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1、10-2细长压杆的临界力实验指出，压杆的临界力与两端的支承情况有关。本节先研究两端铰支细长压杆的临界力。（一）两端铰支细长压杆的临界力设计两端为球铰约束，杆长L，选坐标系如图10-4（a）所示，杆的最小抗弯刚度EImin= EIz（简写为EI）。 根据前面所述，当轴向压力P增大至临界值PLj时，压杆的直线形状平衡将由稳定开始变为不稳定；此时，在轻微的横向干扰力撤去后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，又可认为临界力是压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力。可见，欲研究临界力，应从微弯状态的挠曲线入手。由第七章知，当杆内应力不超过比例极限p时，压杆挠曲线方程y=y(x)应满足下述关系式由图10-4
2、(b)知，压杆任一x截面的挠度为y，弯距为故该杆的挠曲线近似微分方程为 （a）令 （b）则（a）式改为 （c）该方程的通解为 （d）式中，积分常数A、B以及k（含临界力P）均为未知数，其值应由压杆的位移边界条件和变形状态确定。 两端铰支压杆的位移边界条件为 在x=0处，y=0（e） 在x=L处，y=0（f）将条件（e）（f）分别代入式(d),得 (g)及 (h)式（g）和（h）为未知量A和B的二元线性齐次方程组。若A与B均为零，则与推导临界力的前提条件（微弯状态）不符。欲使A、B不同是为零（即非零解），则其系数行列式必等于零，记为： 可以将D(k)=0，称为细长轴向受压杆的临界了特征方程。展开
3、此方程可求解临界力，即由 （j）将（b）式代入上式得 (k)由于n是0,1,2,3，等正整数中的任一整数，故（k）式表示：使压杆在弯曲状态下平衡的压力，在理论上是多值的。根据临界力是使压杆失稳的最小轴向压力这一概念，可见，应取n=1（若取n=0，则P=0，与讨论的前提不符），代入式（k）得 (10-1)上式为两端球铰的细长压杆的临界力公式，又称欧拉公式。由上式可知，临界力PLj与杆的抗弯刚度EI成正比，与杆长L的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界力愈小，愈容易失稳。上面从压杆处于微弯状态的挠曲线近似微分方程出发，推导出了两端球铰的细长压杆临界力公式。下面再补充讨论几个问题。1.为了求出使压
4、杆失稳的最小压力，对于球铰约束压杆，即当各方向约束性质均相同时，式（10-1）中的轴惯性矩I，必须取最小值Imin因为压杆失稳时总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲。2.在式（10-1）所决定的临界力PLj作用下，两端球铰压杆的挠曲线形状，可由（g）式及（d）式得出为 又由（j）式及n=1得 （1）上式表明，两端球铰压杆临界力状态的挠曲线形状近似为一条半波的正弦曲线。将代入式（1），得 可见，积分常数A表示压杆中点处的挠度。A是一个微小的数值，也是一个不定值。这一情况可用图10-5中的虚线AB表示，即当时，y=0，压杆保持直线形状的稳定平衡，P与ymax的关系是直线OA；而P=PLj时，P与ym
5、ax的关系成为水平线AB。进一步研究表明，如果从挠曲线的精确微分方程 入手，则不存在上述A值的不确定问题。这时可以找到中点挠度ymax与轴向压力P之间的理论关系，如图10-5中的曲线OAC所示。并且P值的微小增加，将带来挠度迅速增长。3.上面的讨论中，是以理想的轴向受压直杆为基础的，但实际压杆不可避免地存在有不同程度的初曲率，载荷也不可能毫不偏斜地沿轴线作用，由于上述不利因素的影响，压杆在较小的压力P下即开始弯曲，只是当P远低于PLj时，弯曲增长较慢，且P与挠度ymax之间为线性关系（图10-5中，曲线OD的直线部分），当P接近PLj时，弯曲增长加快。若压杆愈接近理想模型情况，则实际曲线OD与理论曲线OAC愈接近。（二）其它支承情况下压杆的临界力杆端的约束情况不同，压杆的临界力也不相同。表10-1中，列出了几种典型约束情况下细长压杆的临界力公式。由表可知，各种细长压杆的临界力公式基本相似，只是分母中L前的系数不同。为了应用方便，将以上公式统一写为如下形式： (10-2)上式为欧拉公式的一般形式。式中，称为长度系数，L称为相当长度或计算长度。长度系数值，取决于杆端约束情况。由表10-1可见，杆端约束愈强，即值愈小，则杆的相当长度愈短，相应的临界力就愈高；反之，杆端的约束愈弱，即值愈大，则压杆临界力就愈低。表10-1 常见典型约束条件下细长压杆的临界力公式
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