全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十一空间位置关系的判断与证明文含解析

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1、专题检测（十一） 空间位置关系的判断与证明A组“633”考点落实练一、选择题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件.故选B.2.(2019福州市第一学期抽测)已知m为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若m，则mB.若m，则mC.若m，则mD.若m，则m解析：选A对于A

2、，利用线面垂直的性质与判定定理、面面平行的性质定理，可得m，A正确；对于B，若m，则m与平行或m在内，B不正确；对于C，若m，则m与平行或m在内，C不正确；对于D，若m，则m可以在内，D不正确.故选A.3.在正三棱柱ABCA1B1C1中，|AB|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为()A.30 B.60C.75 D.90解析：选D将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角.设BB1，则BCCD2，BCD120，BD2，又因为BC1C1D，所以BC1D90.故选D.4.(2019长沙市统一模拟考试)设a，b，c表

3、示不同直线，表示不同平面，下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab.真命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析：选A由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据ab，b，可以推出a或a，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出a与b平行、相交或异面，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出ab或a与b异面，故是假命题.所以真命题的个数是1.故选A.5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面A

4、DC平面ABC.其中正确的结论是()A. B.C. D.解析：选B由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，结合知正确；由知不正确.故选B.6.(2019湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，G为BF的中点，则在正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C该正四面体如图所示，取AD的中点H，连接GH，EH，则GHAB，所以HGE为直线EG与直线BC所成的角.设该正四面体的棱长为2，则HEEG，GH1.在HEG中，由

5、余弦定理，得cosHGE.故选C.二、填空题7.(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：.证明如下： m， 根据线面平行的性质定理，知存在n ，使得mn.又 l， ln， lm.证明略.答案：(或)8.若P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下四个命题：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正确的个数是_.解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正确的只有.答案：9.(2018全国卷

6、)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_.解析：如图，SA与底面成45角，SAO为等腰直角三角形.设OAr，则SOr，SASBr.在SAB中，cos ASB，sin ASB，SSABSASBsin ASB(r)25，解得r2，SAr4，即母线长l4，S圆锥侧rl2440.答案：40三、解答题10.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ABAD，AA14，DC2AB，ABAD3，点M在棱A1B1上，且A1MA1B1.已知点E是直线CD上的一点，AM平面BC1E.(1)试确定点E

7、的位置，并说明理由；(2)求三棱锥MBC1E的体积.解：(1)点E在线段CD上且EC1，理由如下.在棱C1D1上取点N，使得D1NA1M1，连接MN，DN(图略)，又D1NA1M，所以MN綊A1D1綊AD.所以四边形AMND为平行四边形，所以AMDN.因为CE1，所以易知DNEC1，所以AMEC1，又AM平面BC1E，EC1平面BC1E，所以AM平面BC1E.故点E在线段CD上且EC1.(2)由(1)知，AM平面BC1E，所以V三棱锥MBC1EV三棱锥ABC1EV三棱锥C1ABE46.11.(2019石家庄市模拟一)如图，已知三棱锥PABC中，PCAB，ABC是边长为2的正三角形，PB4，PB

8、C60.(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比.解：(1)证明：在PBC中，PBC60，BC2，PB4，由余弦定理可得PC2，PC2BC2PB2，PCBC，又PCAB，ABBCB，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，则VFACESACEh1SABChSABChVPABC.三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为12.12.(2019重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥PABCD中，CADABC90，BACADC30，

9、PA平面ABCD，E为PD的中点，AC2.(1)求证：AE平面PBC；(2)若四面体PABC的体积为，求PCD的面积.解：(1)证明：如图，取CD的中点F，连接EF，AF，则EFPC，又易知BCDAFD120，AFBC，又EFAFF，PCBCC，平面AEF平面PBC.又AE平面AEF，AE平面PBC.(2)由已知得，V四面体PABCABBCPA，可得PA2.过A作AQCD于Q，连接PQ，在ACD中，AC2，CAD90，ADC30，CD4，AD2，AQ，则PQ .PA平面ABCD，PACD.又AQPAA，CD平面PAQ，CDPQ.SPCD42.B组大题专攻强化练1.(2019兰州市诊断考试)如图

10、，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PCD为正三角形，BAD30，AD4，AB2，平面PCD平面ABCD，E为PC的中点.(1)证明：BEPC；(2)求多面体PABED的体积.解：(1)证明：BD2AB2AD22ABADcos BAD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD，BDCD.平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，BD平面PCD，BDPC.PCD为正三角形，E为PC的中点，DEPC，PC平面BDE，BEPC.(2)如图，作PFCD，EGCD，F，G为垂足，平面PCD平面ABCD，PF平面ABCD，EG平面ABCD，PCD为正三角形，CD2，PF3，EG，V

11、四棱锥PABCD2234，V三棱锥EBCD22，多面体PABED的体积V43.2.(2019昆明市诊断测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD平面ABCD，ADBD6，AB6，E是棱PC上的一点.(1)证明：BC平面PBD；(2)若PA平面BDE，求的值；(3)在(2)的条件下，三棱锥PBDE的体积是18，求点D到平面PAB的距离.解：(1)证明：由已知条件可知AD2BD2AB2，所以ADBD.因为PD平面ABCD，所以PDAD.又PDBDD，所以AD平面PBD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD，所以BC平面PBD.(2)如图，连接AC交BD于F，连接EF，

12、则EF是平面PAC与平面BDE的交线.因为PA平面BDE，所以PAEF.因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，所以.(3)因为PD平面ABCD，所以PDAD，PDBD，由(1)(2)知点E到平面PBD的距离等于BC3.因为V三棱锥EPBDV三棱锥PBDE18，所以PDBD318，即PD6.又ADBD6，所以PA6，PB6，又AB6，所以PAB是等边三角形，则SPAB18.设点D到平面PAB的距离为d，因为V三棱锥DPABV三棱锥PABD，所以18d666，解得d2.所以点D到平面PAB的距离为2.3.(2019郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BA

13、D，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB.(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE

14、于点H，过H作HGPF交PC于G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.4.(2019东北四市联合体模拟一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置.(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离.解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB ，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d.