最全面的函数的奇偶性知识总结及练习题

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1、函数的奇偶性 中山七 欧阳志平 【教学目标】一、 知识目标1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；2、掌握判定和证明奇偶性的方法；3、学会利用函数的奇偶性解决问题 二、能力目标培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。三、 情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】1、 理解奇偶性的定义；2、 掌握判定方法；3、 学会利用函数的奇偶性解题。【教学难点】灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、 对称区间上函数的单调性的判断。【考点

2、分析】1、 考查判断函数的奇偶性的能力；2、 利用函数奇偶性的图像解题；3、 利用函数的奇偶性求解析式；4、 利用函数奇偶性求单调区间。【知识点梳理】一、函数奇偶性的概念1函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） 或必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后

3、下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在时有定义，则2、主要方法：(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； (2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，

4、(4)、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2. 函数的奇偶性的性质对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立；可逆性: 偶函数； 奇函数；等价性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称；可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【典型例题】题型一 判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；（4）f(x)=.思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定

5、义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解答过程：解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数f(x)=x4是偶函数.（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x4是奇函数.（3）函数的定义域是(-,0)(0,+)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，所以函数f(x)=x+是奇函数.（4）函数的定义域是(-,0)(0,+)，对定义

6、域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)= 是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.变式一 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.f(x)f(-x)是奇函

7、数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数思路分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+

8、f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D变式二 设是(，)上的奇函数，当0x1时，则等于( )A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5解析： 0.5答案：B解析： 这里反复利用了和，后面的学习我们会知道这样的函数具有周期性题型二 利用函数奇偶性求函数解析式例2已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当x(-,0)时，f(x)=x-x4，则当x(0,+)时，f(x)=_.思路分析：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0

9、,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-,0)上的自变量对应的函数值.解答过程:当x(0,+)时，则-x0时，f(x)=x2+，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；当x0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-(-x)2+=-x2+，综上所得，f(x)=例3已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为( )A.1 B.1 C.2 D.2解析：f(x)x2ax4，f(x1)(x1)2a(x1)4x22x1axa4x2(2a)x5a，f(1x)(1x)2a(1x)4x22x1aax4x2(a2)x5a. f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，a22

10、a，即a2.题型三 函数的奇偶性与单调性综合例4已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数。(1)证明：对任意的有：(2)若求实数的取值范围。解答过程：解：(1)证明：若，显然不等式成立；若，则在上是奇函数又是减函数，原不等式成立同理可证当时原不等式也成立。(2)解：由得，即由函数在上是单调减函数，故有所以，所求的取值范围是。点评： (1)函数的单调性广泛应用于比较大小，解不等式，求参数的范围，最值问题中，应引起足够的重视。变式一：已知偶函数在区间单调增加,则满足的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：由于是偶函数,故得，再根据的单调性， 得|21| 解得. 变式二：已知奇函数在区间3,7上

11、是增函数,且最小值为5,那么函数在区间7，3上是 ()A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5解析：f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称f(x)在3,7上是增函数，f(x)在7，3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为5，由图可知函数f(x)在7，3上有最大值5.题型四 图形、单调性综合利用例题5。（2004年上海卷）设奇函数f（x）的定义域是-5，5。当时，f（x）的图象如图 ，则不等式f（x）0的解是_。 例题6 、定义在2，2上的偶函数g（x），当x0时，g（x）单调递减，若g（1m）g（m），求m的取值范围.解：由g（1m）

12、g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1m|）g（|m|）.又g（x）在（0，+）上单调递减，|1m|m|，且|1m|2，|m|2，解得1m.题型五 抽象函数的奇偶性例7.函数的定义域为，且满足对于任意，有 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明；解：（1）令，得； （2）令，得，令，得 ，即为偶函数点评：赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有0，1，1，2，2，等等例8 已知函数在(1，1)上有定义，1，当且仅当0x1时0，且对任意x、y(1，1)都有，试证明： (1) 为奇函数；(2) 在(1，1)上单调递减解答过程：证明：(1) 由，令xy0，得0，令yx，得0， 为奇函数(2

13、)先证在(0，1)上单调递减令0x1x21，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f()0x1x21，x2x10，1x1x20，0，又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x1+1)0x2x11x2x1，01，由题意知f()0，即f(x2)f(x1)在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)0在(1，1)上为减函数点评：这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定的范围是解题的焦点变式练习1.已知函数对一切，都有， 求证：是奇函数；解：（1）显然的定义域是，它关于原点对

14、称在中，令，得，令，得，即， 是奇函数题型四利用函数奇偶性求值例9. 已知且,那么_.解：设，则为奇函数，于是有，从而有 即：令，得，又，故【巩固练习】1.函数 上述函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.2.（2011年安徽理科卷）设是定义在上的奇函数，当时，则（ ）3 1 1 33.如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值是5，那么在区间7，3上（ ）A.是增函数且最小值为5 B.是增函数且最大值是5C.是减函数且最小值为5 D.是减函数且最大值是54.已知函数= x5a x3b x8，且0，则等于（ ）A.16 B.18 C.10 D.105.若在5，5上是奇函数，且，则（ ）A.

15、B. C. D. 6.已知函数，则 的奇偶性依次为（ ）A奇函数，偶函数，奇函数 B非奇非偶函数，奇函数，偶函数 C奇函数，奇函数，奇函数 D奇函数，非奇非偶函数，奇函数7.（2011年广东理科卷）设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是是偶函数是奇函数是偶函数是奇函数8.（2009年陕西文科卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有则 （ ）A 9.（2009年四川文科卷）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 10.设与的定义域是， 是偶函数，是奇函数，且，求与 的解析式【课后作业】一、选择题1已知函数f

16、（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）ax3bx2cx（）A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数2已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b03已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x22x，则f（x）在R上的表达式是（）Ax（x2）By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）4已知f（x）x5ax3bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26B18C10D105函数是（）A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数6若f(x)，g（x）都是奇函数，F(x)=af(x)+bg

17、(x)+2在（0，）上有最大值5，则F（x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3二、填空题7函数的奇偶性为_（填奇函数或偶函数）8若y（m1）x22mx3是偶函数，则m_9已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_10已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）0的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围12已知函数f（x）满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且f（0）0，试证f（x）是偶函数13.已知函数f（x）是奇函

18、数，且当x0时，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表达式14.f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明15.设函数yf（x）（xR且x0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1x2）f（x1）f（x2），求证f（x）是偶函数【拓展训练】1.已知且,那么_.2.若f(x)a是奇函数，则a_.3.已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.4.设是定义在上的奇函数，且当时, ,则_.5.若函数是奇函数，则的值为 -3 6.已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为 7.设函数是奇函数.

19、若则 -3 . 8.已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数 -1 .【巩固练习】答案1. B 2.A 3.B 4.A 5.C6.D 7.A 8.A 9. 解析：若0，则有，取，则有： 是偶函数，则 由此得于是，故选 A10. 解析： 是偶函数， 是奇函数，由 ，有 又 由得， 【课后作业】答案1解析：f（x）ax2bxc为偶函数，为奇函数，g（x）ax3bx2cxf（x）满足奇函数的条件答案：A2解析：由f（x）ax2bx3ab为偶函数，得b0又定义域为a1，2a，a12a，故选A3解析：由x0时，f（x）x22x，f（x）为奇函数，当x0时，f（x）f（x）（x22x）x22xx（x2）即

20、f（x）x（|x|2）答案：D4解析：f（x）8x5ax3bx为奇函数，f（2）818，f（2）818，f（2）26答案：A5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（x）f（x）0答案：B6解析：、g（x）为奇函数，为奇函数又f（x）在（0，）上有最大值5，f（x）2有最大值3、f（x）2在（，0）上有最小值3，f（x）在（，0）上有最小值1答案：C7答案：奇函数8答案：0解析：因为函数y（m1）x22mx3为偶函数，f（x）f（x），即（m1）（x）22m（x）3（m1）x22mx3，整理，得m09解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得，联立，答案： 10答案：0 11答案：12证

21、明：令xy0，有f（0）f（0）2f（0）f（0），又f（0）0，可证f（0）1令x0，f（y）f（y）2f（0）f（y）f（y）f（y），故f（x）为偶函数13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力f（x）x32x21因f（x）为奇函数，f（0）0当x0时，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21因此，点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析：任取x1x25，则x1x25因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即单调减函数点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化15解析：由x1，

22、x2R且不为0的任意性，令x1x21代入可证，f（1）2f（1），f（1）0又令x1x21，f1（1）2f（1）0，f（1）0又令x11，x2x，f（x）f（1）f（x）0f（x）f（x），即f（x）为偶函数点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1x21，x1x21或x1x20等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可 （2）x-1【拓展训练】答案1解：设，则为奇函数，于是有，从而有 即：令，得，又，故2解：f(x)aa，f(x)f(x)a2a1，故a.3解析：解法一：f(x)为奇函数，定义域为R，f(0)0a0a.经检验，当a时，f(x)为奇函数解法二：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即a.2a1，a.4解析：设x0，则x0，f(x)2x3f(x)，故f(x)32x，所以f(2)3221.