数学建模论文制动器试验台的控制方法分析数学模型

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1、制动器试验台的控制方法分析数学模型摘要本问题是一个控制分析问题，通过对各种控制方法进行分析评价，得出优化的制动器试验台的控制方法模型。第一问：由于研究汽车受力及其运动特性，因此必然要应用力学方法，从理论上对其进行受力分析，抽象出其本质特性，建立数学模型，再用数学方法求解以得到需要的参数数值。第二问：由题意并根据物理学公式和数学组合求出8组机械惯量，从其中选出符合题意的最优解为，并由能量守恒和力矩平衡求出电动机补偿机械惯量缺少的能量，再等效的转化为电动机的惯量为。第三问：根据制动器的转动力矩是否恒定，并由力矩平衡和能量守恒定律，分成两部分求解电动机驱动电流的数学模型且根据一二问求得驱动电流。第四

2、问：通过对非恒定制动力矩时间离散化模型的分析，对各段时间制动器消耗能量积分求和，得出所设计路试时的制动器与相应的试验台上的制动器在制动过程中消耗的能量之差，求得能量误差系数为，从而对该控制方法进行评价。第五问：通过第三步导出的数学模型，再次运用离散化模型的分析，求出优化的能量误差系数，从而使该控制方法比第四问更优。第六问：通过分析第五问控制方法存在的不足，讨论电流受前一个时间段的瞬时转速和瞬时扭矩的双因素影响，得出更有效的电流值的计算机控制方法。本文主要对制动器试验台在进行单轮测试时建立转动定律模型经车轮的受力转化后求出飞轮组的等效转动惯量，利用MATLAB和EXCEL等数学工具箱对瞬时转速和

3、时间进行编程,得到可视化图形。但由于试验台无法完全模拟路试的各种环境，测得数据及所求参数与路测存在误差，有待进一步研究与改进。关键词：能量守恒 力矩平衡 离散化模型分析1 背景分析和问题的提出随着全球经济技术水平的提高，很多机械设施和我们的生活紧密接触。汽车是当今世界最主要的交通工具之一，而汽车运输的安全性、经济性和舒适性是人们所关注的焦点。制动器是车辆等爬行机械和许多固定设备安全的重要工作装置，随着汽车拥有量和汽车平均行驶速度的不断提高，交通事故给人们带来的危害日益严重，研究和改善汽车的制动性能成为汽车设计与开发部门的重要课题。传统的惯性式制动试验系统目前广泛采用机械惯量飞轮来模拟旋转机械装

4、置的惯性。这种方法虽然能较好地再现制动机构的工作状况, 但由于试验中含有一组惯性质量飞轮, 就难以回避系统体积大、安装精度要求高、始终存在模拟级差等问题。汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试，但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制

5、动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。在模拟试验中，飞轮和主轴等机构转动时具有的能量和路试载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）可以相互转化，由飞轮等效的转动惯量和试验台的基础惯量组成机械惯量，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。在已知电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比关系，试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩等题设的条件下，根据评价控制方法优劣的一个重要数量指标能量误差的大小，来评价各控制方法性能的

6、优劣，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。 2问题的假设1）假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎在地面为平动。2）试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，且试验台上仅安装有单轮制动器。3）假设模拟实验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致4）车辆的指定车轮在制动承受载荷时，将这个载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量。5）假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，且其比例系数为K。6）试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。7）汽车在水平

7、面上行驶时的制动受力模型，模型忽略了汽车的滚动阻力偶矩、空气阻 力以及旋转质量减速时产生的惯性力偶矩，忽略了轮胎的变形和悬架的影响， 并始终保证车辆直线行驶。8）我们假设制动过程中满足实验的原则是主轴停止转动或达到某一特定数值下。9）在计算能量误差系数时，不考虑观测误差、随机误差等所产生的误差。3符号说明-车轮的总能量-车轮的质量-车轮的速度-车轮的滚动半径-等效的转动惯量-机械惯量-电动机补充惯量-车轮的角速度-汽车载荷-汽车轮的角加速度-轮胎的法向力-轮胎的地面制动力-地面的附着系数-主轴和飞轮的扭矩-电动机的扭矩-制动器的力矩-主轴的转速-电动机的驱动电流-电动机驱动电流和扭矩的比例系数

8、4 模型的建立模型一 等效转动惯量的制动受力模型半径为r的车轮在路试时受载荷时，对车轮进行受力分析如：由于受车速和滑移率的作用又有假设（1）可知附着系为：由动能定理可知车轮的能量为： 即为： 飞轮和主轴有转动定律知：其中J为飞轮组的转动惯量，为车轮和飞轮组相同的时刻角速度合外力做功后知飞轮组的能量： 把车轮具有的能量等效的转化为飞轮组的能量有： 已知主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，则有： 联立以上各式可得等效惯量： 由，,可得等效的转动惯量为：模型二 电动机补偿能量的相应补偿惯量求解对于空心圆柱的飞轮我们可以将它看做由许多半径不同的同心圆筒组成，因此取一半径为，宽度为的小圆筒，其质量为，其

9、中是圆筒质量面密度，小圆筒的面积。则小圆筒对轴的转动惯量为整个圆筒对轴的转动惯量为：飞轮的体积为：联立可得： 三种飞轮有种组合，则飞轮组合的转动惯量为： 其中为选择的飞轮的单个转动惯量设为基础惯量，则机械惯量为： 设电动机补偿的惯量为，等效的转动惯量，由假设（4）对制动过程应用能量守恒定理可得又由假设（3）可变换上式为：即等效的转动惯量为机械惯量与电动机补偿惯量之和。 得飞轮的单个转动惯量为： 由这三种转动惯量和基础惯量可组成以下8种数值的机械惯量，分别为： 由 和电动机能补偿的能量相应的惯量的范围，可解得电动机能补偿的惯量的2种可能： ， 。因为电动机为耗能的设备，为减少能量的消耗和环境保护

10、等多种因素的考虑，可得电动机补偿的惯量最优应为： 模型三 建立电动机驱动电流依赖于可观测的数学模型（1）考虑制动力矩为恒力矩的情况即系的角速度常数电动机驱动电流参与制动过程中，主轴的扭矩、制动器的力矩和电动机的扭矩相互作用可模拟右图所示，则有：由扭矩平衡方程式：系统的能量守恒有：上式即是： 求积分可得： 简化可得： 又已知： 联立以上各式得：即： （2）考虑制动力矩为变力矩的情况即系统的角速度常数由扭矩平衡方程式：系统的能量守恒有：上式即是： 简化可得：两边同时对求导得：整理可得：又已知：联立以上各式得：当制动减速度为常数时，为恒力矩，由（1）可得：当角速度为常数时，角速度公式为：由题中可知汽

11、车的初速度代入数据后可得：模型四 制动时间离散化模型 因为制动器性能复杂多变，所以我们根据电惯量模拟的基本原理，只要使电惯量系统承受载荷后的动力特性与机械惯量系统的动力特性的一致性，即转速变化一致，就可实现惯量的电模拟。在制动器台架实验的过程中，设制动力矩在时刻开始作用制动器吸收的能量可由下式表示： 式中：是非恒定制动力矩，为惯性飞轮制动过程中的角速度 我们要求制动器吸收的能量只需对上式求积分，但整个制动时间被离散化为许多小时间段，为一段。依据观测到的数据我们可以看出随着制动的发生，转速的降低，制动力矩有一定幅度的上升，是制动过程中摩擦系数的缓慢变化造成了制动力矩制动压力间的非线性关系，且依据

12、假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动，可知这是无抱死制动过程，用MATLAB程序拟合出力矩与时间的关系图，如图示： 从图上我们可以看出制动力矩在制动过程的变化中必须分段讨论，那么我们分别对每一时间段积分，然后求和可得整个过程制动器消耗的能量为： 其中 带入数据并利用EXCEL解得： 而我们将载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量。设在合外力矩的作用下，刚体绕定轴转过的角位移，在转动过程中，合外力矩对转动刚体所做的元功为： 又由转动定理：综合上述两式得：设为常量，则在某段时间内，合外力矩对刚体做功，是缸体

13、的角速度从变到的过程中，合外力矩所做的总功为 代入数据得 ： 其中为制动过程中能量试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，即为路试时制动器在制动过程中消耗的能量。用我们得到的数据计算出的制动器吸收的能量与实际飞轮和主轴等机构损耗的能量不相同，易知：能量误差系数 ： 我们发现该模型建立在制动力矩为变力矩的情况下，对制动器的做功分时间段段求积分，然后将各段得到的数据求和，这样在一定程度上避免了以恒定制动力矩求解的笼统。但通过比较发现按此法解得的数据与飞轮和主轴等机构损耗的能量还存在的能量误差系数，而且根据我们得到的时间与扭矩图得出我们对制动力矩的研究要根据制动力矩的变化特点分阶段进行，所以该方法

14、还有待进一步完善。模型五 设计各时间段电流值的计算机控制方法模型由模型三得出的电动机驱动电流依赖于可观测的数学模型为： 依据题中给出的计算机控制方法：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成整个制动过程。根据EXCEL中给定的数据，利用MATLAB程序得出与之间的关系为：则把模型三写成离散化的模型为：下一阶段的电流为 得与关系为 利用MATLAB程序可求得该方法控制下的各阶段的电流值，再根据 可求得控制下各电流相对应的转速，利用模型四可求得制动器消耗的能量为 因为模型四和模

15、型五只是电流计算控制方法不同，利用的数据完全相同，所以我们利用模型四求得的路试时制动器在制动过程中消耗的能量 能量误差系数 ： 由模型得出的结果可知这种控制方法，使制动器试验台的模拟能量误差系数有所降低，但我们也发现，能量误差系数只降低了千分之一，对模拟效果没有太大改善，所以该模型有待进一步的改进与研究。模型六 优化的计算机控制方法模型五是在模型四的基础上的进一步改进，通过利用前一时间段观测到的瞬时转速求本段时间电流值，但是本时段电流还与前一时间段的瞬时扭矩有关，这就造成了不可知的误差，应该加以考虑。还有制动时间离散化的确定，使得模型五给出的控制方法得到的精确度有所下降。基于此考虑，我们对与电

16、流值变化有关的瞬时扭矩和瞬时转速双因素考虑，建立的模型如下。 求得： 有题可知主轴每绕动、转速和扭矩的稍微变动都会引起驱动电流的变化，再根据可观测的扭矩和转速物理量可以分析出，扭矩和转速对驱动电流的影响权重相同此时取得： 由 得 ： 利用模型四可求得制动器在路试时消耗的能量为 能量误差系数 ： 由此可以看出通过多因素的考虑求解，试验台上的制动过程与路试车辆上的制动器的制动过程达到了尽可能的一致，能有效的检测出制动器的综合性能。为了达到更高的精度要求，还可利用电惯量系统的神经网络控制策略和仿真技术进行更进一步的求解。5 问题的评价模型优点 本文通过对问题的分析，针对问题分别建立了不同的模型，模型

17、简单易懂，充分体现了数学模型的现实意义，而且对问题做了恰如其分的阐述。在求解过程中利用MATLAB程序对转速随时间变化、转速和电流关系等进行了求解，得出图形使得数据关系的观测更科学直观。多次利用EXCLE进行数据运算，简化了运算过程。制动器试验台测试的局限性由于车辆设计阶段无法进行路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，又因为试验台仅安装试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器，受试验台测试原理的限制，无法实现制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程的重现，无法显示汽车左、右轮制动力变化全过程随分段时间的变化情况，所以不能准确指明汽车制动器在实际工作时左、右车

18、轮制动力不平衡的最大值在制动过程中的出现情况，无法分析判断引起制动力能量差过大的根本原因，从而不能为实际生活机械制造提供有效的信息。当试验台表面的材料长时间使用后，其表面的附着系数会逐渐减小，从而会降低车辆制动性能的检测能力。飞轮组式的制动器试验台是比较传统的检测制动性能的装置，车型的状况不同对飞轮组中的飞轮片的要求也不同，实际工程中，对制造流水线的工作弹性要求比较高，若考虑机械制造公司的效益，这种方法比较被动。6 问题的改进方向将制动试验台的前后地面打毛，或及时有效地向附着系数降低的的试验台表面喷砂，以提高和保持未测车轮轮胎的与地面的附着系数，增加制动器试验台的控制能力。要求操作工作人员严格

19、按照操作规范对车轮进行检测，提高车辆检测数据的准确性。相信随着科学的发展，一定还有更新、更先进的制动器试验控制设备被开发出来运用于检测实践。附录1 实现转速和时间变化的MATLAB程序z=0:0.01:4.66;x=514.33513.79513.79513.79 因页数原因中间的数据用了（）代替258.26257.71257.17;for k=1:467 y(k,:)=x(k,:)-x(k+1,:);endplot(z,y)xlabel(t)ylabel(n)附录2 实现转速和扭矩变化的MATLAB程序x=514.33513.79513.24513.79285288.75288.75291.

20、25;for k=1:467 y(k,:)=x(k,:)-x(k+1,:);endplot(z,y)xlabel(T)ylabel(n)附录3 实现转速与电流之间的关系的MATLAB程序function fun=ax=0:0.01:4.67;n=514.33513.79513.24513.79258.26257.71257.17;t=40404041.2543.75288.75291.25288.75;for k=2:467 y(k+1,:)=n(k,:)-n(k-1,:); a(k+1,:)=2*pi*13*1.5*y(k+1,:)/(60*0.01);endplot(y,a)xlabel(n);ylabel(I);7 参考文献 何仁，胡青训. ，带有制动能量再生系统的公共汽车制动过程.，江苏大学学报：自然科学版，2005，26（5）：390-392 材料力学网上教材 第三章第二节梁波，李玉忍，模糊自整定PID在制动器试验台电惯量模拟应用 200姜启源等，数学模型，北京：高等教育出版社， 2009年9月12日 徐礼超， 汽车制动试验台存在的问题及改进 2009年9月13日13