第一章弹性力学基本理论

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1、1第一章弹性力学基础理论2 本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问线弹性问题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机这些是进行机械结构有限元分析的重要力学理论基础。械结构有限元分析的重要力学理论基础。要求要求:学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等

2、。本章概述本章概述3弹性力学（弹性力学（Elastic Theory）弹性力学是一门基础学科弹性力学是一门基础学科，弹性力学是固体力学弹性力学是固体力学(solid mechanics)的一个分支，的一个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确其基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时的形状、物理性质、受力情况和边界条件时,确定其任一点的应确定其任一点的应力、应变状态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领力、应变状态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领

3、域的结构分析中域的结构分析中,都需要应用弹性力学的基本理论。都需要应用弹性力学的基本理论。1.1.1 弹性力学及其基本假设弹性力学及其基本假设4弹性力学与材料力学的区别弹性力学与材料力学的区别材料力学材料力学弹性力学弹性力学研究对象几何形状杆状构件杆状构件杆、板、壳、块、杆、板、壳、块、三维体三维体描述方程常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程求解难易程度容易容易困难困难适用范围窄窄宽宽 弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大差别。5 弹性力学是一门基础理论，弹性力学是一门基础理论，把弹性力

4、学理论直接用于工程把弹性力学理论直接用于工程问题分析具有很大的困难，问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方其主要原因主要是在于它的基本方程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发探讨近似解法是弹性力学发展中的一个重要任务。展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分弹性力学问题的近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法，为解决

5、工程实际问题开辟了广阔的前景。限单元法，为解决工程实际问题开辟了广阔的前景。6 弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力应力、应变应变状态状态和和位移位移。弹性力学的研究对象是弹性力学的研究对象是理想弹性体理想弹性体，所谓理想弹，所谓理想弹性体应符合下述的五个假定。性体应符合下述的五个假定。7 五个基本假设五个基本假设理想弹性体理想弹性体

6、（1）连续性假定。连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理保证物体内一些物理量（应力、应变、位移等）的连续性量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连续函数来描述。（2）完全弹性假定。）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将保证物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关与加载的历史和加载顺序无关。8五个基本假设五个基本假设理想弹性体理想弹性体（3）均匀性假定。

7、均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个保证整个物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。（4）各向同性假定。）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。（5）小位移和小变形的假定。）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物

8、体变形前的保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。9（1）外力）外力作用于物体的外力通常可分为两类：作用于物体的外力通常可分为两类：面力面力(Surface Force)体力体力(Body Force)10 面力面力是指分布在物体表面上的外力，是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的

9、接触压力等等。通常情况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。在物体表面P点处取一微小面积S，假设其上作用有表面力F，则P点所受的表面力定义为SSSFQ0lim T,SXYXYZZQ （1.1）（1.2）通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即11 体力体力(Body Force)一般是指分布在物体体积内的外力一般是指分布在物体体积内的外力，作用于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小体积V，假定其上作用有体力R，则P点所受的体力可定义为VRQ0limVV 一般也是用各

10、坐标方向上的分量来表示体力，即T,VXYXYZZQ（1.3）（1.4）12 物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加”内力。若假想用一经过物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，移去其中的一部分B。显然，在截面mn上必定有某种力存在使A平衡，这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力。（2）内力）内力图1-1 物体内任意点处的应力 B m n P A G T y x z o A 13 所谓一点处某个截面上的应力所谓一点处某个截面上的应力(Stress)就是指该截面上的就是指该截面上的“附加内力附加内力”，即应力是应力是内力在该点处的集度内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截

11、面mn上P点处取一微小面积A，假设作用于A上的内力为G，则 图1-1 物体内任意点处的应力（1.5）B m n P A G T y x z o A AGT0limAT就是P点处的应力。通常将应力沿截面A的法向和切向进行分解，相应的分量就是常用的正应力和剪应力。它们满足222nnnT（1.6）1.1.3 应力应力14 在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的不同方向截面上的应力是不同的。只有同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。o y z x y z y x z zx x zy yx yz zy zx xy xz yz x

12、y yx xz P A C B 图1-2 微小正方体元素的应力状态 如图1-2所示，正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表示。这样，用9个应力分量来表示正方体各面上的应力，即zzyzxyzyyxxzxyxij（1.7）其中，为正应力，下标表示作用面和作用方向；是剪应力，第一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。应力状态应力状态15 应力分量的符号规定：应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的

13、负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。（1.8）剪应力互等定理：剪应力互等定理：xyxyzxzxzyyz 6个独立的应力分量个独立的应力分量 Txyzxyyzzx16 物体在外力作用下，其形状要发生改变，变形(Deformation)指的就是这种物体形状的变化。因此，为了考察物体内某一点处的应变应变(Strain)，可在该点处从物体内截取一单元体，研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况。对于微分单元体的变形，将分为两部分讨论：（1）棱边长度的伸长量棱边长度的伸长量，即正应变(或线应变,Linear Strain)（2）两棱边间夹角的改变量两棱边间夹角的改

14、变量（用弧度表示），即剪应变（或角应变,Shear Strain）。17 在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即 xuxx相应地，y轴方向的正应变为：yuyyx-y 平面内的剪应变：12tan;tanyxuuxy（1.9）（1.10）（1.11）(a)x方向的线应变方向的线应变 (b)y方向的线应变方向的线应变 (c)xy面内的剪应变面内的剪应变图图 1-3 应变的几何描述应变的几何描述 18yuxuxyxy21因此，剪应变xy为应变分量的矩阵型式xxyxzyxyyzzxyyz（1.12）（1.13）除了上面的两种应变，还有一种体

15、积应变(Volume Starin)。体积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变的大小等于三个线应变的和，即zyxVV（1.14）19 弹性体在外力作用下产生应力场，弹性体内任意一点的应力状态可以用6个应力分量描述。一点的应力状态与所选定的坐标系相关。以下从应力坐标变换、任意截面的应力分解实现对一点的应力状态进行分析，并介绍主应力等概念。20图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换z 用一个斜面切过实体，并与三个互相垂直的坐标面相交，就会隔离出关于一点的四面体单元。设 轴为斜面的外法线，和 与该斜平面相切，和 构成新的直角坐标系。斜面的外法线方向角定义为 ，和 ，即 轴分别与x，

16、y，z轴的夹角。如图1-4，这些夹角的余弦值定义为 轴的方向余弦。分别为：xyzxy x xyxzxxxxxxncosyxyxncoszxzxncos（1.15）三个方向余弦满足如下关系：1222zxyxxxnnn（1.16）21 相应地，分别求解 ，轴的方向余弦，新坐标系三个轴向的方向余弦写成如下矩阵形式zzyzxzzyyyxyzxyxxxnnnnnnnnnT T T即为应力变换矩阵。根据静力学平衡条件可知T TT其中，TT是 T的转置矩阵。,分别为新坐标系和原坐标系下的一点的应力矩阵。yz（1.17）（1.18）图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换22例题：例题：如该坐标系先绕z轴旋转4

17、5，然后再绕新的x轴旋转30，试确定该点在新的坐标系下的应力矩阵。MPa某一点在xyz坐标系内的应力状态已知，其应力矩阵如下 522246268zyxzyx1000cossin0sincos111（a）解：对于每一次旋转，都可以通过一系列的坐标变换得到弹性体表面的法线向量，并可将该法向向量分别投影到x,y,z轴，得到三个方向上的向量分量。其中第一次旋转得到的向量分量为23（b）zyxcossin0sincos0001111zyx=将第一式代入上式，可得第二次旋转确定了xyz坐标，它们与 坐标的关系如下111zyxzyxcossin0sincos00011000cossin0sincoszyx=

18、cossincossinsinsincoscoscossin0sincoszyx=（c）24将 和 代入，得到变换矩阵T，为将T代入式(1.18)，解得变换后的应力矩阵 453023424221464602222TT T20.871.200.371.280.420.500.320.500.4MPa25图1-5 一点的应力状态 XN N y P A C B z x xz zx xy yz yx xy ZN YN x y z o 设平面ABC的外法线为N，而N的方向余弦为cos(N,x)=nx，cos(N,y)=ny，cos(N,z)=nz （1.19）可见，如果把平面ABC的外法线N作为变换后的

19、任一坐标轴，则上面方向余弦对应变换矩阵的一行。用应力变换的方法可快速求得平面ABC上的正应力 n222222xxyxzxnxyzyxyyzyzxzyzzxxyyzzxyxyyzyzzxzxnnnnnnnnnn nn nn n（1.20）(1)用坐标变换法求任意截面上的应力用坐标变换法求任意截面上的应力26（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力）用静力平衡推导法求任意截面上的应力见图1-5，由平衡条件 Fx=0，得 即0 AnAnAnATzxzyxyxxxn =xnxxyy xzz xTnnn同理，还可得到另外两个相似的方程：zzyzyxzxznzyzyyxyxynzxzyxyxxxnnnnT

20、nnnTnnnT 该方程称为柯西应力公式柯西应力公式（Cauchys stress formula）。公式描述了弹性体内任一点P的6个应力分量，与通过P点任一平面上的应力之间的关系。（1.21）（1.22）图1-5 一点的应力状态 XN N y P A C B z x xz zx xy yz yx xy ZN YN x y z o 27（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力）用静力平衡推导法求任意截面上的应力由上述公式很容易求出平面ABC上的全应力：故有222222zzyzyzxxyzzyyxyxzxzxyyxxznynxnnnnnnnnnnnTTTT（1.23）而平面ABC上的正应力则可通

21、过 ，三个分量投影后合成得到，或参考公式(1.20)，即xnTynTznT222222nxxnyynzznxxyyzzxyxyyzyzzxzxn Tn Tn Tnnnn nn nn n因为全应力 与正应力、剪应力之间满足如下关系(见式1.6）nT222nnnT22nnnT（1.24）（1.25）（1.26）28（1）主应力的定义）主应力的定义 在过一点的所有截面中，存在着三个互相垂直的特殊截面，在这三个截面上仅有正应力。这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点应力的主方向。由柯西应力公式，可得zyynxxnn

22、TnTnTzn ,zzyyzxxzzznzyzyyxxyyynzxzyxyxxxxnnnnnTnnnnTnnnnT 设一主方向的方向余弦为nx，ny，nz，因为在主平面上没有剪应力，可用 代表该主平面上的全应力，则全应力在x,y,z轴的投影可表示为0)(0)(0)(zzyyzxxzzyzyyxxyzxzyxyxxnnnnnnnnn（1.28）（1.27）（1.29）29将此行列式展开，得到一个关于应力的一元三次方程因为 ，即 不全为0，上述方程组中 有非平凡解的条件是其系数矩阵的行列为0，即1222zyxnnnzyxnnn,zyxnnn,0)()()(zyzxzyzyxyxzxyx322222

23、22-()(-)-(2-)0 xyzx yy zz xxyyzzxx y zxy yz zxx yzy zxz xy （1.30）（1.31）可以证明，该方程有三个实根，而这三个根就是P点处的三个主应力。将主应力分别代入（1.28），结合（1.29）式便可分别求出各主应力方向的方向余弦。还可以证明，三个主方向是相互垂直的。30（2）应力不变量）应力不变量方程式(1.31)中，的系数以及常数项记为定义为第一，第二，第三应力不变量。(1.31)可表示为,2zyxI1xzxxzzzyzzyyyxyyxxzxyzxyxzzyyxI2222zyzxzyzyxyxzxyxxyzzxyyzxzxyzxyzy

24、xI22232321,III032213III（1.35）31 一点的应力状态可以用六个直角应力分量组成的矩阵来表示：应力不变量可以用主应力表示成：xxyxzxyyyzxzyzz123000000321313322123211;III（1.36）也可以通过选择主坐标作为参考坐标，用主应力组成的矩阵来表示：32（3）摩尔圆）摩尔圆 弹性体内任一点的应力状态可以用摩尔圆来表示，一点的应力状态的具体值在阴影区域表示。主应力按代数值排列 ，以 和 为坐标轴的横轴和纵轴，沿着 轴标记出 和 ，接着画三个圆，直径分别为(),()和(),如图1-6所示 图1-6 应力摩尔圆32121,3213231 用摩尔

25、圆图形可显示任一可能截面上的应力，如图1.6阴影区，这个阴影区叫做摩尔应力的平面，这三个圆就叫作摩尔圆。从图中可以得出以下结论：（1）主应力用图上点A，B和C来表示，这些点相应的剪应力为0。（2）最大剪应力为 ，对应的正应力为 ，可用图上D点表示。2/)(312)(31 （3）对于正应力有三个极限值和所对应的平面叫主应力平面，主剪应力有2)(;2)(;2/)(213312321（1.38）33 一般情况下物体内不同的点将有不同的应力。各点的应力分量都是点的位置坐标（x,y,z）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体积力

26、分量之间的关系式，即平衡微分方程。这是弹性力学基础理论中的一个重要方程式。图1-7 微小单元体的应力平衡A B B D D C C x xxxdx yx zxzxzdz zx yxyxydy x z y A 根据平衡方程，有，0 Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx整理得xyxzxxyzX 0（1.39）（1.40）34同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即xyxzxxyyzyxzyzzxyzXxyzYxyzZ 000得,0AAM022)(22)()()(22)()(2)(2dydxdydydxdydzzdxdxdy

27、dxdxdydzzdxdzdyydxdzdyydxdxdzdxdxdzdyydydzdxdxxdydydzdxxdydydzzxzxzxzyzyzyyxyxyxyxyyyxyxyxxx（1.41）（1.42）35展开这个式子，略去四阶微量，整理后得到或0dxdydzdxdydzyxxyyxxy同理，得zyyz和xzzx将上面三个式子联立，得到任意一点处应力分量的另一组关系式yxxyzyyzxzzx这个结果表明：任意一点处的六个剪应力分量成对相等，即剪应力互等定理剪应力互等定理 xyzxyyzzx为便于表示，一点的九个应力分量写成应力列阵，（1.43）（1.44）（1.45）36 弹性体受到外力

28、作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫做Cauchy几何方程(Geometrical Equations)。从物体内P点处取出一个正方微元体，其三个棱边长分别为dx、dy、dz，如图1-8所示。当物体受到外力作用产生变形时，不仅微元体的棱边长度会随之改变，而且各棱边之间的夹角也会发生变化。为研究方便，可将微元体分别投影到三个坐标面上。图1-9为投影到xoy 面的情况。图1-8 微元体zyxdzdydxodxdyvuyoAABDCBCDxuxdxvxdxuydyvydy图1-9 位移与应变37据此，可以求得 根据线应变（正应变）的定义

29、，AB线段的正应变为 A Bdxuxdxvxdx222 xA BABAB 因 ，故由上式可得 ABdx A BABdxxx11代入(1.46）式，得22222xxuxuxvx 由于只是微小变形的情况，可略去上式中的高阶微量（即平方项）。xux 当微元体趋于无限小时，AB线段的正应变就是P点沿x方向的正应变。用同样的方法考察AD线段，则可得到P点沿y方向的正应变。（1.46）（1.47）（1.48）（1.49）38式中 与1相比可以略去，故 现在再来分析AB和AD两线段之间夹角（直角）的变化情况。在微小变形时，变形后AB线段的转角为yvy xuxvdxxudxdxxvtg 1 uxxv 同理，A

30、D线段的转角为 uy由此可见，AB和AD两线段之间夹角变形后的改变（减小）量为xyvxuy （1.50）（1.51）（1.52）（1.53）（1.54）39几何方程完整表示如下：,xyzxyyzzxuxvywuvwvuwvzvuxyzxyyzxywvyzuwzx ,Tuwzx（1.55）把AB和AD两线段之间直角的改变量 xy 称为P点的角应变（或称剪应变），它由两部分组成，一部分是由y方向的位移引起的，而另一部分则是由x方向位移引起的；并规定角度减小时为正、增大时为负。40例题例题1-4考虑位移场 ，求在P(1,0,2)的直角坐标应变分量是多少？解：在(1，0，2)线应变为22210)64(

31、3kxyzjiys2210 yu2103yzv2210)64(xw0 xu0 xv21012xxw2102yyu2103zyv0yw0zu2103yzv0zw0;106;02zwyvxuzyx4122101210120000000 xwzuywzvxvyuxzyzxy 在(1，0，2)剪应变为42（1）应变的直角坐标分量表达及坐标变换）应变的直角坐标分量表达及坐标变换一点的应变矩阵xyxzxxyyzyxzyzz 假如弹性体一点P的6个应变分量已知，可以计算出任意PQ方向的线应变。设PQ方向与坐标轴的夹角方向余弦为 ,和 ，可推导出PQ方向的线应变xnynznzxxzzyyzyxxyzzyyxx

32、PQnnnnnnnnn222（1.56）（1.57）),(,zxxzzyyzyxxy43（1）应变的直角坐标分量表达及坐标变换）应变的直角坐标分量表达及坐标变换可以像应力分析那样用变换矩阵快速求出任意PQ方向的线应变。（1.58）zxxzzyyzyxxyzzyyxxzyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxPQnnennennennnnnneeeeeennn222222有时用弹性应变矩阵来表示一点的应变状态，表达方法如下xyxzxxyyzyxzyzzeeeeee)(2121xvyuexyxy其中，44（2）主应变）主应变 对于弹性体内任一点，存在这样一个面，在该面内只有线应变没有剪应变，该线应

33、变称之为主应变，该平面法线方向称之为主应变方向（或主应变轴）。任一点都有三个互相垂直的主平面。通常情况下，对于各向同性的材料主应变平面与主应力平面重合。这里利用弹性应变矩阵直接写出主应变的求解式。求解式为其中032213JJJzyxJ1xxzzxzzzyyzyyyxxyxeeeeeeJ2zzyzxyzyyxxzxyxeeeeeeJ3（1.59）45 变形协调方程也称变形连续方程或相容方程，它描述应变分量之间所存在的关系。在弹性力学中，我们认为物体的材料是一个连续体，它是由无数个点所构成，这些点充满了物体所占的空间。物体在变形前后都是连物体在变形前后都是连续的续的。设想把一个薄板划分成许多微元体

34、，如图1.13 所示。如果六个应变分量之间没有关联，则各微元体的变形便是相互独立的。(a)(b)(c)(d)图图1-13 变形协调的讨论变形协调的讨论,yvxuyxxvyuxy六个应变分量之间的关系可以分两组来讨论。有几何方程46对于几何方程的剪切应变与位移关系式)()(2232222322xvyxxyvxyuyxyxuyyxyxxvyuyxxyxyyx 222222zuxwywzvxvyuzxyzxy,xzvyzuzxy22yxwzxvxyz22zyuyxwyzx22yxwzyxxyzxyz22yxzyxwzyxzzxyzxyz2322)(（1.60）（1.61）（1.62）（1.63）（1

35、.64）前两式分别对y、x求二阶偏导数 求偏导 消位移分量 对z求偏导 47 综上两组公式将得到应变分量之间的如下六个微分关系式，即变形协调方程（1.65）xzyxzyzyxzyxyxzyxzxzzxzyyzyxxyyzxyzxyxyzxyzxzxyzxyzzxxzyzzyxyyx2222222222222222222)(2)(2)(上述方程从数学上保证了物体变形后仍保持为连续，各微元体之间的变形相互协调，即各应变分量之间满足一定的相容性协调条件。48 本节讨论应力与应变关系的方程式，即物理方程（Physical equation）。物理方程与材料特性有关，它描述材料抵抗变形的能力，也叫本构方

36、程(Constitutive equation)。本构方程是物理现象的数学描述，是建立在实验观察以及普遍自然原理之上的建立在实验观察以及普遍自然原理之上的。对物理现象进行准确的数学描述一般都十分复杂甚至不可行，本本构关系则是对一般真实行为模式的一种近似构关系则是对一般真实行为模式的一种近似。另外，本构方程本构方程只描述材料的行为而不是物体的行为只描述材料的行为而不是物体的行为，所以，它描述的是同一点的应力状态与它相应的应变状态之间的关系。491.7.1 广义胡克定律广义胡克定律 （1）广义胡克定律的一般表达式 在进行材料的简单拉伸实验时，从应力应变关系曲线上可以发现，在材料达到屈服极限前，试件

37、的轴向应力 正比于轴向应变，这个比例常数定义为杨氏模量E，有如下表达式 E弹性体剪切应力与剪应变也成正比关系 GE2 1 对于理想弹性体，可以设6个直角坐标应力分量与对应的应变分量成线性关系，Dzxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211（1.72）（1.73）（1.74）50 上式即为广义胡克定律的一般表达式。这里 描述了应力和应变之间的关系，对于线弹性材料，式（1.74）可进一步变为,

38、1,2,6ijai j 111213212223313233445566000000000000000000000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxaaaaaaaaaaaa（1.75）51 对于各向同性的线弹性材料，在工程上，广义胡克定律常采用的表达式为 对于剪应力和剪应变，线性的各向同性材料的剪应变与剪应力的关系是yxzzxzyyzyxxEEE111yxzzxzyyzyxxEEE121112111211Gxyxy（1.78a）式中，G剪切模量。2(1)EG（1.76）（1.77）52 这样，一点的六个应力分量和六个应变分量之间的关系可以用如下矩矩阵形式来表示GyzyzGzxzxxx

39、yyzzxyxyyzyzzxzxD（1.78b）（1.78c）（1.79）其它剪应变与其相应的剪应力的关系为 53 式中，D弹性矩阵，它是一个常数矩阵，只与材料常数杨氏模量E和泊松比 有关。其表达式为。对于二维问题，有1111111120001122 11200002 112000002 1ED2101011002ED（1.80）xxyyxyxyD以及，SYM541D（1.81）由式(1.79)可知这里，可表示为1D11000100010002(1)000002(1)000002(1)00000EEEEEEEEEEEED（1.82）55 对于用主应力和主应变表示的情况，应力应变之间有关下物理方

40、程)(1)(1)(1213313223211EEE（1.83）56 弹性体的基本方程包括平衡微分方程、几何方程（变形协调方程）、物理方程，上述方程分别描述了体积力、应力、位移、应变等量值之间的关系，详见表1-1。各类基本方程之间可进行转换，而这些转换是求解弹性力学问题的基础。本节将对上述方程进行必要的转换，推导出用位移表达的平衡微分方程。方程名称方程名称所描述的量值关系所描述的量值关系平衡微分方程体积力 应力几何方程位移 应变物理方程应力 应变表1-1 弹性力学基本方程与所描述的各物理量 x轴方向的应力平衡微分方程为 0 xyxxzXxyz（1.84）由表1-1可知，要推导用位移表达的平衡微分

41、方程，即是要建立起体积力同位移之间的关系。57xwzuxvyuxuxzxyx,（1.86）（1.87）（1.88）式(1.85)代入式(1.84):进一步替换：整理得：由物理方程可知111 2xxyzE xyxyGxzxzG，（1.85）2(2)01 2xyxxzGGXxxyz上式可认为是用应变表示的平衡微分方程。下面再用几何方程 222222222(2)01 2GuuvuwGXxxyx yzx z 2222222()()012GuuuuvwGGXxxyzxxyz58其中考虑到体积应变的公式 xyzuvwxyz 考虑由另外两式 导出的平衡微分方程，经过类似推导可得到另外两个用位移表示的平衡微分

42、方程。定义拉普拉斯算子0,0zyFF2222222zyx（1.89）（1.90）（1.91）最后得到：2222222()()()012GuvwuuuGGXxxyzxyz2222()01 22()01 22()01 2GGGuXxGGGvYyGGGwZz59 弹性力学分析中的边界条件是一个重要概念，只有将边界条件引入才能得到相应的力学问题的求解。边界条件一般可以分为应力边界条件和位移边界条件。有些情况下一个弹性体还可能同时存在上述两种边界条件，称之为混合边界条件。zzyzyzxxyzzyyxyxzxzyxyxxnnnZnnnYnnnX 上式即为物体应力边界条件的表达式。（1.92）如果考察位于物

43、体表面上的点，即边界点，显然，这些点的应力分量应与作用在该点处的外力相平衡。这种边界点的平衡条件，称为用表面力表示的边界条件，也称为应力边界条件。在应力边界问题中，可以建立面力分量与应力分量之间的关系。弹性体边界上的点同样满足柯西应力公式，设弹性体上一点面力为 ，由柯西应力公式有1.8.1 应力边界条件应力边界条件60 例例1-2 设一弹性体受力状态为平面应力状态(),如图1-11所示，P1和P2为边界上的点，在这两点分别作用用面力 和 ，写出P1和P2两点的应力边界条件。图1-9 弹性体边界微分单元应力0yzxzz(1)P1点的应力边界条件，由柯西公式yyxxyyyxyxxxnnFnnFP1

44、点的方向余弦为 代入柯西公式有yyxyyxyxyxxFF1010111)0cos(,0)90cos(11yxnn11(,)xyFF22(,)xyFF61 例例1-2图1-9 弹性体边界微分单元应力(2)P2点的应力边界条件。P2点的方向余弦为 代入柯西公式有22cos(0)1,cos(90)0 xynn221010 xxxyxyxyyxyFF 62 例题例题1-3 图1-12是重力水坝截面，坐标轴是Ox和Oy，OB面上的面力为 。求OB面的应力边界条件。图1-10 重力水坝截面解：OB面外法线方向余弦为0)90cos(,1)180cos(yxnn由柯西公式有10100 xxxxyyxxyyxy

45、xyyxyyFnnyFnn 所以应力边界条件为 0 xyxy,0,yxFyF63 对于一个弹性体，则往往只在其中一部分面积 上给定了外力，即前面所述的应力边界条件，而另一部分面积属于 上则给定的是位移，所给定的位移就是位移边界条件。现设 、和 表示给定的上的点在x、y和z轴方向的位移，则位移边界条件，在 上可表示为uSu=uvv w=w（1.93）SuSuvw通常情况下，我们经常遇到的问题是指定边界条件上位移为0。例例1-41-4，说明图1-13所示的平面悬臂梁的位移边界条件。解解:在悬臂梁的根部，位移边界条件为：0,0uv图1-13 平面悬臂梁64 工程实际中物体所受的外载荷往往比较复杂，一般很难完全满足边界条件。当所关心的并不是载荷作用区域内的局部应力分布时，可以利用圣维南原理加以简化。圣维南原理一般表述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(即主矢量相同、同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。还可表述为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(即主矢量及主矩都等于零)，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。应用圣维南原理不能离开“静力等效”的条件。P P P P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/A P/A(a)(b)(c)(d)图1-14 圣维南原理示意图