《高等数学III》教学大纲

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1、高等数学（）课程教学大纲课程代码：010547012课程英文名称：Advanced Mathematics（）课程性质：基础课程适用专业：管理科学、会计、国际贸易、人力资源等经管系开设的专业总学时数：130。其中：讲课学时：130；实验学时：0 。总学分数：8编写人：刘琼。 编写时间：2007年9月。一、课程简介（一）、课程教学目的与任务高等数学是为高等院校经济管理类各专业学生开设的一门重要基础课程。它是学生掌握数学工具的主要课程,是培养学生理性思维的重要载体。通过本课程的学习，要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，并能运用数学分析的方法和原理解决经济等方面的应用问题，为学习

2、后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。通过各个教学环节，运用各种有益的教学手段和方法，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。（二）、课程教学的总体要求总体要求：（1）知识要求：重点掌握极限、导数、偏导数、不定积分、定积分、二重积分、简单微分方程求解等各种运算；掌握函数的表示法，掌握导数和变化率之间的关系、定积分和求和的关系、空间直线与平面及其之间的关系及微分方程的相关概念等；理解函数概念、极限思想、函数连续和间断点的概念、导数及其几何意义、级数及其敛散性等，了解数学中常见的经济函数、

3、函数极限的精确定义、导数的物理意义、微分和级数在近似计算中的应用等。（2）能力要求：熟练做到将高等数学知识运用到函数作图、求面积、求体积、求极值和经济分析等各种应用中,能用微分方程解决一些简单的应用问题。（三）、课程的基本内容1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数；6、微分方程（四）、先修课程及后续课程先修课程：初等数学；后续课程：线性代数、概率论与数理统计、及各专业与高数有关的专业课程。二、课程教学总体安排（一）学时分配建议表学时分配建议表章节课程内容各教学环节中的学时分配讲课习题课实验设计1函 数60002极限与连续151003

4、导数与微分122004微分中值定理与导数的应用131005不定积分102006定积分122007空间解析几何与向量代数111008多元函数微分及应用122009无穷级数1220010常微分方程初步12200总计（学时）1151500（二）、推荐教材及参考书目1、教材：微积分，曹定华等主编，复旦大学出版社出版；2006.42、参考书目：微积分，姚孟臣主编，高等教育出版社出版；2003.4 高等数学（第六版），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社出版；2005.3（三）、课程考核方式1、考核方式：本课程学生的考核成绩采用期末考试成绩、课堂成绩与课外成绩相结合的方法。期末考试试卷从试题库中随机抽取

5、，采用闭卷方式。2、成绩构成：总成绩满分为100分。其中：期末考试的卷面成绩占总成绩的70；课堂考勤等占总成绩的10；课外成绩以书面作业形式进行考查，占总成绩的20。三、课程教学内容及基本要求第一章 函数（6学时）1、教学目的：函数是高等数学的基本元素。理解函数的概念，掌握函数的一些基本特性，熟悉基本初等函数的性质及图形，以及初等函数的构成，为从初等数学到高等数学的过渡打下坚实基础。2、教学重点与难点（1）教学重点：邻域；复合函数；分段函数。（2）教学难点：复合函数的分解与复合；分段函数3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容：（1）函数的概念及其基本性质；（2）基本初等函数及初等函数；（3）经

6、济学中常见的函数。5、教学要求：（1）理解数集、区间、邻域、函数的概念，掌握函数的表示方法。（2）了解函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性和有界性。（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。（4）掌握基本初等函数的性质及其图形。（5）会建立简单应用问题中的函数关系式。（6）了解经济学中常见的一些函数成本函数、需求函数、利润函数等。6、学生作业：P9-10：2 （1）、（3），4，9 （1）、（3）。P15 2 (1)、(3)，3 （1）、（3）P18 2，3。第二章 极限与连续（16学时）1、教学目的：极限是微积学的基础，通过极限思想的学习，建立一种动态数学思维方法。以助于对微积分

7、学习的理解和掌握。要求理解极限的定义和熟练掌握极限的运算。2、教学重点与难点（1）教学重点：极限的性质及运算法则；两个重要极限；等价无穷小求极限；函数的连续性。（2）教学难点：极限的定义；极限收敛准则；闭区间连续函数性质的应用。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容：（1）数列及其极限（2）函数极限（3）无穷小量与无穷大量（4）函数极限的运算（5）两个重要极限（6）无穷小量的比较、极限在经济学中的应用（7）函数的连续性（8）闭区间上连续函数的性质。5、教学要求（1）理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念及极限存在与左、右极限之间的关系。（2）掌握极限的性质及四则运算法则。（3）了解极限存在的

8、两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。（4）理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，掌握用等价无穷小求极限。（5）理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。（6）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理、介值定理和零点定理），并会应用这些性质。（7）了解极限在经济学中的应用。6、学生作业：P27 4（1），5（2）。P32 3。P38 3的单数题。P43 5和6的单数题。P48 单数题。P55 4的单数题。P62 4的单数题，6，7的单数题。P65 1，3。第三章 导数与微分（14学时）1、教学目的：理解导数和微分具体含义，掌握导数和微分的

9、运算，以利于分析和解决实际问题。2、教学重点与难点（1）教学重点：导数与微分的定义；导数与微分的运算。（2）教学难点：导数与微分的定义；复合函数求导；隐函数、参数方程的二阶导数。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）导数的概念（2）求导法则（3）高阶导数（4）微分及其运算（5）导数与微分在经济学中的应用。5、教学要求（1）理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系。（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计

10、算中的应用。（3）了解高阶导数的概念，会求几个常见函数的高阶导数。（4）会求分段函数的导数。（5）会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。（6）理解边际、弹性的概念，了解其运算法则，掌握微分学在经济学中的应用。6、学生作业：P74 5的单数题，8的单数题，9，12。P84-85 1、2、4、8、9、10的单数题。P89 2，3、4、5的单数题。P95 3、4、5的单数题。P101 2，3（1）、（3），5。 第四章 微分中值定理与导数的应用（14学时） 1、教学目的：微分中值定理具有重要的理论价值和应用价值，函数导数有广泛的应用背景。要求理解中值定理并会利用它们证

11、明一些等式和不等式；掌握用洛必达(LHospital)法则求未定式极限；会用导数研究函数的有关性态；会用导数进行经济分析。 2、教学重点与难点（1）教学重点：用洛必达(LHospital)法则求未定式极限，利用导数判断函数性态。 （2）教学难点：利用中值定理证明等式和不等式、判断方程根的情况。 3、教学方法：讲授法。 4、教学主要内容 （1）微分中值定理 （2）洛比达法则 （3）泰勒公式 （4）函数的单调性与极值 （5）最优化问题 （6）函数的凸性、曲线的拐点及渐近线。 5、教学要求(1) 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解柯西定理;(2) 掌握用洛必达(LHospital)

12、法则求未定式极限的方法;(3) 了解泰勒中值定理及多项式逼近函数的思想；(4) 熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数的最大值和最小值的求法及其简单的应用;(5) 掌握用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐近线,会描绘函数的图形；（6）掌握边际分析、弹性分析和增长率的经济意义及计算方法。 6、学生作业：P108 4，5。P115 1的单数题。P121 3，4。P127 1（2）、（3），4。P133-134 1，3，4，6。P141 1（3）、（5），2（1），4（1）、（3），5（1）。第五章 不定积分（12学时）1、教学目的：不定积分是导数的逆运算，是定积分

13、运算的基础。要求熟练掌握不定积分的基本公式和积分方法。2、教学重点与难点（1）教学重点：不定积分的计算。（2）教学难点：不定积分的第一换元法；几种特殊类型函数的积分。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）不定积分的概念和性质（2）换元积分法（3）分部积分法（4）几种特殊类型函数的积分。5、教学要求(1) 理解原函数和不定积分的概念;(2) 掌握不定积分的性质和积分基本公式,掌握换元积分法及分部积分法,能熟练求各类函数的不定积分.6、学生作业：P147 1的单数题。P157 单数题。P161 单数题。P167 （1）、（2）、（3）、（4）。第六章 定积分（14学时）1、教学目的：定积分在

14、解决求总量的实际问题中有着重要的作用。要求理解定积分的概念，熟练掌握定积分的计算方法和技巧，掌握将实际问题转化为定积分解决的“微元法”。2、教学重点与难点（1）教学重点：定积分的计算方法，积分上限的函数及其导数，无穷区间上广义积分；利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。（2）教学难点：定积分的计算方法；利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）定积分的概念（2）微积分的基本公式（3）定积分的换元法（4）定积分的分步积分法（5）定积分的应用（6）广义积分初步5、教学要求（1）理解定积分的概念及性质，积分上限的函数及其求导定理。（2）掌握牛顿莱布

15、尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法。（3）了解广义积分的概念，掌握广义积分的计算。（4）了解定积分元素法解决实际问题的方法，会建立简单经济问题的积分表达式。（5）掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值等。6、学生作业：P176 4（1）、（3）。P181 1的单数，2（2），5（3）、（4）。P185-186 1的单数题，2（2），3（1）、（3）。P188-189 2的单数题。P199 1、2的单数题，7。P207-208 1的单数题。第七章 空间解析几何与向量代数（12学时）1、教学目的：向量是解决许多实际问题的一种很有效的数学工具。要求

16、理解向量的概念，掌握向量的运算法则，理解空间直角坐标系，培养学生分析和解决问题的立体观和空间想象能力。2、教学重点与难点（1）教学重点：向量与空间坐标系中点的对应关系及向量的运算；空间平面和直线。（2）教学难点：向量坐标及向量的数量积和向量积；二次曲面。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）空间直角坐标系（2）向量及其运算（3）向量的数量积与向量的向量积（4）平面及其方程（5）直线及其方程（6）空间曲面及空间曲线。5、教学要求（1）理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，曲面方程的概念。（2）掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向余弦、向

17、量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（3）掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。（4）了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，曲面的交线在坐标平面上的投影。6、学生作业：P211 3，4。P215 3，4，5。P220 2，5，7，8。P224 4，6，7（2）、（3），8。P229-230 1的单数，3，5，8，10，12。P238-239 3（2），5。第八章 多元函数微积分（14学时）1、教学目的：多元函数微积分是一元函数微积分的推广和发展。要求比较一元函

18、数和多元函数之间、一元函数微积分和多元函数微积分之间的异同，从中发现一些新问题。并理解二重积分的概念，掌握二重积分的计算及其应用。2、教学重点与难点（1）教学重点：多元函数偏导数与全微分的求解方法及其应用；二重积分的计算和应用。（2）教学难点：多元函数偏导数存在、可微分、连续间的关系；求高阶偏导；二重积分的计算和应用。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）多元函数的概念（2）二元函数的极限与连续性（3）偏导数与全微分（4）多元复合函数与隐函数的微分法（5）高阶偏导数（6）偏导数的应用（7）二重积分5、教学要求（1）理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性的概念，知道有界闭域上连续函

19、数的性质。（2）理解偏导数的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。掌握求偏导数和全微分的方法。（3）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数二阶偏导数。（4）掌握隐函数的求偏导数方法。（5）理解二元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的充分必要条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单二元函数的最大值和最小值，会利用多元函数微分学解决简单的经济应用问题。（6）理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质，熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。6、学生作业：P245 2（1）、（3），3。P248 1（2），2的单数题，3。P255 1

20、的单数题，2，5，8（1）。P265 1（2），2（1），3（1）、（3），5（1），6（2），8。P267-268 1的单数题。P280 1（1）、（3），2，6。P296-297 2（1）、（3），3的单数题，6，7。第九章 无穷级数（14学时）1、教学目的：无穷级数是高等数学中一个十分重要的组成部分，是用来表示函数、研究函数性质及进行数值计算的一种重要工具。要求熟练掌握级数敛散性的判定的方法，熟练掌握函数的幂级数展开。2、教学重点与难点（1）教学重点：级数的敛散性判定；函数展开成幂级数。（2）教学难点：级数的敛散性判定；函数展开成幂级数和幂级数的和函数。3、教学方法：讲授法。4、教学主要

21、内容（1）数项级数的概念和性质（2）正项级数及其敛散性判别法（3）任意项级数（4）幂级数（5）函数的幂级数的展开5、教学要求（1）理解常数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。（2）掌握等比级数与级数的敛散性。（3）掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，会用它们判断正项级数的敛散性。（4）会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性。（5）理解绝对收敛与条件收敛的概念及它们之间的关系。（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8）理解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，

22、并会由此求出某些数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10）掌握，和的麦克劳林展开式，会利用它们和幂级数的一些性质将一些简单函数间接展开成幂级数。6、学生作业：P304 1、2的单数题。P310-311 1的单数题。P314-315 1的单数题。P323 1、2、3的单数题。P331 1、2的单数题。第十章 微分方程初步（14学时）1、教学目的：微分方程是含有未知函数的导数（微分）的方程，其形式和求解方法不同于初等数学中的代数方程，它的应用十分广泛。因此掌握了微分方程求解的一些常用和典型的方法，就掌握许多实际问题求解的钥匙。2、教学重点与难点（1）教学重点：可分离变量方程

23、、齐次方程及一阶线性方程的求解；二阶常系数齐次线性微分方程的求解和自由项是形如的非齐次线性微分方程的求解。（2）教学难点：二阶常系数线性微分方程的求解；微分方程的应用。3、教学方法：讲授法。4、教学主要内容（1）微分方程的基本概念（2）一阶微分方程（3）高阶微分方程（4）微分方程在经济学中的应用。5、教学要求（1）理解微分方程的基本概念。（2）掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法；会求解齐次方程和伯努利方程并从中领会用变量替换解方程的思想；会用降阶法解形如：, 和的方程。（3）理解二阶线性微分方程解的性质和解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解和自由项是形如的非齐次线性微分方程的求解，了解自由项为的非齐次线性微分方程的求解。（4）了解微分方程在经济学中的应用，会用微分方程求解一些简单的应用题。6、学生作业：P345-346 1、3、4的单数题，6。P362-363 1的单数题，2（2），4、5的单数题，8，9。P367 1，3。