全国统考2022版高考数学大一轮复习第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法2备考试题文含解析

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1、第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法1.2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考已知Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an-3n(nN*),则()A.an为等比数列B.an为摆动数列C.an=32n+1-9D.Sn=62n-3n-62.2020唐山市模拟已知Sn为数列an的前n项和,3Sn=an+2,则数列Sn()A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项3.2021陕西省部分学校摸底检测已知数列an的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1+1,则Sn=.4.2021河北衡水模拟已知在数列an中,a1=-ln 2,an+1=an+lnn+1n

2、+2,则an=.5.2021江苏南通模拟已知数列an是首项为2,公比为3的等比数列,若数列bn满足b1=a1,bn+1=anbn,则bn的通项公式bn=.6.2021安徽安庆检测在数列an中,a1=1,an=2an-1+ln 3(n2),则数列an的通项公式an=.7.2021长春市第一次质量监测双空题已知数列an的前n项和Sn=10n-n2,数列bn的每一项都有bn=|an|,设数列bn的前n项和为Tn,则T4=,T30=.8.2020贵阳市第二次适应性考试双空题在数列an中,a1+2a2+3a3+nan=2n,则a4=,数列ann+1的前n项和为.9.2020安徽六校联考已知正项数列an的

3、前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2,则数列an的通项公式为.10.2020惠州市二调已知数列an的各项均为正数,a1=2,an+1-an=4an+1+an,若数列1an+1+an的前n项和为5,则n=()A.119B.120C.121D.12211.条件创新已知数列an满足an=ncosn2,bn=an+an+1,则数列bn的前50项和为.12.双空题已知数列an满足a1=12,a2=1,2an+2+an=3an+1,则an=,若数列bn满足bn=(2-n)(an-32)2,则bn的最大值为.13.条件创新已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,当n2时,an2+2SnSn-1=n-1

4、.若am+am+1+at-1+at=1(m2)且t-m=21,则m=.14.2021八省市新高考适应性考试已知各项都为正数的数列an满足an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列an+an+1为等比数列.(2)若a1=12,a2=32,求an的通项公式.答 案第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法1.D解法一因为Sn=2an-3n(nN*),所以当n2时,Sn-1=2an-1-3(n-1),两式相减得an=2an-3n-2an-1+3(n-1)=2an-2an-1-3,即an=2an-1+3,所以an+3=2(an-1+3)(n2),又当n=1时,a1=2a1-3,得a1=3,所以数列an

5、+3是首项为6,公比为2的等比数列,所以an+3=62n-1,即an=32n-3,所以Sn=62n-3n-6.故选D.解法二当n2时,an=Sn-Sn-1,所以Sn=2an-3n=2(Sn-Sn-1)-3n,即Sn=2Sn-1+3n,则Sn+3n+6=2Sn-1+3(n-1)+6(n2),当n=1时,S1=2S1-3,得S1=3,所以数列Sn+3n+6是首项为12,公比为2的等比数列,所以Sn+3n+6=122n-1=62n,即Sn=62n-3n-6.故选D.2.A因为3Sn=an+2,当n2时,3Sn-1=an-1+2,所以当n2时,-得3an=an-an-1,即an=-12an-1.又当n

6、=1时,3S1=3a1=a1+2,所以a1=1,所以数列an是以1为首项,-12为公比的等比数列,即an的各项为1,-12,14,-18,116,-132,因此数列an的最大项为首项1,最小项为第二项-12.又3Sn=an+2,所以数列Sn的最大项为1,最小项为12.故选A.3.12(1+3n-1)因为2Sn=an+1+1,所以2Sn=Sn+1-Sn+1,即Sn+1=3Sn-1,所以Sn+1-12=3(Sn-12).因为a1=1,所以S1=1,所以S1-12=120,所以数列Sn-12是以12为首项,3为公比的等比数列,所以Sn-12=123n-1,所以Sn=12(1+3n-1).4.-ln(

7、n+1)由题设得an+1-an=lnn+1n+2,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=-ln 2+ln 23+ln34+lnnn+1=ln(122334nn+1)=ln1n+1=-ln(n+1).当n=1时,a1=-ln 2也满足上式.故所求an=-ln(n+1).【解后反思】当n2时,本题还可以借助“正负抵消”简化求解过程:由题设得到an+1-an=lnn+1n+2=ln(n+1)-ln(n+2),所以an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=-ln 2+(ln 2-ln 3)+(ln 3-ln 4)+ln n-ln(n+1)=-ln(n+1).5.2n3(n-1

8、)(n-2)2由题设可得b1=2,bn+1bn=an=23n-1,所以当n2时,bn=b1b2b1bnbn-1=2(230)(231)(23n-2)=2n30+1+(n-2)=2n3(n-1)(n-2)2.当n=1时,b1=2也满足上式.故bn=2n3(n-1)(n-2)2.【易错警示】上述解析中对2(230)(231)(23n-2)的化简极易出错,应注意分组思考:因式中的数字“2”一共出现了n次,所以是2n,而对于30313n-2的化简,则需要充分运用指数运算法则aman=am+n.6.(1+ln 3)2n-1-ln 3,nN*由an=2an-1+ln 3得到an+ln 3=2(an-1+l

9、n 3),则an+ln 3是以a1+ln 3为首项、2为公比的等比数列, 所以an+ln 3=(1+ln 3)2n-1,所以an=(1+ln 3)2n-1-ln 3,nN*.7.24650当n=1时,a1=S1=9,当n2时,an=Sn-Sn-1=10n-n2-10(n-1)-(n-1)2=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(nN*),所以当n5时,an0,bn=an,当n5时,an0,所以an-an-1-1=0,即an-an-1=1(n2).又a1=2,所以数列an是以2为首项、1为公差的等差数列,所以an=2+(n-1)1=n+1.10.B由题意得an+12-an2=4

10、,a12=4,所以数列an2是以4为首项、4为公差的等差数列,则an2=4+(n-1)4=4n,因为数列an的各项均为正数,所以an=2n,则1an+1+an=12n+1+2n=12(n+1-n).故数列1an+1+an的前n项和为12(2-1)+12(3-2)+12(n+1-n)=12(n+1-1),则12(n+1-1)=5,所以n=120.故选B.11.-52由an=ncosn2,得bn=an+an+1=ncosn2+(n+1)cosn+12=ncosn2-(n+1)sinn2,则b4n=4ncos 2n-(4n+1)sin 2n=4n,b4n-1=(4n-1)cos(2n-12)-4ns

11、in(2n-12)=4n,b4n-2=(4n-2)cos(2n-1)-(4n-1)sin(2n-1)=2-4n,b4n-3=(4n-3)cos(2n-32)-(4n-2)sin(2n-32)=2-4n,所以b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n=4,于是数列bn的前50项和b1+b2+b3+b48+b49+b50=12(b1+b2+b3+b4)+b413-3+b413-2=124+2-413+2-413=-52.12.32-(12)n-118由2an+2+an=3an+1,得an+2-an+1=12(an+1-an),又a2-a1=12,an+1-an是以12为首项、12为公比的等比数列,

12、an+1-an=12(12)n-1=(12)n,则an-an-1=(12)n-1,an-1-an-2=(12)n-2,a2-a1=12,累加得an-a1=12+(12)2+(12)n-2+(12)n-1=121-(12)n-11-12=1-(12)n-1,又a1=12,an=32-(12)n-1,bn=(2-n)(an-32)2=(2-n)32-(12)n-1-322=n-22n.由bn+1-bn=n+1-22n+1-n-22n=3-n2n+10得n3,由bn+1-bn=3-n2n+13,所以b1b2b5bn,故bn的最大值为b3=b4=18.13.50或53当n=2时,a22+2S2S1=1

13、,即a22+2(1+a2)=1,得a2=-1.又当n2时,an=Sn-Sn-1,则Sn2+Sn-12=n-1,则Sn+12+Sn2=n,所以Sn+12-Sn-12=1,又S1=1,S2=0,则S12,S32,S52,是首项为1、公差为1的等差数列,S22,S42,S62,是首项为0、公差为1的等差数列,当n为奇数时,Sn2=1+(n+12-1)1=n+12,当n为偶数时,Sn2=0+(n2-1)1=n2-1,因而am+am+1+at-1+at=St-Sm-1=Sm+21-Sm-1,易知m+21与m-1同奇同偶,当同为奇数时,Sm+21-Sm-1=m+222-m2=1,得m=50,当同为偶数时,Sm+21-Sm-1=m+212-1-m-12-1=1,得m=53.14.(1)因为an+2=2an+1+3an,nN*,所以an+2+an+1=3(an+1+an),nN*,又数列an各项都为正数,所以an+1+an0,所以an+2+an+1an+1+an=3.所以数列an+an+1为等比数列,公比为3.(2)由(1)知an+1+an=(a1+a2)3n-1=23n-1,则an+1=-an+23n-1,an+1-3n2=-(an-3n-12),nN*,又a1-31-12=0,所以an-3n-12=0,所以an=3n-12,nN*.