控制系模型及基本定义

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1、控制系统模型及基本定义控制系统模型控制系统模型数学模型数学模型 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。到预期的效果，从而符合工程实际的需要。数学模型是描述元素之间、子系统之间、

2、层次之间相互作用数学模型是描述元素之间、子系统之间、层次之间相互作用以及系统与环境相互作用的数学表达式。以及系统与环境相互作用的数学表达式。原则上讲，现代数学所提供的一切数学表达形式，包括几何原则上讲，现代数学所提供的一切数学表达形式，包括几何图形、代数结构等，均可以作为一定系统的数学模型。图形、代数结构等，均可以作为一定系统的数学模型。数学模型数学模型 列写系统运动方程的步骤列写系统运动方程的步骤:确定系统的输入量和输出量；确定系统的输入量和输出量；根据物理定律或化学定律（机理），依此列写各元根据物理定律或化学定律（机理），依此列写各元件的运动方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，件的运动方

3、程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；适当简化；消去中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式。消去中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式。两个简单的例子两个简单的例子由质量、弹簧和空气阻尼器组成的运动系统由质量、弹簧和空气阻尼器组成的运动系统)(22tFkxdtdxgdtxdm两个简单的例子两个简单的例子RLC串联电路串联电路)(222tUudtduRCdtudLCccc系统的两种数学描述系统的两种数学描述 方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，分别用输入，系统对环境的作用为系统输出，分别用u

4、1,u2,up和和y1,y2,yq表示，称为系统的外部变量。系统的内部变量用表示，称为系统的外部变量。系统的内部变量用x1,x2,xn表示，用以刻划系统在每个时刻所处状况表示，用以刻划系统在每个时刻所处状况。系统的数系统的数学描述就是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学学描述就是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。模型。x1,x2,xnu1u2upy1y2yq 系统的方块图表示系统的方块图表示系统的两种数学描述系统的两种数学描述 系统的外部描述系统的外部描述 又称输入输出描述，是将系统看成一个又称输入输出描述，是将系统看成一个“黑箱黑箱”，不去表，不去表征系统的内部结构和内部

5、变量，只是反映外部变量组间的因征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量组间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。例如对于对于单输入果关系，即输出和输入间的因果关系。例如对于对于单输入单输出线性系统，可用以下微分方程描述单输出线性系统，可用以下微分方程描述:ubdtdubdtudbdtudbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn011)1(1)(011)1(1)(01110111.)(asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm用传递函数可表示为用传递函数可表示为:)()()(susGsy系统的两种数学描述系统的两种数学描述 系统的内部描述系统的内部描述 又称状态空间

6、描述，是基于系统的内部结构分析的一类数学又称状态空间描述，是基于系统的内部结构分析的一类数学模型，由两个数学方程组成。一个是反映系统内部变量组模型，由两个数学方程组成。一个是反映系统内部变量组x1,x2,xn和输入变量组和输入变量组u1,u2,up间因果关系的数学表达式，常间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一个是具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一个是表征系统内部变量组表征系统内部变量组x1,x2,xn及输入变量组及输入变量组u1,u2,up和输出和输出变量组间变量组间y1,y2,yq间转换关系的数学表达式，具有代数方程间转换关系的数学表达式，

7、具有代数方程的形式，称为输出方程。由状态变量构成的列向量的形式，称为输出方程。由状态变量构成的列向量:021 ,)()()(tttxtxtx称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。向量取值的一个向量空间。系统的两种数学描述系统的两种数学描述 外部描述是对系统的一种不完全描述，它不能反映黑箱内外部描述是对系统的一种不完全描述，它不能反映黑箱内部的特性，系统输出的变化是由输入引起的；内部描述则是部的特性，系统输出的变化是由输入引起的；内部描述则是系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的一切动力学特系统的一种完全

8、的描述，它能完全表征系统的一切动力学特性，它把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：性，它把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入共同决定了输出的输入引起系统状态的变化，而状态和输入共同决定了输出的变化。变化。系统的分类系统的分类 线性系统和非线性系统；线性系统和非线性系统；时变系统和时不变系统；时变系统和时不变系统；连续系统和离散系统；连续系统和离散系统；确定性系统和随机系统；确定性系统和随机系统；系统按其状态空间描述可分为以下几类：系统按其状态空间描述可分为以下几类：),(),(tuxgytuxfx 线性系统线性系统线性系统必须满足下列两个条

9、件：线性系统必须满足下列两个条件：a、齐次性、齐次性线性系统线性系统线性系统x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)ax1(t)ay1(t)若若 x1(t)y1(t)则则 ax1(t)ay1(t)b、迭加性、迭加性线性系统x1(t)y1(t)线性系统x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)若若 x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)则则 x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)线性系统的齐次性与叠加行可以统一地表示为：线性系统的齐次性与叠加行可以统一地表示为：a1x1(t)+a2x2(t)a1y1(t)+a2y2(t)非线性系统非线性系统 不满足线性条件中的任一条，或者说，在一自动控

10、制装置不满足线性条件中的任一条，或者说，在一自动控制装置中只要包含由非线性的环节（元件或部件）时，就是非线性系中只要包含由非线性的环节（元件或部件）时，就是非线性系统。统。几乎所有系统都是非线性系统。线性系统是非线性系统的几乎所有系统都是非线性系统。线性系统是非线性系统的一种粗略的简化模型。但是相当多的实际系统都可按线性系统一种粗略的简化模型。但是相当多的实际系统都可按线性系统处理，其分析结果在足够的精度下接近于系统的实际运动状态。处理，其分析结果在足够的精度下接近于系统的实际运动状态。而对非线性项不能忽略的系统，只能作为非线性系统来处理。而对非线性项不能忽略的系统，只能作为非线性系统来处理。

11、对非线性方程的求解，至今没有普遍有效的数学工具与方法。对非线性方程的求解，至今没有普遍有效的数学工具与方法。实例分析：登月舱的软着陆实例分析：登月舱的软着陆定义状态变量为定义状态变量为x1=y,x2=dy/dt,x3=m，控制为，控制为u=dm/dt，则系统，则系统的状态空间方程为的状态空间方程为uxguxkxxx33221ymg推进力推进力kdm/dt舱体舱体月球表面月球表面频域模型频域模型)()()(tKutydttdyTuy1TsK串联系统传递函数串联系统传递函数 结论：串联系统的传递函数等于各环节传递函数之积。结论：串联系统的传递函数等于各环节传递函数之积。G1(s)G2(s)G2(s

12、)G1(s)uuyy并联系统传递函数并联系统传递函数G1(s)G2(s)yG1(s)+G2(s)结论：并联系统的传递函数等于各环节传递函数之和。结论：并联系统的传递函数等于各环节传递函数之和。yuu反馈系统传递函数反馈系统传递函数usKsGsGy)()(1)(-G(s)K(s)uy前馈通道：由偏差信号至输出信号的通道；前馈通道：由偏差信号至输出信号的通道；反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。反馈系统传递函数反馈系统传递函数usKsGsGy)()(1)(+G(s)K(s)uy结论：结论：当为正反馈时当为正反馈时 反馈通道传函反馈通道传函前馈通道传函前馈通道

13、传函前馈通道传函前馈通道传函闭环传函闭环传函1时域模型时域模型 x代表状态，代表状态，u代表输入，代表输入，y代表输出，代表输出，A、B、C分分别为维数相容的矩阵别为维数相容的矩阵 从从u到到y的传递函数为的传递函数为DuCxyBuAxxDBAsICsG1)()(状态方程状态方程输出方程输出方程两类模型之间的转化两类模型之间的转化等价于等价于01110111.)(asasasbsbsbsGnnnnncxybuAxx1210.1.000.0.1000.010naaaaA1000b110.nbbbc)(222tUudtduRCdtudLCccc引入两个状态变量：引入两个状态变量：,21dtduxu

14、xcc)(1 12221tULCxxLRxxx则则设设)(1 12221tULCxxLRxxx1 0,10 ,11 0,21CLCBLRAxxx即即)(10 11 0 2121tULCxxLRxx输出变量：输出变量：1xuyc则则则状态方程为则状态方程为BUAxx输出方程为输出方程为Cxy 如如RLC电路：电路：Axx 给定系统状态方程给定系统状态方程系统的系统的特征值特征值定义为如下特征方程定义为如下特征方程0)det(AI的根。则系统渐近稳定的充分必要条件是其特征值全部的根。则系统渐近稳定的充分必要条件是其特征值全部落在左半平面。落在左半平面。能控性与能观性能控性与能观性 对于一个控制系统

15、来说，如果我们已知其状态方程对于一个控制系统来说，如果我们已知其状态方程和输出方程，那么就会产生这样的问题：在对输出经过和输出方程，那么就会产生这样的问题：在对输出经过一段适当时间的观测之后，能否据此得知系统的状态？一段适当时间的观测之后，能否据此得知系统的状态？这是能观测性问题。其次，如果我们知道了系统的状态，这是能观测性问题。其次，如果我们知道了系统的状态，那么，当我们加入适当的输入之后，这个系统能不能达那么，当我们加入适当的输入之后，这个系统能不能达到我们所预期的状态？这是能控性问题。到我们所预期的状态？这是能控性问题。x1x2y1ux1x2y1uy2不能观测的系统不能观测的系统不能控制

16、的系统不能控制的系统能控性能控性 对于系统对于系统 的一个初始状态的一个初始状态x(0)=x0 0，如果存在如果存在一个时刻一个时刻t10和一个允许控制和一个允许控制u(t)，t 0,t1使得状态使得状态x0转移转移到到 t1时时x(t1)=0，则称状态，则称状态x0是能控的。是能控的。如果该系统的任意非零状态均可控，则称该系统是完全能控如果该系统的任意非零状态均可控，则称该系统是完全能控的。的。BuAxx能能控控性性表表明明存存在在输输入入在在有有限限时时间间内内将将状状态态引引导导至至零。零。能控性的几点说明能控性的几点说明 定义中只要求在可找到的输入定义中只要求在可找到的输入u的作用下，

17、使非零状态的作用下，使非零状态x0在在有限时间内转移到坐标原点，而对于状态转移的轨迹并不加有限时间内转移到坐标原点，而对于状态转移的轨迹并不加以限制和规定；以限制和规定；上述定义规定由非零状态转移到零状态，如果将其变更为由上述定义规定由非零状态转移到零状态，如果将其变更为由零状态达到非零状态，则称状态能达。对于连续的线性定常零状态达到非零状态，则称状态能达。对于连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的；系统，能控性和能达性是等价的；系统为不完全能控的情况是一种系统为不完全能控的情况是一种“奇异奇异”的情况，系统中组的情况，系统中组成元件的参数值的很小的变动都可使其成为完全能控。所以，成元件的

18、参数值的很小的变动都可使其成为完全能控。所以，对于实际系统，系统为能控的概率几乎等于对于实际系统，系统为能控的概率几乎等于1；能观性能观性 对系统对系统 的一个非零初始状态的一个非零初始状态x0，如果存，如果存在一个有限时刻在一个有限时刻t1使得对所有的使得对所有的t 0,t1都有都有y(t)0，则称状，则称状态态x0是不能观测的。是不能观测的。如果该系统的所有非零初始状态都不是不能观测的，则称该如果该系统的所有非零初始状态都不是不能观测的，则称该系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。CxyBuAxx,能能观观性性表表明明由由任任何何有有限限时时间间区区间间上上的的输输出出信信息息可可唯唯一

19、一确确定定系系统统的的初初始始状状态态x0。实例分析：不能控和不能观测的电路实例分析：不能控和不能观测的电路RRRRCx+-u(t)+-y系统的状态变量为电容端电压系统的状态变量为电容端电压x，输入为电压源，输入为电压源u(t)，输出为电，输出为电压压y。能控性和能观性的代数判据能控性和能观性的代数判据 系统系统 完全能控当且仅当完全能控当且仅当的秩为的秩为n。该系统完全能观当且仅当该系统完全能观当且仅当 的秩为的秩为n。CxyBuAxxnmmnnnRCRBRA,BABAABBQnc12120nCACACACQ例子例子判断双输入系统的能控性判断双输入系统的能控性 其能控性矩阵是其能控性矩阵是u

20、xx0 20 09 17 1 26 4 13 2 1*16 0 2*13 0 0*7 9 1 2ABABBQc可知可知rankQc=3，因此系统能控。，因此系统能控。1.没有闭卷考试。没有闭卷考试。2.采用口头报告的形式，以采用口头报告的形式，以 PowerPoint 形式在课堂上汇报，每人形式在课堂上汇报，每人15分分钟。钟。3.报告内容为运用在本课上所学的理论和方法，全面介绍问题分析、报告内容为运用在本课上所学的理论和方法，全面介绍问题分析、解决方案和结果，并尽可能利用计算机进行仿真。鼓励同学结合自解决方案和结果，并尽可能利用计算机进行仿真。鼓励同学结合自己的专业或兴趣，自己查找资料和寻找

21、题目。己的专业或兴趣，自己查找资料和寻找题目。4.本课程设立的目的是为了培养学生对具体问题的分析研究能力。希本课程设立的目的是为了培养学生对具体问题的分析研究能力。希望各位同学深入分析研究问题的本质，灵活运用系统与控制课程中望各位同学深入分析研究问题的本质，灵活运用系统与控制课程中介绍的概念、思想和方法，以及其它任何相关的方法，提出解决方介绍的概念、思想和方法，以及其它任何相关的方法，提出解决方案和结果。案和结果。5.每位同学可根据情况，提出在课程期间做补充进展报告，展示某方每位同学可根据情况，提出在课程期间做补充进展报告，展示某方面的具体结果。面的具体结果。6.报告分数占总分数的报告分数占总分数的40%。7.请各位同学认真对待，这是一次难得的锻炼自己展示自己研究能力请各位同学认真对待，这是一次难得的锻炼自己展示自己研究能力的机会。的机会。考试要求：考试要求：