线段的垂直平分线和角平分线的复习吴村二中.ppt

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1、线段垂直平分线与角平分线复习,吴村二中 2016.12,请你来帮忙,如图,在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？,线段垂直平分线与角平分线复习,线段垂直平分线 角平分线,判定,尺规作图,定义,性质,三角形三边垂直平分线和角平分线的性质,线段垂直平分线与角平分线复习,你还记得吗？,逆定理,性质定理,文字语言：,文字语言：,线段垂直平分线上 的点到这条线段两 个端点距离相等.,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平

2、分线上.,符号语言：,符号语言：,MNAB,AC=BC, P是MN上任意一点 PA=PB,PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上,证明两条线段相等的根据之一.,温馨提示:,证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一.,线段垂直平分线与角平分线复习,线段的垂直平分线,三角形三条边的 垂直平分线相交于一 点,并且这一点到三个 顶点的距离相等。,如图,在ABC中, 直线c,a,b分别是AB, BC,AC的垂直平分线 直线c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC,三条边的垂直平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,线段的垂直平分线,性质定理,逆定理,证明线段相等,线段垂直平分线与角平

3、分线复习,关于三角形三边垂直平分线的定理,三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.,逆定理,性质定理,文字语言：,文字语言：,角的平分线上的 点到角的两边的 距离相等.,符号语言：,符号语言：,证明两条线段

4、相等的根据之一.,证明一个点是否在角平分线上， 从而推出两个角相等.,线段垂直平分线与角平分线复习,在一个角的内部，且到角的 两边距离相等的点，在这个 角的平分线上., PD=PE PDOA , PEOB 点P 在AOB 的平分线上,角平分线,温馨提示:, OP 是AOB 的平分线 PDOA , PEOB PD=PE,三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.,三个内角平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,角平分线,性质定理,逆定理,证明线段相等,线段垂直平分线与角平分线复习,ABC的角平分线BM、CN相交于点P，PDAB, PEBC, PFAC，垂足分别是E、D、F

5、. PD=PE=PF,知识运用,练习 下列过程是否正确？,A,B,O,P,E,D,点P在AOB的平分线上., PD=PE,（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.,错误.,AB=AC，,APBC. （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.,P,错误.,过一个点不能确定一条直线.,【例1】：如图，在ABC中， BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求AFH的周长。,12,60,线段垂直平分线与角平分线复习,例2如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm

6、，则AC的长等于（） A6cm B8cmC10cmD12cm,B,C,E,A,已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是,如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，,那么EBC是,B,C,E,A,已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平

7、分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是,如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，,那么EBC是,B,C,E,A,已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是,如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，,那么EBC是,B,C,E,A,已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D

8、，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是,如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，,那么EBC是,3、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 4、 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是 _ 5、如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度， 那么E

9、BC是_,6.如图所示，在RtABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于D，CADDAB=12，则B= .,36,7.(2004四川)如图，已知点C是AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ; PC=PC ;PP OC,或或,8.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A1处 B.2处 C.3处 D. 4处,D,图4-4-3,9、(2004河北省)如图是一

10、个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋,B,知识运用,例题1 已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？,（3）能得到什么结论?,（4）用什么定理来证明结论?,（2）缺少了什么?怎么办？,G,角平分线上的点到另一边的垂线段.,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造角平分线的基本图形.,【例1】已

11、知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA， PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,证明：过点P作PGAB，垂足为点G .,G,AP平分BAD,PEAD(已知)，,PGAB(已作) ，,PEPG（角平分线上的点到角两边 的距离相等）,同理：PGPF.,PEPF(等量代换).,点P在EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）.,线段垂直平分线与角平分线复习,【例2】已知：如图，AP、BP分别平分DAB和CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上.,（1）若把上图中的D

12、A、CB延长相交于点O，点P还落 在什么特殊的位置上？为什么？,G,G,由角平分线的逆定理可得点P在BOA的角平分线上.,（2）OEOF吗？为什么？,全等三角形的对应边相等.,线段垂直平分线与角平分线复习,知识运用,例题3 已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？,（2）怎样来理解这个条件?,求证：ADEC.,（3）怎样来证明结论?,1,2,点N在AC的垂直平分线上.,怎样来利用这个条件?,添加辅助线.,添辅助线的目的是什么？,构造垂直平分线的基本图形.,同时构造了全等

13、三角形.,H.L,知识运用,例题3 已知：ABC中，ABC角平分线与AC的垂直平分线交于 点N，NDAB，NEBC，点D、E分别为垂足.,证明：联结AN、CN.,求证：ADEC.,BN平分ABC，,DNAB, ENBC（已知），,NDNE（角平分线上的点到角两边的距离相等），,且1=2=90（垂直的定义） .,1,2,点N在AC的垂直平分线(已知) ，,NANC（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 ）.,在RtADN和RtCEN中，,DNEN (已证)，,ANNC (已证).,RtAND RtCEN（H.L）,ADEC(全等三角形对应边相等).,垂直平分线 -点向两端连线段

14、,当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的 基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.,线段垂直平分线与角平分线复习,角平分线 - 点向两边作垂线段,1.全等运用的干扰 角平分线定理及垂直平分线的性质定理都是不用全等， 而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证 一遍. 2.证线段的垂直平分线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是 这条线段的垂直平分线，实际上由直线公理：“两点确定一条直线”，还要再找出一个这样的点.共需两点,方法小结：,1.下列命题中正确的命题有（ ） 线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等； 线段上任一点到垂

15、直平分线两端距离相等； 经过线段中点的直线只有一条； 点P在线段AB外且PA=PB，过P的直线MN是线段AB的中垂线； 过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个B.2个C.3个D.4个,A,线段垂直平分线与角平分线复习,2.如图，PCOA于点C，PDOB于点D， 12，下列结论不正确的是（ ） A.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODOP,D,3.如图所示，点P是CAB的平分线AD 上一点，PEAC于点E，已知PE5cm， 则点P到AB的距离是_.,5cm,F,4已知：如图，AOP=BOP=150， PC/OA，PDOA于点D，如果PC=4， 则PD=_.,2,E,

16、线段垂直平分线与角平分线复习,5.已知：如图，在等边ABC中，C、B的平分线交于点I， BI、CI的垂直平分线与BC相交于E、F点. 求证：BEEFFC,A,B,C,I,E,F,线段垂直平分线与角平分线复习,（6）已知：如图，在ABD和ACE，AEAB，ADAC, EAB=DAC，BD和EC交于点O. 求证：AO平分EOD.,7、已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC, A+C=180, BCBA. 求证：点D在线段AC的垂直平分线上.,已知：如图，在ABC中，D为BC的中点， DEBC，交BAC的平分线AE于E，EFAB 于点F，EGAC交AC的延长线于点G. 求证：BF=CG.,分享收获.,请同学们谈谈自己的收获吧！,线段垂直平分线与角平分线复习,