高中数学教师说课稿范例两角和与差的余弦

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1、课例：两角和与差的余弦 教材：人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第六节，共需3课时，本节课是第一课时。P34-36一、教材分析：、地位和作用：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。、教学目标：1、知识目标：、 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；、 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；、

2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。2、能力目标：、培养学生逆向思维的意识和习惯；、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3、情感目标： 、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； 、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。（设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）、教学重、难点：1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点；2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本

3、节的又一个重点，也是本节的一个难点。（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是两角和余弦公式推导的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于 两角和与差的余弦公式的推导和应用对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。）二、教学方法：1、创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题。（设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学

4、生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。）2、教具：多媒体投影系统。本节课中平面内两点间距离公式虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。（多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。）三、学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标

5、轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。四、教学过程：教 学 程 序设 计 意 图 课题引入引言：同学们，前面我们学习了任意角的三角函数，我们知道它也是一种运算。在以前的运算中有乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos（+）=cos+cos是否也成立呢？如果成立为什么？如果不成立，它又等于什么呢？这正是我们今天要研究的内容。揭示课题：两角和与差的余弦。通过创设问

6、题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入角色。复习提问1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。2、如果角的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标能否用角的三角函数值表示？怎样表示？3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。引入新课1、回答“cos（+）=cos+cos是否成立”这个问题之前，让学生先讨论“cos（450+300）=cos450+cos300是否成立？”。（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）。得出cos（450+3

7、00）cos450 +cos300。进而得出cos（+）cos+cos这个结论。此时再次提出那么cos（+）又等于什么呢？ 2、在解决上面的问题之前，我们先来解决“平面内两点间距离的求法”这一问题。通过上面的复习，我们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公式。那么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关系呢？（通过动画演示让学生体会平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系。学生通过独立思考和分组讨论，可以用特殊值法证明猜想不成立，三种方法的出现，培养学生多角度考虑问题的发散思维能力，合作学习的习惯。随后的提问会激发学生想要解决问题的主观需要，提高思维的主动性。教 学过程1、分析：设P1（x1，y

8、1），P2（x2，y2）则有：M1（x1，0），M2（x2，0）,N1 （0，y1），N2（0，y2）。通过演示课件提出问题：P1P2的长度与什么有关？（请设计出算法）根据右图写出M1M2和N1N2。P1Q= M1M2=x2-x1QP2= N1N2=y2-y1根据勾股定理写出P1P22=P1Q2+QP22=(x2-x1)2+(y2-y1)2由此得平面内P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点间的距离公式: P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)22、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角,+和-。它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于P1。则： P1(1,0)、 P

9、2（cos，sin）、P3（cos（+），sin（+）、1、通过几何画板动态演示，给学生以直观感受，让他们认识到：平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离总能构成一个直角三角形，利用勾股定理即可解决。 2、两角和余弦公式的证明中存在两个困难：三角函数表示单位圆上点的坐标，它虽然算理简单，但学生由于陌生而很不习惯，通过前面习环节应该有所熟悉。在用到：cos2（+）+sin2（+）=1时，需要教师特别指出，公式中只要求是“同角”，并不在乎角的具体度数和形式。3、两角和的余弦学完之后，要强调其中两角均为任意角，这样一来，两角差的余弦只是两角和的余弦的特殊形式。4、两个诱导公式学生在初中就学习过，但今

10、天应通过证明，并将以前的锐角拓展到任意角。（2）式的证明实际上是（1）式的逆应用，体现了代数思想，也实践了学以制用的原则。5、例1的作用一方面让学生熟练两角和与差的余弦公式，另一方面也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。由P1P3=P2P4（同圆相等的圆心角所对弦相等）及两点间距离公式，得： cos（+）-12+sin（+）-02=cos(-)-cos2+sin（-）-sin2 展开整理合并得：cos（+）=cos cos-sinsin这就是两角和的余弦公式。（其中,为任意角）将其中换成-，公式仍成立：cos（+ ）=coscos -sinsincos（+（

11、-）= coscos（-）-sinsin（-）化简得两角差的余弦公式：cos（-）= coscos+sinsin求证: （1） cos（ -）= sin（2） sin（ -）= cos 证明：（1）cos（ -） =cos cos+sin sin=sin（2）sin（ -）=cos -（ -）=cos 证明（1）、（2）的结论即为诱导公式。例1、利用和（差）角公式求750、150角的余弦。分析：将750可以看成450+300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出750的余弦。（学生自己完成）解： cos750 = cos（450+300） = cos450cos300 -sin450si

12、n300 = - = cos150 = cos（450-300） = cos450cos300+sin450sin300 = + = 例2、已知sin = ，（ ，），cos=- , （， ），求cos（-）、cos（+）。公式提示：cos（- ）= cos cos+ sin sincos（+） = cos cos- sin sin6、例2的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系有复习的作用，其难度不是很大，在提供了公式之后，学生应当能够完成.小结本节课我们学习了下面两组公式，在公式的记忆上，我们应注意函数和符号的变化。1、平面内两点间距离公式： P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)

13、22、两角和与差的余弦：（同名之积相加减，运算符号左右反。）cos（+）= cos cos- sin sincos（-）= cos cos+ sin sin7、小节以十四字口诀概括两角和与差的三角函数关系式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于记忆。有助于学生对本节课的内容更好地掌握。练习巩固1、课堂练习（P38）、第2题（3）、（4）。、第3题（2）、（3）。2、课后作业P40习题4.6第2 、 3、(2)、(3)3、思考题： 试运用今天所学知识和方法证明：sin（ +）= sin cos+cos sinsin（ -）= sin cos-cos sin8、课堂练习有助于学生进一步熟悉公式

14、，加深学生对公式的理解和认识。回馈教学效果。思考题对学生本节课所学知识方法的考察要求较高，但能力较强学生能够完成，也是为下一节课的内容做准备。体现问题必须略高于学生现有知识水平的原则。设计说明本节课授课内容为人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第六节，共需3课时，本节课是第一课时。本节课的教学对正弦线、余弦线定义；用角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；同圆上相等的圆心角所对的弦长相等这些知识有较强的依耐性，因此在复习环节做了必要的准备。本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教

15、学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角和的余弦公式得到后，利用代数思想推出两角差的余弦公式和诱导公式，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。您 想 拥 有 abc 邮 箱 吗 ？ 创 纪 录 16G 超 大 容 量（送 6G 免 费 网

16、盘），最 高 性 价 比 的 电 子 邮 件 解 决 之 道 课题：5.4平面向量的坐标运算（第一课时）教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）授课教师： 单位： 教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2

17、、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； 3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程环节具体内容及形式双边活动设计意图复习回顾判断题1、单位向量都相等； （ 假 ） 2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）通过提问的方式让学生对命题作出判断；教师从学生活动出发，进行评价、拓展，为新

18、课的讲解作铺垫.oxijy复习回顾: 复习向量定义，引出x 轴y轴正方向上的单位向量i和j.3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 . （ 真 ）通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.创设问题情境通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.学生体会数学与现实生活的联系，并通过教师引导，体会特殊化的思想.激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.师生共同探究及应

19、用平面向量的坐标表示问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图：oxyija 结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示. 经历前两个环节的铺垫后，教师引导学生恰当的选取基底，完成基底特殊化的过程.教师通过多媒体课件演示，使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路.设置探究式教学，让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.以向量b为例讲解本题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分.在学生掌握课本

20、例题的基础上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然.在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备.应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标.i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)应用二： (课本P111例1).例1、 用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标.123401234xyOabcd变式探究：将例1中向量d的方向取反向得到向量e，分析b、e两向量的关系后进行探究.探究一：相等向量的坐标有关系吗？结论：相等向量的坐标也相等，体现向量与其坐标的对应关系.探究二：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？结论：此时向

21、量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了. 学生独立完成，进一步体会特殊化思想.师生共同探究，教师板书过程.教师重点以向量b为例讲解本题，引导学生利用平面向量的坐标表示求出向量b的坐标，并提醒学生注意坐标符号.学生观察出向量b、e两向量大小相等，方向相同，应该是相等向量.教师提问：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？教师利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的认识.师生共同探究及应用平面向量的坐标运算问题二：若已知a =（1,3）,b =(5,1)，如何求a b 、a b的坐标呢？（由特殊到一般，探究向量加减的坐标运算

22、法则）法则：若a =（x1 ,y1）,b =(x2 ,y2),则：a b = (x1x2 ,y1y2 ),a b = (x1x2 ,y1y2 )应用三：课本P112例2 及P114练习1.探究三：例一中向量a的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？bcOxyaAB（从具体例子寻找规律） 由图可知，a = c b 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.探究四：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示的推导过程来组织教学.结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，

23、只与其相对位置有关系.对具体的两个向量，教师启发引导学生分析规律，通过猜想、验证得出向量的坐标运算法则.例2以学生回答为主，教师板书过程；练习学生笔答，通过实物投影反馈.教师利用多媒体课件演示引导学生把任意向量用起点在原点的向量来表示.寻找各知识点的联系，挖掘问题实质.让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算的优势：思路明确，过程简捷；强调步骤书写，发现问题及时解释说明.体现了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回顾旧知、推理验证，对难点层层突破.应用四：课本P114练习2

24、.应用五：以表格形式对练习2 引申训练 起点A终点B向量AB（ 2，3 ）（ 1，1 ）( 3 , 4 )( 2 , 7 )应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基

25、础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充. 帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：54平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系

26、三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾向量的坐标运算向量的坐标表示跟踪练习跟踪练习情境设置归纳总结探究及应用巩 固 提 高教案的设计说明：1、设计初衷：本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.2、呈现方式：根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回顾创设问题情境合作探究和指导应用归纳小结布置作业”五个教学环节.3、新课程观的体现：本节课主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用. 4、可能出现的问题： 探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的机会，学生情况不同，反馈给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.