积分变换PPT精选文档

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1、1Fourier 积分 2一、一、FourierFourier级数级数二、二、FourierFourier积分定理积分定理三、小结三、小结第3页第3页3一、一、Fourier Fourier级数级数傅傅里里叶叶(17681830)法国数学家法国数学家对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.法国数学家法国数学家FourierJBJFourier第4页第4页4 1804 1804年，法国数学家年，法国数学家Fourier提出：提出：在有限区间上由任意图形定义的任意函数都在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和可以表示为单纯的正弦与余弦之

2、和.1822 1822年，年，Fourier在研究热传导理论时发表在研究热传导理论时发表了了热的解析理论热的解析理论，提出并证明了将周期函数，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理展开为正弦级数的原理.一、一、Fourier Fourier级数级数第5页第5页5一、一、FourierFourier级数级数 1829 1829年，德国数学家年，德国数学家DirichletDirichlet证明了下面的证明了下面的定理，奠定了定理，奠定了Fourier级数的理论基础级数的理论基础.狄利克雷（狄利克雷（18051859）德国数学家德国数学家P.G.L.Dirichlet第6页第6页6 一个以一个

3、以T T 为周期的函数为周期的函数f fT T(t t),),如果在如果在 上满足上满足DirichletDirichlet条件条件,即在区间即在区间 上满足上满足:,22TT ,22T T ,22TT 1.Fourier1.Fourier级数展开级数展开 1)1)连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点;2)2)只有有限个极值点只有有限个极值点.则在区间则在区间 可以展开成可以展开成FourierFourier级数级数.第7页第7页7 在在f fT T(t t)的连续点的连续点t t处处,级数的三角形式如下级数的三角形式如下:2其中T 01()(cossin)2Tnnnaft

4、antbnt 2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式222()sind1,2,3,（)TTnTbf tn t tnT 222()cosd0,1,2（)TTnTaftn ttnT 第8页第8页8 01(0)(0)cossin22TTnnnaftftan tbn t t在间断点 处成立：01(0)(0)cossin22()TTnnnTftftaan tbn tft 即即2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式第9页第9页91 1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式:在在其其连连续续点点处处，利利用用Euler公Euler公式式：jjjjcos,s

5、inj22 e ee ee ee e01()(cossin)2Tnnnaftan tbn t jjjj01j222n tn tn tn tnnnaab e ee ee ee e2.Fourier2.Fourier级数的三角形式级数的三角形式第10页第10页10e ee ejj01jj222n tn tnnnnnaabab 如如果果令令 ，22001()d2TTTacfttT 1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式系数的确定系数的确定第11页第11页11j jj jj je ej je e22221()d(1,2,3,)21()d(1,2,3,)2TTTTn tnnnTn tnnnTabc

6、ftt nTabcftt nT 221()d(01,2,)TTn tnTcftt nT j je e1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式第12页第12页12若令若令 (n=0,1,2,),01()nnntttTnnnnnf tcccc j jj jj je ee ee e级数的复指数表示级数的复指数表示jjee221()()dTnnTttTTnftfT 1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式nn 第13页第13页13 1(0)(0)2TTftft在其间断点 处，tjjee221()dTnnTttTnfT 1)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式ntnnc j je e第14页

7、第14页141)1)级数复指数表示形式级数复指数表示形式jjee221()dTnnTttTnfT 即即 1(0)(0)2()TTTftftft 第15页第15页152)2)级数正弦和余弦表示形式级数正弦和余弦表示形式01()cos()2TnnnaftCn t 1()sin()TnnnftCn t 级数正弦表示形式级数正弦表示形式:级数余弦表示形式级数余弦表示形式22,arctannnnnnnaCabb 第16页第16页16 任何一个非周期函数任何一个非周期函数f f(t t)都可以看成是由都可以看成是由某个周期函数某个周期函数f fT T(t t)当当T T+时转化而来的时转化而来的.作作周期

8、为周期为T T的函数的函数f fT T(t t),使其在使其在 之内等于之内等于f(t),而在而在 之外按周期之外按周期T T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上,显然显然,T T 越大越大,f fT T(t t)与与f f(t t)相等的范围也越大相等的范围也越大,这就说明当这就说明当T T+时时 周期函数周期函数f fT T(t t)便可转化便可转化为为f f(t t),即有即有lim()()TTftf t 二、二、FourierFourier积分定理积分定理1)Fourier1)Fourier积分公式积分公式,22TT ,22TT 第17页第17页17ee22jj1()()d，TnnTtTT

9、nftfT ee22jj1()lim()dTnnTtTTnf tfT 令令 ，由由1)Fourier1)Fourier积分公式积分公式第18页第18页18 当当 取取一一切切整整数数时时所所对对应应的的点点便便均均匀匀分分布布在在整整个个数数轴轴上上 两两个个相相邻邻的的点点的的距距离离为为,nn 12,或nnnnTT 1.Fourier1.Fourier积分公式积分公式第19页第19页19ee22jj01()lim()d2TnnTntTnnf tf 0nT 则则当当 ，时时，ee22jj1()lim()dTnnTtTTnf tfT 1.Fourier1.Fourier积分公式积分公式第20页

10、第20页20ee22jj1()d2是参数为的函数，TnnTtTnf 当当 固固定定时时，tee22jj1()()d2TnnTtTnTf ()Tn 记记作作，即即1.Fourier1.Fourier积分公式积分公式第21页第21页21ee22jj01()lim()d2TnnTntTnnf tf 0()lim()nTnnnft ()Tn 利利用用，1.Fourier1.Fourier积分公式积分公式第22页第22页220,()()nTnnT 当当即即时时()df t 即即（）=，1.Fourier1.Fourier积分公式积分公式其中其中1()()2jj tfed e 0()lim()nnnnft

11、 第23页第23页23FourierFourier积分公式积分公式jjede1d2（）=（）tf tf 得得1).Fourier1).Fourier积分公式积分公式第24页第24页24若若 f(t)在在(-(-,+,+)上满足下列条件上满足下列条件:1)1)f(t)在任一有限区间上满足在任一有限区间上满足DirichletDirichlet条件条件;2)2)f(t)在无限区间在无限区间(-(-,+,+)上绝对可积上绝对可积.则有则有（在在绝绝对对可可积积即即收收敛敛）(,)|()|df tt 2.Fourier2.Fourier积分定理积分定理 一个非周期函数在什么条件下一个非周期函数在什么条

12、件下,可以用可以用 Fourier Fourier积分公式来表示积分公式来表示,有下面的收敛定理有下面的收敛定理.定理定理:第25页第25页25eejj1()()dd2tf tf FourierFourier积分公式的复数形式积分公式的复数形式成成立立.2.Fourier2.Fourier积分定理积分定理第26页第26页26 如如果果左左端端的的在在它它的的间间断断点点 处处 应应以以来来代代替替(),(0)(0).2f ttf tf teejj(0)(0)1()dd22tf tf tf 即即2.Fourier2.Fourier积分定理积分定理第27页第27页273.Fourier3.Four

13、ier积分公式的三角形式积分公式的三角形式利利用用EulerEuler公公式式，有有eeejjj()1()()dd21()dd2ttf tff jdd1()cos()d2()sin()ftft 第28页第28页281()()cos()dd2f tft()sin(),ft 又又d d 是是 的的奇奇函函数数故故得得01()()cos()ddf tft()cos(),ft 又又d d 是是 的的偶偶函函数数故故又又得得FourierFourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式3.Fourier3.Fourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式第29页第29页29 当当 为奇函数时为奇函数

14、时,利用三角函数的和差公利用三角函数的和差公式式,有有()f t01()()cos()ddf tft 01()()coscosf tft 3.Fourier3.Fourier积分公式的三角形式积分公式的三角形式 sinsinddt 第30页第30页30 由于由于 为奇函数为奇函数,则则 和和 分别分别是关于是关于 的奇函数和偶函数的奇函数和偶函数,因此因此()cosf()sinf()f tFourierFourier正弦积分公式正弦积分公式d002()()sinsindf tft 当当 为为偶函数时偶函数时,同理可得同理可得()f t002()()cosdcosdf tft FourierFo

15、urier余弦积分公式余弦积分公式4.Fourier4.Fourier正弦和余弦积分公式正弦和余弦积分公式第31页第31页31 特别地特别地,如果如果 仅在仅在 上有定上有定义义,且满足且满足FourierFourier积分公式存在定理的条件积分公式存在定理的条件,我我们可以采用类似于们可以采用类似于FourierFourier级数中奇延拓或者偶级数中奇延拓或者偶延拓的方法延拓的方法,得到得到 相应的相应的FourierFourier正弦积分正弦积分展开式或展开式或FourierFourier余弦积分展开式余弦积分展开式.()f t，(0)()f t注意注意:第32页第32页32eejj1()

16、()dd2tf tf je1j11cossindd2t 11()0tf t ，求求函函数数 的的F Fo ou ur ri ie er r积积分分表表达达式式.，其其他他根根据据FourierFourier积积分分公公式式的的复复数数形形式式，有有第33页第33页33e1j01cosddt j1sincossindtt 02sincosd1tt 第34页第34页34(10)(10)122ff f t（）为为偶偶函函数数，根根据据F Fo ou ur ri ie er r余余弦弦积积分分公公式式，0()12sincosd112，f tttt 当当时时，1t 有有f t（）应应以以代代替替.第35

17、页第35页35012sincosd1401，tttt 即即第36页第36页360t 当当时时，有有DirichletDirichlet积分积分 f t由由上上可可以以看看出出，利利用用的的F Fo ou ur ri ie er r积积分分表表达达式式，可可以以推推证证一一些些广广义义积积分分.0sind2 第37页第37页37本节学习了本节学习了接下来学习接下来学习 本节从周期函数本节从周期函数的的FourierFourier级数展开出级数展开出发发,讨论了非周期函数讨论了非周期函数的的FourierFourier积分公式及积分公式及收敛定理收敛定理.FourierFourier变换的定变换的定义义,单位脉冲函数的单位脉冲函数的FourierFourier变换及非周期变换及非周期函数的频谱函数的频谱.三、小结三、小结第38页第38页38练习练习:1,0,taf tta 将函数将函数展开成三角形式的展开成三角形式的Fourier积分积分.