《2018年高考数学一轮复习考点一篇过专题42曲线与方程理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学一轮复习考点一篇过专题42曲线与方程理（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、考点42曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的
2、解为坐标的点都在曲线上一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程三、两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.考向一考查曲线与方程的概念判断曲线与方程的关系时，把
3、握两个对应关系：（1）曲线上的每个点都符合某种条件；（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.典例1方程表示的曲线是A一个圆和一条直线B半个圆和一条直线C一个圆和两条射线D一个圆和一条线段【答案】C典例2 方程y=-对应的曲线是【答案】A【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.1方程x2+xy=x表示的曲线是A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线考向二直接法求轨迹方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记
4、为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性典例3已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.【解析】如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,得,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,，即，化简得.又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.2在平面直角坐标系中，已知点，若满足条件,则动点的轨迹方程为 .考向三定义法求轨迹方程求轨迹方程时，若动点
5、与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制典例4已知圆A，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切.（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求MN的最小值.其方程为.（2）设MN的方程为，代入双曲线方程，得.由，解得.设,则，当时,.故MN的最小值为6.3设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段
6、AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为ABCD4动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.考向四相关点法求轨迹方程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程典例5已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程.【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为
7、(0，y0).因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，则x0x，y0.又点M在圆C上，所以，即，所以动点Q的轨迹方程为.典例6已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. (2)由(1)得e=,设M(x,y),P(x,y0),x-4,4.由=e得=e2=,故16(x2+)=9(x2+y2)(*).由点P在椭圆C上得,代入(*)式并化简得9y2=112.故点M的轨迹方程为y
8、=(-4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段.5如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.考向五参数法求轨迹方程若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法. 参数法求轨迹方程的步骤：（1）选取参数k，用k表示动点M的坐标（2）得出动点M的参数方程.（3）消去参数k，得m的轨迹方程（4）由k的
9、范围确定x，y的范围典例7如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9.连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).（1）求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为41,求直线l的方程.设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.（2）依题意,直线l的斜率存在,设直
10、线l的方程为y=kx+10.由得,此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设,则，因为SOCM=4SOCN,所以|x1|=4|x2|.又x1x20,所以x1=-4x2,分别代入和,得，解得k=.所以直线l的方程为y=x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二：（1）点Pi(iN*,1i9)都在抛物线E：x2=10y上.证明如下：过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.由解得Pi的坐标为(i,).因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条
11、抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y.（2）同解法一.6过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且|BM|MA|=12,则动点M的轨迹方程为.考向六圆锥曲线中的对称问题圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.
12、圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法.典例8若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围.【解析】解法一：如图,当m=0时,直线l:y=0恰好是抛物线的对称轴,满足题设条件.当m0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上关于直线l对称的两点,则PQ的中点是M(,).设直线PQ的方程是y=x+b.由消去x,得y2+2my-2mb=0(*).综上可知,所求m的取值范围为(-,).解法二(点差法)：当m=0时,同解法一.当m0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y2=2x上关于直线l对称的两点,线段PQ的中点M的
13、坐标为(x0,y0).点P,Q在抛物线上,=2x1,=2x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),即2y0(y1-y2)=2(x1-x2),(x1x2).直线PQl,kPQkl=-1,m=-1,即m+y0=0.又点M在直线l上,y0=m(x0-2).由,得点M的坐标为(1,-m).P,Q为抛物线上的两点,点M在抛物线的内部,m22,解得-m|AC|=2，则可知点M的轨迹就是椭圆，且2a=5，2c=2，结合椭圆的性质可知b=,故其方程为. 4【解析】设动圆圆心P(x,y),过点P作PDl于点D,作直线l:x=2,过点P作PDl于点D,连接PA.因为动圆P与定圆A:(x+2
14、)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,所以|PA|=1+|PD|,即点P到点A的距离比它到直线l:x=1的距离大1.故点P到点A的距离与它到直线l:x=2的距离相等,即|PA|=|PD|.根据抛物线的定义,知点P的轨迹是以点A为焦点,以直线l:x=2为准线的抛物线,其方程为y2=-8x.【名师点睛】解决此类问题务必要关注直线l与定圆的位置关系,该例中直线l在圆A的右侧且相离,因此动圆P仅在直线l的左侧,动圆圆心P的轨迹自然是抛物线,倘若直线l与定圆相切,其动圆圆心的轨迹就不仅是抛物线了.时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以,代入方程,得
15、,整理得x2+y2=56,这就是所求的点Q的轨迹方程.6【答案】12x+15y-74=0【解析】设过点P2的直线方程为y-7=k(x-2)(k0),则过点P1的直线方程为y-5=-(x-1),所以A(5k+1,0)，B(0,-2k+7).设M(x,y),则由|BM|MA|=12,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.当k=0时,易得A(1,0),B(0,7),则M(,),也满足上述方程.故点M的轨迹方程为12x+15y-74=0.7【解析】(1)由,得(3-a2)x2-2ax-2=0.由题意,得,即-a1,且|PO|=R+1,|PC|=R-1.又|OC|=3,|PO|-|PC|=22)【
16、解析】设AB的中点为M(x0,y0),联立,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,则y0=,x0=,消去k得-=x0,因为,所以k2,所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x2).点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且，c5，.双曲线方程为.11【解析】（1）e=2，c2=4a2，c2=a2+3，a=1，c=2，双曲线方程为，渐近线方程为y=x.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）.,=10，=10.又=，=，2x=+，2y=+，=（），=（），=10,3（2y）2+（2x）2=100，即为M的轨迹方程.则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，
17、长轴长为，短轴长为的椭圆.故椭圆的标准方程为.设，因为，所以，所以.又点在已知椭圆上，故为动点的轨迹方程（2）椭圆的右焦点，设直线的方程是，与联立，可得，设，则，由题意，满足方程，由方程的根与系数的关系可得：，点到直线的距离，于是的面积为，当且仅当，即时取到等号故的面积的最大值是. 直通高考1【答案】【解析】因为原点O到两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为，即面积不大于，所以正确故填因此点P的轨迹方程为（2）由题意知设，则，由得，又由（1）知，故所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x，y)的轨迹方程
2018年高考数学一轮复习考点一篇过专题42曲线与方程理
