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1、河北定州中学2016-2017学年第二学期高三第2次月考数学试卷一、选择题1已知表示大于的最小整数，例如， ，下列命题中正确的是（ ）函数的值域是；若是等差数列，则也是等差数列；若是等比数列，则也是等比数列；若，则方程有2013个根.A. B. C. D. 2已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A. B. C. D. 3已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（），点在轴上的射影恰好是双曲线的右焦点，过点作双曲线两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为， ，若平行四边形的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 4在中， ， ， ， 是斜边上
2、的两个动点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 5已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6已知抛物线的焦点到准线的距离为，点与在的两侧， 且， 是抛物线上的一点， 垂直于点且， 分别交， 于点，则与的外接圆半径之比为（ ）A. B. C. D. 27已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 或9已知过抛物线的焦点的直线与抛物
3、线交于, 两点,且,抛物线的准线与轴交于点, 于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A. B. C. D. 10已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）A. B. C. 为减函数 D. 为增函数11函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12设函数是上的奇函数， ，当时， ，则时， 的图象与轴所围成图形的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题13已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为_14在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120，则此三棱锥的外接球的表面积为_15已
4、知函数（k是常数，e是自然对数的底数，e2.71828）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是_16某运动队对四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是或参加比赛”； 乙说：“是参加比赛”；丙说：“是都未参加比赛”； 丁说：“是参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是_三、解答题17已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， . 18设函数， = .（）求函数的单调区间；（）若函数有两个零点.(1)求满足条件的最小正整数的值；(2)求证
5、： .19已知函数.（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;（）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.20已知椭圆， 是坐标原点， 分别为其左右焦点， , 是椭圆上一点， 的最大值为（）求椭圆的方程;（）若直线与椭圆交于两点，且 （i）求证： 为定值; （ii）求面积的取值范围.21已知函数（， 为常数），函数（为自然对数的底）.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.22已知函数.（1）求在上的最大值和最小值；（2）设曲线与轴正半轴的交点为处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有.23已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， ， 是椭
6、圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.24已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明： .参考答案1D2C3A4C5D6B7A8B9A10A11C12A1314151617解析：（1）由题得，函数的定义域为， ，因为曲线在点处的切线方程为，所以解得.令，得，当时， ， 在区间内单调递减；当时， ， 在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）得， .由，得，即.要证，需证，即证， 设，则要证，等价
7、于证： .令，则，在区间内单调递增， , 即，故.18解析：（） 当时， 在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时 无单调减区间 当时，由，得， ，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （）（1）因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增， 在单调递减. 所以的最小值，即. 因为，所以.令，显然在上为增函数，且，所以存在. 当时， ；当时， ，所以满足条件的最小正整数. 又当时， ，所以时， 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数的值为3. （2）证明 ：不妨设，于是即，所以. 因为，当时， ，当时， ，故只要证即可，即证明， 即证，也就是证. 设令，则. 因为，所以， 当且仅当时，
8、 ，所以在上是增函数又，所以当总成立,所以原题得证19解：（1）由得故在上单调递增， 当时，由上知，即，即，得证. （2）对求导，得， 记， 由（）知，函数区间内单调递增， 又， ，所以存在唯一正实数，使得于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；当时， ， ，函数在区间内单调递增所以在内有最小值， 由题设即 又因为所以根据（）知， 在内单调递增， ，所以令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为20解：（1）由题意得，得椭圆方程为： （2）i)当斜率都存在且不为0时，设， 由消得， 同理得， 故 当斜率一个为0，一个不存在时，得综上得，得证。 ii) 当斜率都存在且不为0时， 又 所
9、以 当斜率一个为0，一个不存在时, 综上得21解：（1） ，由得： ，记，则，由得，且时， ， 时， ，所以当时， 取得最大值，又，（i）当时， 恒成立，函数无极值点；（ii）当时， 有两个解， ，且时， ， 时， ， 时， ，所以函数有两个极值点；（iii）当时，方程有一个解，且时， 时， ，所以函数有一个极值点；（2）记 ，由， ，由，又当， 时， ， 在区间上单调递增，所以恒成立，即恒成立，综上实数的取值范围是.22【解析】（1）由，可得.令，解得，或.当变化时， 的变化情况如下表：所以， 在， 上单调递减，在上单调递增.（2）设点的坐标为，则， .曲线在点处的切线方程为，即.令，则，所
10、以，由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时， .当时， ，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有.故对于任意的正实数，都有.23【解析】（1）设椭圆的方程为，.依题意得解得， .所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知， ， .令， ， ， ， ，由题知， ， .从而，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.故不存在符合题意的直线.24解：（1）的定义域为，且，当时， ，此时的单调递减区间为.当时，由，得；由，得.此时的单调减区间为，单调增区间为.当时，由，得；由，得.此时的单调减区间为，单调增区间为.（2）当时，要证： ，只要证： ，即证： .（*）设，则，设，由（1）知在上单调递增，所以当时， ，于是，所以在上单调递增，所以当时，（*）式成立，故当时， .
河北省定州中学高三下学期第二次月考4月数学试题
