专转本第六讲多元函数微积分.ppt

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1、前言,这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数 微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。 有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难 度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难 度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型： 一是考查对多元函数求偏导； 二是考查考查对抽象复合函数求偏导； 三是考查二重积分的计算。 这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因 此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说，首先要记住一些结论和公式，找到解题的规律！,1 多元函数微分学,一、多元函数的概念,人们

2、在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变量的函数，称这种函数为多元函数。,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,例如：,1.二元函数的定义,空间解析几何、级数及微分方程,2.二元函数的定义域,一元函数的定义域是数轴上的区间，对于二元函数，它的 定义域是平面上的点集，我们把它叫做区域，一般来说，区域 就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形.,围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点， 包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开 区域,二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有 意义的自变量的范围.,例1 求函数 的定义域,解：,该函数定义域应满足,即,所以定

3、义域为,如图，这样的区域俗称圆域,如图，这样的区域俗称矩形域,例2 求函数 的定义域,解：,该函数定义域应满足,即,所以定义域为,如图，这样的区域俗称环域,3.二元函数的图像,由空间解析几何知识可知，对于二元函数 的图 形，一般地，它表示一曲面.,4.二元函数的极限与连续性,极限,注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入”，一种是变量代换。,例3 求极限,直接代入 得,解：,令 ，则原极限变成,例4 求极限,解：,这里就不能直接带入,否则会产生不定式,连续性,注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念,二、偏导数与全

4、微分,1.偏导数的定义,注：符号“ ”的读法有很多种，因为它像一个圆，有时候读作“round”，音译过来就是“若母达”；又因为偏导数的英文是“partial derivative”，所以又读作“帕修”；我们这里可以简单地读作“偏”，比如“偏x”、“偏y”。,2.偏导数的求法,解：,例1 求 在点 处的偏导数,把 看作常量，得,把 看作常量，得,代入 得,注：一个二元函数的偏导数如果不特别说明是关于哪个变量的偏导数，应该有两个；如果是三元函数，同样可以把前面偏导数的定义加以推广，如函数 ，它有三个偏导数，分别是：,通过上题，我们还可以发现这样一个规律，就是如果一 个函数中的自变量是对称的（即调换

5、它们的位置原函数不发生 改变），那么相对于各个变量的偏导数也具有对称性。这样一 来，我们只需要求出其中的一个变量的偏导数，另一个变量的 偏导数只需要把上一个变量的偏导数中的变量互换位置即可。,例如：,解：,例2 设 ，求证：,把 看作常量，得,由对称性可知,因此原命题成立,3.高阶偏导数,解：,例3 设 ，求它的四个二阶偏导数,注：在后面的抽象复合函数求偏导的问题中，我们会利用到 这个结论，前提是“连续”，一般题目中会直接给出。,4.全微分,回顾一元函数的微分：,对于二元函数也有类似“微分”的概念，只是叫法有所不同,称为函数 在点 处的全微分,若,则称 可微,若,则称 可微,在一元函数中，可导

6、与可微是等价的，并且有：,可导（可微）一定连续，连续不一定可导（可微）,在二元函数中，没有“可导”的概念，但是有偏导数的概念， 下面我们给出在二元函数中偏导数，可微，连续之间的关系：,注：由上面的关系可以看出，在二元函数中，偏导数和可微 并不是等价的，而且偏导数存在也推不出连续，这些 都与一元函数不同。,例4 设 ，则,解：,例5 设 ，求,解：,这里我们利用“直接取自然对法”（也可以两边取）,先变形,三、多元函数的求导法则,1.多元复合函数的求导法则,基本公式,设,则,例如：,令,即,则,公式的推广（联线相乘，分线相加）,前面的基本公式以及例题中的函数，用树状图表示就是：,注：上述这些公式不

7、管是简单还是复杂，都是可以通过第一个 基本公式的思想推出来，然而在实际解题过程中，我们遇 的多元函数一般来说都是给出了具体的解析式的，即使不 找出其中的 之类的所谓“中间函数”，我们仍旧可以 按照普通求偏导数的方法来求解。在这里，我们只要做到 对“联线相乘，分线相加”的思想理解即可，主要还是记住 基本公式，而在考试中，重点考查的是抽象复合函数求偏 导数的问题。,2.多元抽象复合函数的偏导数,我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中一般给出一些有关函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性、连续或可导等等，这类题可以更加全面地考查学生对基本知识概念的理解和掌握。,前面的一元函数微积分中有很多

8、抽象函数的例子，我们这里不再举例了，下面主要学习求多元抽象复合函数的偏导数。,符号约定：,设,在这种符号的约定下，复合函数的基本公式变形为：,如果在上面一阶偏导数的基础上继续求二阶偏导数，结果中就 会出现 这些符号，然后再按照普通的导数四则 运算法则就可以了。下面我们用具体的例题来说明上述公式的应用。,这里的 仍然是含有 的复合函数,例1 设,解：,二阶偏导数连续,注：这类题是考试中的重点题型，但并不是难点，关键是细心 对上述公式中的符号约定，还可以推广到中间有两个以上 变量的情况，看下面一个例题,例2 设 ，求,解：,还有一些题目，在解析式中某一部分是抽象函数，例如：,注：这两题都是书上的例

9、题，需要注意一点的是，对于 求偏导的时候，应该写成 ，因为这里只有一个中 间变量。,3.隐函数的偏导数,在一元函数微分学中，我们已经学习了由 所确定的隐函数的求导方法（两边同时关于x或y求导）,对方程 两边同时关于x求偏导，得,则,于是，我们又得到了一种求隐函数的导数的方法,我们看教材上的一道例题（P30页，例1）,通过两边关于x求导，可以得到,下面我们用公式 来求解,设,则,所以,相比之下，应用公式解题就比较简单一些,接下来，我们仍然用刚才多元复合函数求偏导的方法来解决由 所确定的隐函数的偏导数公式,对方程 两边同时关于x求偏导，得,则,同理，有,（方程两边同时关于y求偏导）,则,解：,例3

10、 设方程 确定 ，求,令,则,于是根据隐函数求偏导的公式，有,注：有些时候，题目中要求的是二阶偏导数，那么我们再利用 上面的结果继续下去就可以了,所以，有些这类题目在求二阶偏导数的时候看似只需要关于 x或y其中一个一阶偏导数，而实际上在我们继续求二阶偏导 数的时候会发现还需要另外一个变量的一阶偏导数,同理，我们还可以用同样的方法继续求,在这里，有两点是需要提醒大家注意的：,由于隐函数自身的特点，我们求出的一阶偏导数中一般会 含有除自变量x，y以外的因变量z，这一点与一元函数中的 隐函数类似，所以当我们继续求二阶偏导数的时候，要把z 看成是x，y的复合函数；,由于中提到的缘故，继续求二阶偏导数的

11、时候变会产生,因此，这个时候就要用到前面关于 的信息,注：最后再补充一点，与一元函数中隐函数求导问题类似的是 也会遇到求具体点的偏导数问题，这个时候我们先用公式 求出偏导数（偏导函数），然后再把具体点的值代入即可,四、多元函数极值及偏导数应用,这部分知识，从历年的试卷（01-09全部）来看，从来没有涉及到，而且也只是要求大家学会对结论的应用（极值问题），因此，这里我们暂时不再叙述。,补充：多元函数求极值学会列表会更加清晰明了,2 多元函数积分学,一、二重积分的概念与性质,1.引例,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,2.二重积分的概念,在二重积分的定义中，对区域D的分割是任意的，如果我们用 平行于

12、坐标轴的直线网来划分区域D，那么除了靠近边界的一 些小区域外，其余绝大部分的小区域都是矩形的，小矩形 的边长为 和 ，则 的面积 ，又在直角坐标系中面积微元 可记作 ，从而二重积分又可以记作：,由二重积分的定义可知，曲顶柱体 的体积是函数 在区域D上的 二重积分,平面薄片的质量是它的密度函数 在薄片所占区域D上 的二重积分,3.二重积分的几何意义,4.二重积分的性质,与定积分相比，二重积分有非常类似的一些性质,当然本性质也可以推广到两个部分以上的情形,二、二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,(a),（）,上式也可简记为,化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：,（1）累次积分的下限必须小于上限;,注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。,注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。,1. 极坐标系下的面积元素,二、利用极坐标系计算二重积分,(a),2.极坐标系下化二重积分为累次积分,(b),