131单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性

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1、1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性引入引入1 1 如图为我市某日如图为我市某日2424小时内的气温变化小时内的气温变化图观察这张气温变化图：图观察这张气温变化图：引入引入2 2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得他经过测试，得到了有趣的数据到了有趣的数据数据表明，记忆的数量数据表明，记忆的数量y y是是时间间隔时间间隔t t的函数的函数.艾宾浩艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著斯根据这些数据描绘出了著名的名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲艾宾浩斯记忆遗忘曲线线”,如图：

2、如图：123tyo20406080记忆的数量记忆的数量(百分数百分数)天数天数100思考思考1 1：当时间间隔当时间间隔t t逐渐增大时，你能看出对应逐渐增大时，你能看出对应的函数值的函数值y y有什么变化趋势？通过这个实验，有什么变化趋势？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的你打算以后如何对待刚学过的知识知识?思考思考2:2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量记忆的数量(百分数百分数)天数天数1.1.理解单调函数的定义；理解

3、单调函数的定义；（重点）（重点）2.2.理解增函数、减函数的定义；理解增函数、减函数的定义；（重点）（重点）3.3.掌握定义法判断函数单调性的步骤；掌握定义法判断函数单调性的步骤；（难点）（难点）4.4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间求函数的单调区间.我们通过几个函数的图象观察函数值随自我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律变量而变化的规律.函函数数值值在在（，）上上随随着着自自变变量量的的增增大大而而增增大大.0)0函函数数值值在在（，上上随随自自变变量量的的增增大大而而减减少少，在在，）上上随随自自变变

4、量量的的增增大大而而增增大大.探究点探究点 函数单调性的定义函数单调性的定义 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的着自变量的_的性质我们称之为的性质我们称之为“函函数在这个区间上是增函数数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的一个区间上函数值随着自变量的_的的性质我们称之为性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析如何用函数的解析式和数学语言进行式和数学语言进行描绘？描绘？增大而增大增大而增大增大而减少增大而减少对函数对函数f(xf(x)=x)=x2 2而

5、言，而言，“函数值在（函数值在（0 0，+）上随）上随自变量的增大而增大自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间，可以这样描述：在区间（0 0，+）上任取两个实数）上任取两个实数x x1 1,x,x2 2,得到函数值得到函数值f(xf(x1 1)=x)=x1 12 2,f(x,f(x2 2)=x)=x2 22 2，当，当x x1 1xx2 2时，有时，有_请同学们用数学语言描述函数请同学们用数学语言描述函数f(xf(x)在（在（-，00上上函数值随自变量的增大而减小的情况函数值随自变量的增大而减小的情况.f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).一般地，设函数一般地，设函数f(xf(x

6、)的定义域为的定义域为I:I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变上的任意两个自变量的值量的值 ，当，当 时，都有时，都有_，那，那么就说函数么就说函数 在区间在区间D D上是上是增函数增函数12xx，12xxf(x)函数单调性的相关概念函数单调性的相关概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)增函数或减函数增函数或减函数第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性调性,即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)

7、()(或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););对函数单调性的理解对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的言的,是局部概念是局部概念;第三、学习函数的单调性第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和要注意定义中条件和结论是双向使用的结论是双向使用的.例例1.1.下图是定义在区间下图是定义在区间-5,5-5,5上的函数上的函数y=f(xy=f(x)，根据，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数?解：解：函数函数 的单调区

8、间有的单调区间有yf(x)52)2,1),1,3),3,5,，其中其中 在区间在区间 上是减函数，在区间上是减函数，在区间 上是增函数上是增函数yf(x)52)1,3)，2,1),3,5 整个上午（整个上午（8 8：00120012：0000）天气越来越暖，）天气越来越暖，中午时分（中午时分（1212：00130013：0000）一场暴风雨使天气骤）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（下山（1818：0000）才又开始转凉）才又开始转凉.画出这一天画出这一天8 8：00002020：0000期间气温作为时间函数的一个可能

9、图象，并期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间说出所画函数的单调区间.解：解：单调增区间是单调增区间是8,128,12）,13,18,13,18）;单调减区间是单调减区间是 12,1312,13）,18,20.,18,20.【变式练习【变式练习】0.kpV 分分 析析：即即 要要 求求 证证 明明 函函 数数在在（，）上上 是是 减减 函函 数数2(例例.物物理理学学中中的的玻玻意意耳耳定定律律为为正正常常数数）告告诉诉我我们们，对对于于一一定定量量的的气气体体，当当其其体体积积V V减减小小时时，压压强强 将将增增大大.试试用用函函数数的的单单调调性性证证明明之之.kp

10、kVp 21121212()().VVkkp Vp VkVVVV则则121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由由，得得由由得得120,()()0,kp Vp V又又于于是是12()().p Vp V即即作差变形作差变形定号定号判断判断取值取值证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V V1 1,V V2 2是定义域是定义域(0,+)(0,+)上上的任意两个实数，且的任意两个实数，且V V1 1 V V2 2,所以，函数所以，函数 V V(0,+)(0,+)是减函数，也就是说，当体是减函数，也就是说，当体积减小时，压强积减小时，压强p p将增大将增大.kpV，取值：取

11、值：即设即设x x1 1、x x2 2是该区间内的任意两个值是该区间内的任意两个值,且且x x1 1x;由x .所以f(x)-f(x)，思考交流思考交流1.()(2 1)1111.2222f xaxbR设函数在 上是严格单调减函数，则有（）A.a.解析：解析：直线直线y=kx+by=kx+b在在k0k0时，单调递减时，单调递减.2a-10,2a-10,即即aaD D122.2.函数函数 的单调增区间是的单调增区间是_._.2361yxx3.3.函数函数 f(xf(x)=x)=x2 2-2ax+3-2ax+3在在(-(-，44上是减函数，则上是减函数，则a a的取值范围为的取值范围为_4，+)提

12、示：提示：可利用函数图象求解可利用函数图象求解.（1 1，+）4.4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数调区间上，函数是增函数还是减函数.解：解：函数的单调区间是函数的单调区间是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在区间在区间-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函数是减函数；）上，函数是减函数；在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上，函数是增函数上，函数是增函数.5.5.证明函数证明函数 在区间在区间 上是增函数上是增函数.f x2x()2,)证明：证明：任取任取

13、，且，且 ，12,2,)x x12xx则则 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因为因为12120,220，xxxx得得12()()fxfx所以函数所以函数 在区间在区间-2,+)-2,+)上是增函数上是增函数 ()2f xx1.1.函数的单调性定义的内涵与外延：函数的单调性定义的内涵与外延：内涵内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；情况；外延外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增

14、，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减相反时是单调递减.几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3.3.证明函数的单调性的基本步骤是：证明函数的单调性的基本步骤是：（1 1）取值；）取值；（2 2）作差变形；）作差变形；（3 3）定号；）定号；（4 4）判断）判断.2.2.函数的单调性是函数在其定义域上的函数的单调性是函数在其定义域上的“局部局部”性性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内意在定义域的哪个区间内.不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉。