离散傅里叶变换试题

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1、第一章离散傅里叶变换(DFT)填空题(1)某序列的DFT表达式为X(k) Kxn)WMM，由此可以看出，该序列时域的长n =0度为，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是.解：N；(2)某序列DFT的表达式是X (l)星双k)WM，由此可看出，该序列的时域长度 k=0是，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。解：n 25(3) 如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件解：纯实数、偶对称8(z 2 - z -1)(4) 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)=，则系统2 z 2 + 5 z + 2的极点为；系统的稳定性为。系统单位冲激响应h(n)的初值为

2、；终值h (8)。解：z1 = -2,z2 =-2 ；不稳定；h(0) = 4；不存在(5) 采样频率为FHz的数字系统中，系统函数表达式中z -1代表的物理意义是一，其中时域数字 s序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是； x(n)的N点DFT X(k)中，序号k代表的样值实际位置又是。2兀7解：延时一个采样周期T =1F，nT = nF，wk = r k k N则xn和(6)巳知 xn = $23,2,1; k = 0,1,2,3,45； hn = $,0,1,-1,0; k = 0,1,2,3,4)， hn的5点循环卷积为。解：xkhk = xk就k + 8k-2-5k-3(7)巳知

3、xn=xk + x(k - 2)5 - x(k - 3)5 = b,1,3,3,2;k = 0,1,2,3,4,2,0,2;k = 0,1,2,3),hn = Z,-2,1,-1;k = 0,1,2,3则 xn和hn的4点循环卷积为30 h3 h2h1-M0-4-11- 236 一h1h0h3 h2-1-24-1124h2h1h0h3x2=1-24-10=-3h3 h2 h1 h0M3-11- 2427解:(8)从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是()；从频域角度看是()。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断3.2选择题1. 若一模

4、拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号()【A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器解：A2. 下列对离散傅里叶变换(DFT)的性质论述中错误的是()是一种线性变换具有隐含周期性可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样D.利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析解：D3. 序列 x(n)=R5(n)，其 8 点 DFT 记为 X(k)，k=0,1,.,7，则 乂(0)为()。解：D4. 巳知 x(n)=6(n)，N 点的 DFTx(n)=X(k)，则 X(5)=()。A. NB. 1C. 0D. - N解：B5.

5、巳知 x(n)=1,其 N 点的 DFT x(n) =X(k),则 X(0)=()解：A6. 一有限长序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)可表达为：。k =0A. -1_1 X * (k)WNnk *B.才X(k)Wk 卜C.才切 X * (k)Wnk 卜k = 01归D. N 乙 X (k)Wnk *k = 0解：C7.离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k侑:A. X(k)=-X(k)B. X(k)=X*(k)C. X(k)=X*(-k)D. X(k)=X(N-k)解：D8.巳知 N 点有限长序列 X(k)=DFT x(n), 0Wn, kN,则 N 点 DF

6、T WNnl x(n)=( A. X (k +1) N Rn (k)B. X (k -1) nRn (k)C. WkmD. Wkm.N解：B9.有限长序列 x(n) = x (n) + x (n) 0 n N -1,则 x*(N - n)= epXop*A. x (n) + x (n)C. x (n) - x (n)解：ecopB. x (n) + x (N - n)D. xep (n) - xop (N - n)10.巳知 x(n)是实序列，x(n)的 4 点 DFT 为 X(k)= 1,-j,-1,j,则 X(4-k)为()A. 1, -j, -1, jB. 1, j, -1, -jC.

7、j, -1, -j, 1D. -1, j, 1, -j解：B11. X (k) = Xr (k) + jXr (k)，0 k -1)进行8点的圆周卷积，其中.线性卷积。A. N1 =3, N2 =4B. N件 N2 =4|C. N1=4, N2 =4D. N 1=5, N2 =5解：D15. 对5点有限长序列1 3 0 5 2进行向左2点圆周移位后得到序列（）A. 1 3 0 5 2B. 5 2 1 3 0C. 0 5 2 1 3D. 0 0 1 3 0解：C16. 对5点有限长序列1 3 0 5 2进行向右1点圆周移位后得到序列（）A. 1 3 0 5 2B. 2 1 3 0 5C. 3 0

8、 5 2 1D. 3 0 5 2 0解：B17, 序列x(n)长度为M,当频率采样点数NMM2M解：A21.一个理想采样系统，采样频率s=10 ，采样后经低通G(j )还原，G (jQ)= 150|Q| 5 兀设输入信号：x(t) = cos6t，则它的输出信号y(t)为：(a. y(t) = cos 位t ；C. y(t) = cos 6兀t + cos 4兀t ；b. y (t) = cos 4兀 t ；D.无法确定。解：B22.一个理想采样系统，采样频率s=8 ，采样后经低通G(j )还原，G(jQ) = j 04Q 4兀；现有两输入信号：气(t) = cos2兀t，x (t) = co

9、s7兀t，则它们相应的输出信号y1(t)和y2(t)：A. y1(t)和y2(t)都有失真;C. y1(t)和y2(t)都无失真;解：DB. y1(t)有失真，y2(t)无失真;D. y1(t)无失真，y2(t)有失真。23. 在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs，信号最高截止频率为fc，则折叠频率为()。22解：D24. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率fh应满足关系()。2/fh1/fhi1/fh1/(2fh)解：D25. 设某连续信号的最高频率为5kHz，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为Hz。()解：B26

10、. 如果使用5kHz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最高频率为 Hz。()解：A27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条()。(I )原信号为带限(II)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率)(III)抽样信号通过理想低通滤波器A. I、IIB. II、IIIC. I、ID. I、II、III解：D问答题（1）解释D FT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱答：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服 或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。$（2）在A/D变

11、换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率 一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形 输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。（3）用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应（4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。答：框图如下所示第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟

12、信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制 要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号（5）“ 一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。,答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知1Wf （at） F （j -）aa信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时 域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。（6）试述用DFT计算离散线性卷积的方法。答:计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补

13、零后两序列的DFT， 并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。(7)已知X(k)、Y(k)是两个N点实序列x(n)、y(n)的DFT值,今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值,为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意、()oX(#),y()oM) 取序列 Z(k) = X(k) + jY(k)对乙成)作n点IFFT可得序列。又根据DFT性质IDFTX(k) + jY(k) = IDFTX(k) + jIDFTY(k) = x(n) + jy(n) 由原题可知，*()，()都是实序列。再根据z()=、()+ Jy(n)，可得x(n) =

14、 Rez(n)(8)设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1, 1+j,该系统阶数至少为多少解：由线性相位系统零点的特性可知，式=1的零点可单独出现，Z = 0.8的零点需成对出现，即z=也是其零点之一，Z = l+j的零点需4个1组，其它三个Z=l J ,1+ J 1 JZ = 一 Z =，所以系统至少为7阶。计算题1.计算下列序列的N点DFT：(1)x(n)= 5 G)(2)xCz)=6(n-n ),0 n No ox(n)= a,Qn N-1(4)x(n)= cos(2ti )nm ,0n N ,0 n N,Q m NkN )(5)x(n)= u(n) u(n -

15、 n on No o(6)X)=4 + COS22兀n ,n In J解：(i)X(0=芸8心=8 (0) = 1,0 V k N-1,Nn=0(2)X(k)= -15 (n - n0)n % (n)Wnk = Wn0k ,0 k N -1n=0(3)X (k)K anWnkNn=01 - aNWNkN1 - aWkNX k)K cos(Nn=0mn)Wnk=2 如(ej j mnn=0+ e -j 艾 mn )e -j 二nk1 1 e - j 2i(k -m )1 一 e - j2 兀 Q +m)k 1 - e -j * - m) 1 - e -j *+m 匕1ej樵 -m )-e-j 北

16、-m ).=J2严(k-m久e N/(k-m)- j (k - m )k e N e J N，、 ，、-、+ eji(k+m ) ejl (k+m )jN+1Q+m )ijH(k+m)jl(k+m)e N -e N1sin(k - m)兀)c JN+1(k-mn sin (k - m)k / N )Nsin (k + m )0广(k+m )l+ sin (k + m)i / N ) NN,k = m或k = - m 20,其它(5) X (k)=习 lu(n)- u(n - n )Wnk = Wnk =n=0_W G ) W-k(n0-1)/2 - WkCn0-1)/2=N0-1 /2W-k/

17、2-Wk/2sinn 兀 k / n).(07 / A八,k=0,1.,N-1 sin Vik/ N )n=01 - WknQN1 - WkN=e-J2n(n0 -1)/(2 N )(6) X。)= 4 + 4eJNn,4.ejNn + 2 + e2兀91 eJ 二(2 n)j( N-2) n9 1 W-2N 1 W-(N-2) n=+ e N +e=+二2 442 4 n 4 n对照DFT逆变换公式x(n)=勇一1 X (kW-knN 2 NK =0f 9、，八N,k = 012、得到 X (k) = i = izNN1-Z-NN -1n=con=0l-Z-11日)m = s = 2ZN-l

18、z-)ZNT1极点：Zq=0 （N-l阶）；零点:.21L,J kz =e n , k=l,2/-N-lpk图（a）是极零点分布图xCXx(z)|MeJ 2.a _ eJ 2 -eJ、 .皿一 w2z=ejw 1 e-jw7v.w.geJ2 -eJ?.(N ) sm wU J.5eJ 2sm的函数曲线。nk NN1 co2(3) X (k)= R OXN n=01-W Nk 1 - ej2nN-1-WkN=X2ml-ejNkLkNk = Q10, k = 1,2, .,N N,可见，X （k）等于X=kl = 0,1, -1)上的取样值 N9.已知序列xGz)= 48。)- 35 G -1)+

19、 28 G - 2)+ 8 G - 3)和它的6点离散傅里叶变换X（k）（1）若有限长序列y（n）的6点离散傅里叶变换为Y（k）= W84kX（）求 y（n）。若有限长序列U（n）的6点离散傅里叶变换为X（）实部，即求 u （n ）。(2)U(k )=Relx(k )一（3） 求v侦）。若有限长序列v（n）的3点离散傅里叶变换U（）= X（2k） k =（0,1，2），解：（1）(2)由Y(k) = W4kX (k)知，yO)是尤。)向右循环移位4的结果，即6y(n)= x(n - 4) = 48(n - 4)+ 3d(n -5)+ 28(n)+ d(n -1) 6X(k)=勇 8(n)+ 3

20、8(n -1)+ 28(n - 2)+ 8(n - 3加nk6n=0=4 + 3Wk + 2W62 k + W3kX * (k )= 4 + 3W6- k + 2W6-2 k + W6-3kReX (k )=儿(k )+ X * (k )2=214 + 3W6k+ 2W62 k+ W63k + 4 + 3W6- k + 2W6-2 k + W6-3k2+ 3W6k+ 2W62 k+ W63k + 3W65k + 2W64 k + W632+ 3W6k+ 2W62 k+ 2W63k + 2W64 k + 3W65k 由上式得到u (n )=48 (n)+ 3 8(n - 1)+8(n - 2)+

21、8(n - 3)+8(n - 4)+ 3 8(n - 5)2(3)X(2k)= 山W 2 nk6n=0= x(n Wnk = X(n Wnk+ x(n 虹3 n=333n=0n=0n=0+ W 3k & + 3Wnk33 n=0k (n+3 )3= x(n 虹+ x(n + 3W3n=0= x (n Wnk3 n=0= x(n)+ x(n + 3)W nk, k = 0,1,2n=0由于所以即V (k )= v(n )Wnk = X (2k )= 2L 氐)+ x(n + 3)k ,k = 0,1,233n=0n=0v(n)= x(n)+ x(n - 3)n = 0,1,2v(0)=x(0)+

22、 x(3)= 5vO= x(1)+ x(4)= 3v(2 )= x(2)+ x(5)= 2或10.设 xv(n )= 55(n)+ 35(n -1)+ 25(n - 2)(n)是长为N的序列，X (z)是它的z转换。用x(n)构成下列3个长为2N的序列 x(n), 0 n N -10, N n 2N -1x (n)=工2(n)= x(n)- Sn - N )x( 2), n为偶数0,n为奇数用X (z)的取样表示每个序列的2N点DFT.解：(1)因为x3(n)= NN n=0n=0因为x(n)的z变换是X(z)，x(n - N)的z变换是z-nX(z)，所以如 x(n W2n =如 x(n X

23、e 尝)- =X (ej 2Nk)Nn=0n=0如 x(n N W 2n = (ej5)nX (ej京)=(1k X (cj京) Nn=0最后得到X (k)=1 + (11 -X(ej京)= 2 r =E x (r )z 2 rX (Z 2 ) 3r=0r=0所以X (k)=方 (nWnk = X (ej2Nk) = X(ejNk), k = 0,1,.,2N 1 332N 3n=0这意味着X (k)是由两个x(k)衔接起来得到的。11、设h O)是一个N = 8并关于n = 3.5对称的序列。h 0)是h 0)的4点循环移位序列，即1 h (n)= h (n 4) R (n)1.1 (一)8

24、 8(1) 求h1DFT与h2*的DFT之间的关系。(2) 由h1(n)和h2 (n)各构成一个FRI数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗为什么如果是，时延是多少(3) 如果h (n )对应于一个截止频率为n/2的 低通滤波器，那么h (n )也对应于一个截止频率为n/2的1，2低通滤波器吗为什么解(1)因为 h1 (n )= h1 (N 1 n )和 h2 (n )= h2 (N 1 N)，所以当 N = 8 时，有H (k)=祝h (nMk =8h (n)e-，?亦 +h (n)e-，?麻11 N11n=0n=0n=4=8h (n)e一j广众 +h G n)e-j:众11n=0n=4

25、=8 h (n)1n=k=8 h (n)1n=be -j ；nk + ej 2T(n+1)k由于H (k)=8h (n:22n=0h(n)= h (3-n)，n = 0,1,2,3-j & nk j %+1)k e J 8+ e 8所以H (k)=h (3-n)n=0= h (n)2 n=0e 彳G+1)k + e - j:nk=e - jkH (k )=e F h (n)2n=0由上式得H (k) = H (k)和 q (k)=62 (k)-兀(1)因为h。)和h2。)都具有对称性，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为 n = (N -1)/2 = 3.5(3)由(1)的结果知道，七。)和

26、h2。)的幅度响应相等，所以可以认为h2(n)也是一个截止频率为n /2的低通滤波器。12、某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为 h1(n) = (3)nu (n)，并联后系统的频率响应为H (em) =12 + 脆-沁(1) 求另一个子系统的单位脉冲响应h2(n)。(2) 假设系统的输入为x(n) = ()nu(n),川频域分析法分别求两个子系统的输出V (n)和y (n)。、匕/ IrX 贝刀、口 J 十刖 / vy j 、/C， /，E 勿1刀刀刁、I J 刀、口 J 十刖 UL4， /。212(3) 在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)。(4) 写出

27、并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟框图。解：(1)因为H1(ejro) = 1，且七()和h2(n)是并联的，所以有1 e - js3H (ejs) = H(ejs) - H(ejs)_-12 + 5e - js3(3 - e - js )(4 - e- js)3 - e - js_-12 + 5e - js-12 + 3e - js(3 - e - js )(4 - e - js)_ - 84 - e - js所以 h2(n) = -2(4)nu(n)。(2) x(n) = (1)nu(n)傅里叶变换为 X (e-js ) = 一11，所以21 - - e - js2Y(ej) =

28、 H(ej) X (ej) = 11 _ e- j2n - 2(3) n u (n)。所以n）=同理Y (ej) = H (ej)X (ej)=所以y2(n)=n - 4(!)n U (n)211 1 .1 e 加3-2rn1 - e - j431 1 .1 _ e -j221 1 .1 _ e -加311 - e- j1 - e-沁244rn1 - e - j2(3) y(n) = y1(n) + y2(n) = 2(；)n - (2)n - 2(3)nu(n)(4)差分方程为12y(n) 7y(n -1) + y(n - 2) = -12x(n) + 5x(n -1) 图略。13、用某台F

29、FT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。巳知待分析的信号中， 上限频率-1025 kHz。要求谱分辨率-5 Hz。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率fm 2 fm = 2.5kHzf2.5 x 1000因为要求谱分辨率节-5kHz，所以N =500因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数N = 512相邻样点间的最大时间间隔T =罕匚 =土 = 25 ms = 0.4ms fs min2 fs信号的最小记录时间Tpmin = N X T = 51

30、2 X 0.4ms = 204.8ms14、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施， 要求频率分辨力-10HZ，如果采用的抽样时间间隔为，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率;（3）在一个记录中的最少点数。解：（1）因为= _,而尸 10Hz F0，所以1s10即最小记录长度为（2）因为fsX 103T 0.1=10kHz 荷，而fs2 fh所以即允许处理的信号最高频率为5kHz。V T 0.1 小 5m所以一个记录中的最少点数为(3) N - T = 0! X 103 = 1000，又因N必须为2的整数幂，N = 210 = 1024