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1、123123(),nna aaab b bb定理 一般形式的柯西不等式设是实数 则222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 0(1,2,),(1,2,),iiibinkakb in当且仅当或存在一个数使得时 等号成立一、二维形式的柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.,)(1等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则实实数数都都是是若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二维形式的柯西不等式的变式二维形式的柯西不等式的变式:22222)()(bdacdcba 22122122
2、222121)()(yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式.,.,)(2等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则是是两两个个向向量量设设柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式定定理理 kk 的的最最小小值值求求已已知知例例222,132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)3
3、2()321)(:2222222222222取取最最小小值值时时即即当当且且仅仅当当证证明明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 变式引申变式引申:.,94,13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 补充练习补充练习2536.3625.56.65A.)(32,1.222DCByxyx的的最最小小值值是是那那
4、么么已已知知 _1212.3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2,623,.422值值是是的的最最大大则则满满足足设设实实数数yxPyxyx B3112332244)()(,1babababa 证证明明为为实实数数已已知知例例2 51102yxx 例求函数的最大值复习复习:.,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdac
5、dcba 2222)3(221221222221212211)()(R,y,x,y,)(3yyxxyxyxx 那那么么设设二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 证明证明22122122222121)()(yyxxyxyx 补充例题补充例题:.1,yb,1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(
6、.,)()()(,1,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当解解小结小结:.,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(22122122222121)()(5)yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式2212212
7、32232231231)()(x )()()()()6(yyxyyxxyyxx .,:1221等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当的的柯柯西西不不等等式式化化简简后后得得二二维维形形式式将将平平面面向向量量的的坐坐标标代代入入能能得得到到从从平平面面向向量量的的几几何何背背景景baba，2221122212221)()()(bababbaa 化化简简后后得得将将空空间间向向量量的的坐坐标标代代入入也也能能得得到到从从空空间间向向量量的的几几何何背背景景类类似似地地，,2332211232221232221)()()(babababbbaaa .)3,2,1(,0,等等号号成成立立时时使使得得或
8、或存存在在一一个个数数即即共共线线时时当当且且仅仅当当，ikbakii 猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa ，aaaAn22221 设设，bbbCn22221 nnbababaB 22112BAC 则则不不等等式式就就是是分析：分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 构构造造二二次次函函数数0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又0)()(4)(4,0)(222212222122211 nnnnbbbaaabababaxf即即的的判
9、判别别式式二二次次函函数数2222122121)(1,1nnnaaaaaanaaa 求求证证都都是是实实数数已已知知例例22122221222)111()(111(:nnaaaaaa 证证明明22122221)()(nnaaaaaan 22221221)(1nnaaaaaan dacdbcabdcbadcba 2222,2证证明明是是不不全全相相等等的的正正数数已已知知例例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca 2222222222222222222a )()(,)()(:即即不成立不成立是不全相等的正数是不全相等的正数证明证明11
10、11x1x:1,xx,Rx,x,6.412222121n21n21 nxxxxxxPnn求求证证且且设设1)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明证明1111x1x2222121 nxxxxnn1已知已知a+b+c+d=1，求，求a2+b2+c2+d2的最小值。的最小值。2已知已知a，b，c为正实数，且为正实数，且a+2b+3c=9，求，求 的最大值。的最大值。3已知已知a，b，c为正实数，且为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求，求 a
11、+b+c的最小值。的最小值。cba 23达标检测达标检测.,16a,8,122222的的取取值值范范围围求求满满足足已已知知实实数数例例eedcbedcbaedcba 5160,01651664464,)8()16(4d)cb(a )(1111()4(a :22222222222222 eeeeeeeedcbadcb故故即即即即解解 补充补充例题例题.,21,31,61,914136)321()941)(941:2222等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当用用柯柯西西不不等等式式证证法法一一 zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941,1,2 zyxzyxRzyx求证求证且且已知
12、已知例例36941,1,2 zyxzyxRzyx求证求证且且已知已知例例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当代代入入法法证证法法二二 zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx补充练习补充练习3100)1()1()1(:,1,.2222 ccbbaacbacba求证求证且且为正数为正数设设222222236)sin1sin1sin1)(:,1RCBAcbaRcbaABC 求求证证外外接接圆圆半半径径为为设设其其各各边边长长为为中中在在2221121413121174:,2.3 nnn试证试证的正整数的正整数是不小于是不小于若若23)(1)(1)(1:,1,.4333 baccabcbaabcRcba试试证证明明且且满满足足设设
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