（单位：秒）的人数大约是：0.54400216（人）故21615已知抛物线M：y216x的焦点为F，P为抛物线M上一点若|PF|5，则P点的坐标为（1，4）解：抛物线y216x2px，p8

16、，准线方程为x4，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，|PF|x+45，x1，所以P点的坐标为（1，4）故（1，4）16已知e是自然对数的底数，当x（0，+）时，关于x的不等式x3eax0的解集非空，则实数a的取值范围为解：当x（0，+）时，不等式x3eax0的解集非空，等价于当x（0，+）时，不等式x3eax0有解，即x3eax有解，两边同时取自然对数可得，lnx3lneax，即在（0，+）上有解，令，则，当xe时，f（x）0，故函数f（x）单调递减，当0xe时，f（x）0，故f（x）单调递增，所以当xe时，f（x）取得最大值为f（e），故，所以实数a的取值范

17、围为故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共60分。17某社区管委会积极响应正在开展的“创文活动”，特制订了饲养宠物的管理规定为了解社区住户对这个规定的态度（赞同与不赞同），工作人员随机调查了社区220户住户，将他们的态度和家里是否有宠物的情况进行了统计，得到如下22列联表（单位：户）：赞同规定住户不赞同规定住户合计家里有宠物住户7040110家里没有宠物住户9020110合计16060220同时，工作人员还从上述调查的不赞同管理规定的住户中，用分层抽样的方法按家里有

18、宠物、家里没有宠物抽取了18户组成样本T，进一步研究完善饲养宠物的管理规定（1）根据上述列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有宠物有关系”？（2）工作人员在样本T中随机抽取6户住户进行访谈，求这6户住户中，至少有1户家里没有宠物的概率P（结果用数字表示）附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.0100.001k02.7066.63510.828解：（1）根据列联表知：9.16710.828，不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有宠物有关系”（2）由分层抽样可知

19、，样本T中家里有宠物的有12户，家里没有宠物的有6户，记抽取的6户中，有x户家里没有宠物，所以x0，1，2，3，4，5，6，设事件A表示“至少有1户家里没有宠物”，所以P（A）1P（x0）118已知数列an的前n项和为Sn，an22Sn（1）求数列an的通项公式；（2）用x表示不小于实数x的最小整数，例如6.86，00，1.52设bnlog3an，求数列bn的前n项和Tn解：（1）an22Sn，当n2时，有an122Sn1，两式相减得：anan12an，即anan1，n2，又当n1时，有a122S1，解得：a1，数列an是首项为，公比为的等比数列，an（）n1；（2）由（1）可得：log3an

20、log3nlog32，bnnlog32n，Tn19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，DEPC，垂足为E，EFPB，垂足为F（1）求证：PB平面EFD；（2）若PDDCDA，求二面角FDEB的正弦值（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC，又因为ABCD是矩形，所以BCDC，PDDCD，所以BC平面PDC，又因为DE平面PDC，所以BCDE，又因为DEPC，PCBCC，所以ED平面PBC，因为PB平面PBC，PBED，又因为PBEF，EDEFE，所以PB平面EFD（2）解：因为PD平面ABCD，AD、DC平面ABCD，所以PDAD，PDDC

21、，再由（1）知，DA、DC、DP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DADCDP2，A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），（2，2，0），（0，1，1），设平面DEB的法向量为（x，y，z），令y1，（1，1，1），因为PB平面EFD，所以平面EFD的法向量为（2，2，2），设二面角FDEB的大小为，cos，sin，所以二面角FDEB的正弦值为20已知e是自然对数的底数，函数f（x）ex+sinx2x的导函数为g（x）（1）求曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）若对任意x，0，都有xg（x）x2+m，求实数m的取值范围解

22、：（1）f（x）ex+sinx2x，g（x）f（x）ex+cosx2，g（0）0，曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程为：y10；（2）g（x）f（x）ex+cosx2，对任意x，0，都有xg（x）x2+m，即对任意x，0，都有xex+xcosx2xx2m，0e0+0cos000m成立，即m0，下面证明当m0时，对任意x，0，都有xex+xcosx2xx2x（ex+cosx2x）m，设F（x）ex+cosx2x，则G（x）F（x）exsinx1，设H（x）G（x）excosx，H（x）ex+sinx在，0单调递增，又H（）0，H（0）10，故存在唯一实数x0（，0），使得H（x0）0，故当

23、x，x0）时，H（x）0，当x（x0，0时，H（x）0，故H（x）在，x0）单调递减，在（x0，0单调递增，又H（x）在，x0）单调递减，在（x0，0单调递增，而H（）0，H（0）0，故当x，0时，H（x）G（x）0，故G（x）在，0单调递减，故当x，0时，F（x）G（x）G（0）0，故F（x）在，0单调递增，故当x，0时，F（x）F（0）0，故F（x）0，故x，0时，xF（x）x（ex+cosx2x）0，即xg（x）x20，m的取值范围是（，0，对任意x，0，都有xg（x）x2+m21已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的动直线与椭圆C交于P、M两点，直线PF2与椭

24、圆C交于P、N两点，且，当F1PF2的面积最大时，MPN为等边三角形（1）求椭圆C的离心率；（2）若b，直线x+y1与椭圆C是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由解：（1）S|F1F2|yP|F1F2|b2cbbc，即P点为短轴的顶点时F1PF2的面积最大，当M，N关于y轴对称，因为MPN 为等边三角形，所以F1PO30，所以tanF1PO，所以，b2a2c2，即e；（2）由（1）得e，可得ca，ba，所以椭圆的方程为：+1；F1（，0），F2（，0），设P（x0，y0），则+1，设M（xM，yM），因为，即（x0，y0）（xM+，yM），所以xM，yM，因为M在椭圆上，所以+

25、1+1，因为+1+1+1，代入+1+1+1，又因为x+y1，所以x+y1，整理可得：a（5x+5y3）+4x0（xy）0，所以直线恒过的交点，即xy，所以直线恒过定点由b，所以a，即a，所以a2，所以椭圆的方程x2+y2a2，将点代入+，所以点在椭圆内部，所以直线直线x+y1与椭圆C有两个公共点选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选-题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方

26、程为4cos，点B是曲线C2上的点，且点B的极坐标为（1，0），10（1）直接写出点B的直角坐标，曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若点A是曲线C1上的点，求AOB的面积的最大值解：（1）曲线C1的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；曲线C2的极坐标方程为4cos，整理得24cos，根据转换为普通方程为（x2）2+y24所以点B的直角坐标为（4，0）（2）由于点A在椭圆上，点B在圆上，且B（4，0），所以当点A在椭圆与y轴的交点位置时，即A（0，2）或A（0，2）时，选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，a+b2（1）求证：+2；（2）若不等式|2x+1|2x3|ab

27、对满足已知条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围（1）证明：因为a0，b0，a+b2，所以（+）2（a+b）+2+22+2+24+24+a+b+28，当且仅当，即a1，b1时等号成立，所以+（2）解：因为a0，b0，a+b2，所以ab（）2（）21，当且仅当ab1时取等号，所以ab的最大值为1，所以不等式|2x+1|2x3|ab对满足已知条件的所有a、b都成立，等价于|2x+1|2x3|1成立，当x时，不等式化为2x1（32x）1，化简得41，不成立，所以不等式无解；当x时，不等式化为2x+1（32x）1，解得x，所以x；当x时，不等式化为2x+1（2x3）1，化简得41，恒成立，所以x，所以|2x+1|2x3|1的解集为，+）综上，实数x的取值范围是，+）