数学与应用数学毕业论文关于斜幂等矩阵性质的探讨

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1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目关于斜幂等矩阵性质的探讨 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 数本054 指导教师 二00九年五月十日14傅小燕 关于斜幂等矩阵性质的探讨目 录摘要（1）0 引言（1）1 一些引理（2）2 单个斜幂等矩阵的性质（4）3 多个斜幂等矩阵的运算性质（6）4 斜幂等矩阵的等价条件（10）结束语（14）致谢（14）参考文献（14） 关于斜幂等矩阵性质的探讨关于斜幂等矩阵性质的探讨（数学与应用数学系 指导老师：晏瑜敏）摘要：本文主要是对斜幂等矩阵的某些性质进行探讨、研究.在与幂等矩阵性质的对照下，本文得出主要的相关结论有：单个斜幂等矩阵的性质，多个斜幂等矩

2、阵的运算性质以及矩阵为斜幂等矩阵的等价条件.通过这些斜幂等矩阵性质的研究，揭示了斜幂等矩阵与幂等矩阵在一般性质上的异同点，以及为进一步认识斜幂等矩阵奠定基础.关键词：斜幂等矩阵 幂等矩阵 秩 矩阵.Abstract: Some properties of the srew-idempotent matrix are discussed and studied in this paper.In comparison with the properties of idempotent matrix,the primary conclusions in this paper are the prop

3、erties of single srew-idempotent matrix, multiple srew-idempotent matrix and operation properties the equivalent condition of is srew-idempotent matrix. According to the study of these properties, the same and different points between the idempotent matrix and srew-idempotent matrix are revealed , a

4、s well as a better understanding of idempotent matrix inclined to lay the foundation.Keywords: srew-idempotent matrix idempotent matrix rank equivalent condition0 引言 表示数域上的阶矩阵构成的集合；符号分别表示矩阵的转置，逆，伴随矩阵，秩，迹；表示阶单位矩阵；表示阶单位矩阵；表示的列空间，即；表示的行空间，即；表示的维数；表示线性变换的值域,即；的维数称为的秩；表示的核，即；的维数称为的零度.设，若满足，则称矩阵是幂等矩阵；若满足，

5、则在参考文献1-2中称矩阵是斜幂等矩阵；若满足，则称矩阵是对合矩阵.幂等矩阵是一类很重要的矩阵，在矩阵理论中有着较广泛的应用，它的相关结论也已经被许多学者研究，见文献3-8.而关于斜幂等矩阵的文章却不多，在国内的相关文章只有参考文献1-2.在参考文献1中研究的是关于斜幂等矩阵的一些秩的等式，它是利用幂等矩阵秩的有关等式来刻画斜幂等矩阵的一些与秩有关的等式，从而给出了两个斜幂等矩阵的和、差以及乘积仍为斜幂等矩阵的等价条件.在文献2中研究的是用广义逆刻画斜幂等矩阵的性质，它是利用广义Schur补的最小秩给出斜幂等矩阵的一些与广义逆有关的性质.文献3-8中研究的都是关于幂等矩阵的一般性质，这就启发我

6、们在幂等矩阵这些性质的对照下研究斜幂等矩阵的一般性质.下面先给出几个引理：1 一些引理引理1.1（见文献9，第285题） 设是阶方阵，则.引理1.2（见文献10，第304页） 设是维线性空间的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来是的一组基.由此还有的秩+的零度=.引理1.3 设矩阵是斜幂等矩阵，则存在可逆矩阵，使得，其中.证明 设维线性空间的一组基，定义线性变换如下：由知，任意，则存在一个，使得，那么取任意,则，即.因此.又由引理2可得.在中取基，在中取基，则是的一组基，且有即在基下的矩阵为.故存在一个可逆矩阵，使得，即.则结论得证.引理1.4（见文献6，性质7） 设是秩为的幂等矩阵，则

7、，其中，是秩为的阶矩阵，是秩为的阶矩阵.引理1.5（见文献6，性质5） 设是幂等矩阵，则的秩等于的迹，即.引理1.6（见文献3，推论3.2） 设为阶矩阵，且，则可写成两个对称矩阵之积.引理1.7（见文献6，性质1） 设是阶幂等矩阵，对任意实数，则是可逆矩阵.引理1.8（见文献5，性质7 3，定理5 4，定理2 4，定理8） 设均为幂等矩阵，则有以下结果：1） 为幂等矩阵的充分必要条件是；2） 如果，那么；3） 若，则存在阶可逆矩阵，使得与都为对角矩阵，且主对角上的元素为0或1；4） 若，则可逆，且.引理1.9（见文献8，性质9 3，定理1 7 8，性质7） 设是数域上的的秩为矩阵，则下列命题彼

8、此等价：1）是幂等矩阵；2） 设，其中为阶单位矩阵，为维非零列向量，为的转置，则；3） 方阵为对合矩阵；4） ，其中是的值空间中任一向量；5） 存在可逆矩阵，使得；6）；7）；8）；引理1.10 设是数域上阶矩阵，则有1）；2）.证明 1）设且是的一组基，则将其扩充为一组基；扩充为的一组基.则有于是 （1.10.1）往证 线性无关.设 （1.10.2）再令 （1.10.3）由（1.10.2）式有 （1.10.4）则由（1.10.3）（1.10.4）两式知：，从而，而是的一组基，故 （1.10.5）将（1.10.5）式代人（1.10.4）式，可得 （1.10.6）但线性无关，由（1.10.6）式

9、可得 （1.10.7）将（1.10.7）式代入（1.10.4）式，得.再由（1.10.3）式，有由线性无关可得 （1.10.8）由（1.10.7）（1.10.8）知，线性无关再由（1.10.1）式知故结论得证同理可证2）成立.2 单个斜幂等矩阵的性质性质2.1 设是斜幂等矩阵，则也是斜幂等矩阵.证明 由于，则又由引理1知，则故结论得证.性质2.2 设是斜幂等矩阵，则的特征值为.证明 设是矩阵的特征值，为特征值所对应的特征向量，则有.又因为，所以，从而有.故，则.性质2.3 设是斜幂等矩阵，则与相似的矩阵也是斜幂等矩阵.证明 设矩阵与相似，则存在可逆矩阵，使得,于是所以是斜幂等矩阵.根据引理4，

10、我们可以证得斜幂等矩阵也有类似的性质，即性质2.4 设是秩为的斜幂等矩阵，则存在秩为的阶矩阵和秩为的阶矩阵，使得，且.证明 由引理3知，存在可逆矩阵，使得,即令，,则，且即结论得证.由引理5我们知道幂等矩阵的秩等于它的迹，那么斜幂等矩阵的秩和它的迹有什么关系呢？性质2.5 设是斜幂等矩阵，则的秩等于的迹的相反数，即.证明 设的秩为，则由引理3知与相似，而相似矩阵具有相同的特征值.设是的全部特征值，为的全部特征值，则所以，即.故结论得证.引理6给出的是，幂等矩阵可以写成两个对称矩阵的乘积，对照此性质可以得出斜幂等矩阵也有类似的性质：性质2.6 设是斜幂等矩阵，且的秩为，则存在对称矩阵，使得，即任

11、一斜幂等矩阵必可分解为两个对称矩阵的乘积.证明 由引理3知，存在可逆矩阵，使得，即令.则，即它们是对称矩阵，且.在引理7中我们知道幂等矩阵与数量矩阵的和是可逆矩阵，但斜幂等矩阵却与数量矩阵的差是可逆矩阵.如下：性质2.7 设是斜幂等矩阵，对，则是可逆矩阵，且.证明 由题设知，则有从而有是可逆矩阵，且.由此可以得出以下结论：推论2.1 设是斜幂等矩阵，则可逆，且.3 多个斜幂等矩阵的运算性质性质3.1 设是斜幂等矩阵，且两两可交换.则当为奇数时，也是斜幂等矩阵；当为偶数时，是幂等矩阵.证明 由于是斜幂等矩阵，且两两可交换，则所以当为奇数时，；当为偶数时，.即结论成立.推论3.1 设是斜幂等矩阵，

12、.则当为奇数时，是斜幂等矩阵；当为偶数时，是幂等矩阵.引理8中研究的是当两个矩阵都为幂等矩阵时，它们所具有的性质.而当两个矩阵都为斜幂等矩阵时，它们也具有类似的性质.即性质3.2 设均为斜幂等矩阵，则有以下结果：1）为斜幂等矩阵的充分必要条件是；2）若为斜幂等矩阵，则；3）若，则；4）若，则存在阶可逆矩阵，使得与都为对角矩阵，且主对角上的元素为0或；5）若，对任意实数且，则或；6）若，则可逆，且.证明 1）“必要性”由于，且，则故，即.又所以，且，即.“充分性” 由于，且，则即结论得证.2）由于，且，则 则有 （3.2.1）对（3.2.1）式左乘，有，即.对（3.2.1）式右乘，有，即.从而有

13、.3)由于，且，则即结论得证.4）设的秩为，则由引理3知，存在可逆矩阵，使得 （3.2.2）令，则由得由此得，其中为阶子块. （3.2.3）但，故因此.于是由引理3知，存在可逆矩阵与，使得 （3.2.4） （3.2.5）令,则由及（3.2.2）（3.2.3）（3.2.4）（3.2.5）式可得即结论得证.5）由题设知,且,则有两边同乘以得从而有或，即或.6）由题设知道，,则有从而由可逆，且.除了以上的一些关于斜幂等矩阵的性质外，我们在对照引理9的基础上研究斜幂等矩阵的等价条件，即4 斜幂等矩阵的等价条件定理 设的秩为，则下列命题彼此等价：1）是斜幂等矩阵；2）设，其中为维非零列向量，则；3）方阵

14、为对合矩阵；4），其中是的值空间中任一向量；5）存在可逆矩阵，使得；6）存在可逆矩阵，使得；7）；8）；9）；10）；11）.证明 具体证明思路；.现证明如下设，为一常数.又矩阵为斜幂等矩阵，即，则所以，即由于为n维非零向量，所以，所以，即.故.由于,则,又因为，所以,故是对合矩阵.由于，则,从而有故是斜幂等矩阵.因为，所以可以令，又由于,故有，即.由于的秩为，则令中列线性无关，且令为齐次线性方程的一个基础解系.则是n个线性无关的列向量.若不然，则它们线性相关，从而必有其中与是两个不全为零的数组.由可得所以矛盾，由此，可作得可逆矩阵再由，可得故.由于，则故结论得证. 因为的秩为，且由6）知，所

15、以.作下列矩阵运算又矩阵与都可逆.故又由7）知，则作下列矩阵运算又矩阵与都可逆.，故又由7）知，则由引理10得1）式知由于，则，从而有又由8）可知 ，则故.要证,我们只需证.即.由于中各列都是的这些列线性表出的，所以中的各列都属于.又因为,而中的各列都属于.所以中的各列都属于.从而中各列都属于.又由10）可知.所以，即.故是斜幂等矩阵 由引理10中2）式知 由于，则.所以由上式可得又由9）可知则，故.类似上述证法，要证，只需证.由于中各行都是由的这些列线性表出的，所以中各行都属于.又因为,从而中各行都属于.所以中各行都属于.又由11）可知，.所以，即.故是斜幂等矩阵.结束语： 矩阵在代数学中占

16、据非常重要的地位，关于矩阵的研究国内外都已经有很大的成果，但关于斜幂等矩阵的研究成果却很少. 通过以上对斜幂等矩阵性质的研究，可以知道斜幂等矩阵与幂等矩阵所得的性质平行，但也有差异.单个斜幂等矩阵的性质与幂等矩阵的性质大致相同，不同的是：幂等矩阵与数量矩阵的和是可逆矩阵，而斜幂等矩阵却与数量矩阵的差是可逆矩阵；幂等矩阵的秩等于它的迹，但斜幂等矩阵的秩等于它的迹的相反数.同样的，多个斜幂等矩阵的性质与幂等矩阵的性质也是平行，有区别的是可数个斜幂等的乘积未必就是斜幂等矩阵.斜幂等矩阵的等价条件是在与幂等矩阵等价条件的对照下得出的，所以它们也是相仿的.但它们的主要差异是符号，矩阵满足的是幂等矩阵，而

17、矩阵满足的是斜幂等矩阵.也就是若矩阵是斜幂等矩阵，则就是幂等矩阵.所以若在已有的幂等矩阵结论的基础上研究斜幂等矩阵就会事半功倍.致谢：首先，感谢我们的指导老师晏瑜敏老师对我们选题、确定方向、内容等的指导，并指导我们对参考文献的阅读.在这期间，帮我确定论文方向，找到写这篇论文的思路，并对这篇论文的进展情况进行了耐心的询问，还与我共同讨论，所以，这篇论文的落定必须感谢晏老师。其次，要感谢我们数学系为我们提供的各种优惠条件，比如免费为我们提供数学实验室里的电脑等等。再次，感谢对这篇论文给予我帮助的所有同学，他们在我对论文写作过程中，帮我分析思路，提出看法。参考文献： 1 陈孝娟等. 关于斜幂等矩阵的

18、一些秩的等式J聊城大学学报，2007，20（4）：21-25.2 陈孝娟等. 用广义逆刻画斜幂等阵的性质J商丘师范学院报，2008，24（9）：25-27.3 肖润梅. 幂等矩阵的概念及性质J雁北师范学院学报，2003，19（5）：55-57.4 田冬梅. 有关幂等矩阵性质的探讨J科技信息（科学教研），2007，29：470-471.5 游学民. 实幂等矩阵的性质探讨J襄樊职业技术学院学报，2003，2（4）：16-17.6 钟太勇等. 幂等矩阵与幂等变换性质探讨J郧阳师范高等专科学校学报，2005，25（3）：14-15.7 周士藩. 关于幂等矩阵的一些等价命题J宁夏大学学报，1982，02：41-45.8 王秀芳. 幂等矩阵的性质研究J连云港师范高等专科学校学报，2007，3：47-48.9 钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京：中央民族大学出版社，2002：150.10 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M. 北京：高等教育出版社，2003：304.