矩阵多项式的性质讨论毕业论文

《矩阵多项式的性质讨论毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵多项式的性质讨论毕业论文（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、矩阵多项式的性质讨论摘 要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。关键词： 矩阵多项式 特征多项式 最小多项式 特征值 秩 迹Matrix to discuss the nature of polynomialAbstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the cha

2、racteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions. Key words: Matrix

3、polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue. 目 录1 引言32 矩阵多项式的基本性质32.1矩阵多项式的特征值32.2矩阵多项式的秩52.3矩阵多项式可逆判定与求法总结72.4矩阵多项式的迹103 矩阵多项式性质的应用133.1矩阵多项式成为恒等式的应用133.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用14参考文献18谢 辞191 引言定义1：设是复数域的一个子域，记表示在上关于的所有多项式全体，记表示与的最大公因子(其中)。定义2：记表示上阶矩阵构成的矩阵集合。

4、取，记为的最小多项式（其次数），记为的特征多项式。表示的单位矩阵。定义3：, 则称为的多项式，显然若为矩阵，则无意义。定义4：，表示矩阵的秩，并把简计为。下面一切符号从上，除非有特别说明本文第一部分主要探讨的一些基本性质，第二部分则着重解决矩阵多项式在代数学中的应用。同时也给出本人的证明方法。2 矩阵多项式的基本性质矩阵多项式是矩阵分析中一个重要组成部分,也是控制论或系统工程的一个重要工具，它具有很多良好的性质，因此对矩阵多项式不同性质的讨论，可加深对矩阵理论的认识，使矩阵理论更具完备性。2.1矩阵多项式的特征值 定理1 设B 且具有n个不同的特征值,是n个任意给定的复数，则存在多项式 ，使得

5、是A=的特征值。证明:设B且具有n个不同的特征值,构造线性方程组 则该方程组的系数行列式为范德蒙行列式的转置，且互不相同，从而系数行列式不为零,由克莱姆法则知，该方程组有唯一解令 则的特征值是, 其中 定理2 设B且具有n个不同的特征值, ,则相似于对角矩阵。证明: 设B且具有n个不同的特征值为,则相似于对角矩阵,即存在n阶可逆矩阵,使得从而: 即相似于对角矩阵 .定理3 设B且具有n个不同的特征值，若可逆，则的逆矩阵也是的多项式。证明: 设B的特征值，则的特征值为，其中 由于可逆，故。的特征值为， 其中 ，由定理2，存在可逆矩阵， 使得 由定理1，存在多项式，使得特征值，所以:, 即是的多项

6、式。定理4: 设是具有不同特征值的n阶方阵，则相似于对角矩阵的充必要条件是：，使得与=相似。证明：（必要性）设相似于对角矩阵，的特征值为，由定理1知，存在多项式，使得=的特征值是，又由定理2知=相似于对角矩阵 ，而也与对角矩阵相似。由矩阵相似关系的传递性知：与相似。（充分性） 设 与=相似，其中 ，由定理2知，与对角矩阵相似，由相似关系的传递性知，与对角矩阵也相似。定理5：若是矩阵的特征值，则也为的特征值。推论：若的特征值为，则的特征值为。2.2矩阵多项式的秩命题1 设n阶矩阵满足， 则.命题2 设n阶矩阵满足， 则.实际上，命题1，命题2的逆命题也成立，但对于逆命题的证明，文献1中没有提到，

7、我们把以上的结果推广成下面的定理，并给出证明方法。定理1 设,是n阶矩阵，则的充分必要条件是 .证明: 由，存在，使，因此有，由 得 (1)又由 得 (2)由(1),(2)可得 (3)由(3)即得 .定理2 设，是数域上n维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是，这里表示上的恒等变换。证明: 由，不难证明 具体证明参见文献12，这里从略。于是 （必要性）若，则，于是有 注意到与，即得 （充分性）若，则 +由于为的子空间,故,因此有.2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结文10有这样的例子：例1：已知矩阵满足：求的逆矩阵。解：设,利用可得解非齐次线性方程组 可得 即得上例中求矩阵多项式的逆矩阵的

8、方法较繁琐且需要一定的计巧，下面的定理给出了此类矩阵求逆的一般方法。定理1 ，则可逆的充分必要条件是，此时有，使，且 .证明: 设为的全部特征值，且可逆，于是有,但，故与无公共零点，即.反之设与互素，则因为为零矩阵，所以对每个必有且，即无零特征值，从而可逆。根据代数定理，当与互素时，必有，使得 ，从而，即 特别地，当为一次多项式时，利用，是非零常数，可得 ，即 在例1中，利用辗转相除法可得： 所以有 .定理2 设 , , 则可逆的充要条件.证明： 设是的全部特征值，则为的全部特征值，于是可逆当且仅当。由于对每个，。所以每个，当且仅当.根据这一结果,当可逆时,利用即可由定理1中的方法求出逆矩阵。

9、例2 设矩阵,求的逆矩阵。 解 的特征多项式与是互素的,由定理2可知可逆,因为 , 所以,.下面给出从矩阵秩的角度推导出矩阵多项式可逆判定，而不用特征值性质进行推导：定理 3 记， ，且，则有证明： 由多项式理论知：有、满足：， 则有，注意到即知：显然若，则，从而可逆。因此有：推论1：，若则可逆。这是文6主要结果之一，文中已指出推论1中的仅是充分条件。定理 4 设，则.也可得到推论1:取即得即可逆。下面给出本人的证明证明： 由得：、满足：即显然 当且仅当.定理 5 设,则可逆.我们先看两个引理：引理 1 可逆（或）的常数项不为0.引理2 设,对任意,若可逆,则（这是文13最早得出，证明方法从略

10、。）证明： 由推论1知只需证其必要性令，则由定理3可知：可逆。从而由引理2可知：，不妨设，从而有即得 .这是文7主要结果，这里只是给出另外一种证法，文中指出的逆的求法，即可用辗转相除法判定与是否互素，若互素可得： ，从而有：。推论1：当时，则有是非零数,可得：.推论2：可逆.推论3：可逆. 推论4：，则可逆.证明： 显然，它与互素当且仅当.推论5： ，则可逆多项式常数项不为零。证明： 显然，它与互素当且仅当其常数项不为零。推论6：，则可逆.证明： 显然，它与互素当且仅当.下面对矩阵多项式可逆判定常用结论（按最早提出的时间顺序排列）归纳如下：令，为的所有特征值，且则以下命题是相互等价的:可逆 （

11、由文3最早给出）（由文3最早给出）的根与的特征根互异（由文13最早给出）（由文6最早给出）（由文10最早给出）至于具体证法与求法实例请读者参考相关文献。读者不妨按“ ”顺序证明。从略。2.4矩阵多项式的迹 本文仅给出文12中“两个未解决的问题”的参考答案，首先给出文12有关矩阵多项式的迹相关结论，具体证明请见文12.按文12符号说明：表示所有矩阵集；表示实对称正定矩阵集，表示系数为实数域上的多项式集；表示系数为非负实数域上的多项式集。命题1：，及，有： .命题2：，且.命题3：，,有 .命题4：，,有.命题5：有.命题6：，有 .命题7：，若，则有： .命题8:，若数列有界，则当时，级数绝对收

12、敛。命题9：有 .命题10：及或有 （1）.其中表示的导函数。文12中提出两个问题：问题1：命题10是否对于均成立？问题2：及是否有：（或）（2）其中 表示同类因子乘积,本文指出两个命题均不成立。首先给出下面引理：引理1： 。证明： 由矩阵多项式定义与多项式导数关系可知这是显然的。引理2：有：.从而当且时，有：.证明： 设的特征根为,则显然,当时，有，故.当，且时，由命题1及知 .引理3：，则.证明： 取，则问题1的反例如下：取，则， 可得显然有.这里说明一下构造反例的思路：在不等式（1）中，由引理2知： 时，则有：，且（1）式仅能取小于号。因此先令，再任意取的值，可得 ，且然后结合引理1及3

13、，取，即可得所要的反例.问题2的反例如下：取，用表示（2）中两式的关系，则（2）变为： 改为： （3）式取，（3）式左边值，右边值为，则取“”;取，则左边值为，右边值为，则取“”.这两个反例都说明了文12的两个假设都是不成立。3 矩阵多项式性质的应用本文已对矩阵多项式的性质做了系统的总结，接着利用这些性质来解决代数学中的一些问题提供形之有效的方法, 可进一步加深对矩阵理论的认识，使矩阵理论在代数学中具有更广泛的适用性.。3.1矩阵多项式成为恒等式的应用在高等代数或线性代数中，常常通过用定义来证明一些关于矩阵的恒等式，叙述相当烦琐，因此建立一个关于矩阵多项式的等式成为恒等式的定理来简化矩阵恒等式

14、的证明是有重要意义的，为此，先引入大家熟知的结果。引理： 设，是数域上的两个关于的多项式，如果，且，则.定理： 设是数域上的n个未定矩阵，表示数域上的一个关于的元素的多项式。如果当矩阵都可逆时，有 ，那么，对于任意矩阵均有.证明： 显然，我们只需对是多项式的情形证明定理即可。考察关于的元素的多项式，.因为当时，有，也即都可逆。所以由条件得，从而，；当时，也即不都可逆时，显然有.因此对任意k阶矩阵均有，也即.因而关于未定矩阵元素的多项式有.又多项式（因当均是可逆矩阵时，），因此由引理得：.上述定理表明，一个关于可逆矩阵成立的矩阵等式，必定是一个矩阵恒等式。例3 对数域的两个n阶矩阵和，求证 .证

15、明： 当、都可逆时，也可逆。并且，因此 . 令，则当、都可逆时，。根据定理得：对任意n阶矩阵、均有，也即，即得.3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用在学习和研究矩阵在相似标准形时，往往会碰到在相似变换下变换矩阵求解的问题。目前在高等代数或线性代数及一些参考书中在矩阵相似标准形的处理上，大多采用了初等因子、不变因子体系和从线性变换的不变子空间入手，在由线性变换和矩阵的对应关系予以解决，同时这套理论内容抽象、理论偏深，从中得到变换矩阵的求法也难以掌握。因此，通过矩阵多项式性质的有关知识给出变换矩阵的求法。定义： 对任一个n阶矩阵多项式，设 ，其中与 各为代入矩阵以时，多项式的右值与左值。引理1 当

16、右（左）除矩阵多项式以时，除得的余式为（）。证明： = = = 故当右除时，除得的余式为.同理可证 .引理 2 若与相抵，则它们是严格相抵的，即在恒等式 （1） 中，可以换与为与，其中与均可逆。证明： 若与相抵，则有（1）式成立。 由引理1，存在阵和，使得 成立，于是由（1）式得 整理后即为 因为右端的次数不超过1，所以 是一个数字矩阵，可以 ， （2） 由 再由是数量矩阵，故可用反证法证明，所以， 所以 ，所以由（2）式得.定理 若矩阵相似于，即存在可逆阵，使得成立，则可取，其中与是使恒等式成立的可逆阵。证明：设成立，则存在可逆阵阵、，使得成立。由引理2可得 从而得，亦即，其中.例4 求化矩

17、阵 为若当标准形的变换矩阵.解 用初等变换化为标准形 (4)时,所需的列初等变换依次为 的若当标准形是 化为标准形(4)式时,所需的列初等变换依次为 .对单位矩阵 依次施行列初等变换.可得 因此有 .参考文献1北京大学数学系编.高等代数M.（第三版）北京: 高等教育出版社,2003.2 姚慕生.高等代数学M .上海:复旦大学出版社,1999.3樊恽（等主编）.代数学辞典M . 华东师范大学出版社,1994, 355-555.4丘维声. 高等代数(下)M. 北京: 高等教育出版社,2003.5 W.Greub,Linear Algebra.M.Springer-Verlag,1984.6 彭雪梅

18、.矩阵多项式可逆性判定J.湖南:吉首大学高等数学研究,2000,(05):39-40.7 胡付高.一类矩阵多项式的性质J.湖北:孝感学院数学系学报,2007,(06):164-166.8 吴世轩.具有不同特征值的矩阵多项式J.江西:南方冶金学院学报,2002,(04):54-57.9 柯嘉.矩阵多项式的一个性质及其应用J.江苏:杭州教育学院学报,1995,(04):21-23.10 吴华安.矩阵多项式逆矩阵的求法J.大学数学,2004,(08):89-91.11 詹文正.谈矩阵多项式的应用J.工科数学,1994,(04):81-83.12谢霖铨,吕新民.关于矩阵多项式的迹J.南方冶金学院学报.,2000,(01):64-67.13赵晓萍,贝淑坤,李立斌.矩阵多项式的逆 J. 吉林师范学院学报,1999-5，203，9-10.18