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1、1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求函数的单调区间函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项其中多项 式函数一般不超过三次式函数一般不超过三次)导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函其中多项式函数一般不超过三次数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、；会求闭区间上函数的最大值、最小值最小值(其中多项式函数一
2、般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次)3会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题理理 要要 点点一、函数的单调性与导数一、函数的单调性与导数1函数函数f(x)在某个区间在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负内的单调性与其导数的正负 有如下关系：有如下关系：(1)若若 ，则，则f(x)在这个区间内单调递增；在这个区间内单调递增；(2)若若 ，则，则f(x)在这个区间内单调递减；在这个区间内单调递减；(3)若若 ，则，则f(x)在这个区间内是常数在这个区间内是常数f(x)0f(x)0或或f(x)0吗？吗？f(x)0是否是是否是f(x)在在(a，b)内单调递增的充要条件？内单调
3、递增的充要条件？提示：提示：函数函数f(x)在在(a，b)内单调递增，则内单调递增，则f(x)0，f(x)0是是f(x)在在(a，b)内单调递增的充分不必要条件内单调递增的充分不必要条件2导数为导数为0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？提示：提示：不一定如不一定如f(x)x3，f(0)0.但但f(x)3x20，则则f(x)x3在在(，)上是增函数，故上是增函数，故x0不是不是f(x)x3的极值点的极值点3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一
4、点的极大函数在某一点的极大(小小)值，可以比另一点的极小值，可以比另一点的极小(大大)值值小小(大大)；最大、最小值是指闭区间；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小小)值不一定是最大值不一定是最大(小小)值，最大值，最大(小小)值也不一定是极大值也不一定是极大(小小)值，但如果连续函数在区间值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值么极大值就是最大值，极小值就是最小值题组自测题组自测答案：答案：B3已知已知aR，函数，函数f
5、(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对为自然对数的底数数的底数)(1)当当a2时，求函数时，求函数f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(2)函数函数f(x)是否为是否为R上的单调函数，若是，求出上的单调函数，若是，求出a的取的取值范围；若不是，请说明理由值范围；若不是，请说明理由(2)若函数若函数f(x)在在R上单调递减，上单调递减，则则f(x)0对对xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0对对xR都成立都成立ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立(a2)24a0，即，即a240，这是不可能的，这是不可能的故函数故函数f(x)不可能在不可能在R上单调递减上单调递减若函数若函
6、数f(x)在在R上单调递增，则上单调递增，则f(x)0对对xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0对对xR都成立都成立ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立而而(a2)24aa240，故函数，故函数f(x)不可能在不可能在R上单调上单调递增递增综上可知函数综上可知函数f(x)不可能是不可能是R上的单调函数上的单调函数在题在题3条件下，试讨论函数条件下，试讨论函数f(x)的单调区间的单调区间解：解：(1)当当a0时，时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令令f(x)0，得，得2x0，即当，即当x(2,0)时，函数时，函数f(x)单调递单调递增，令增，令f(x)0得得x0，
7、即当，即当x(，2)或或x(0，)时，函数时，函数f(x)单调递减单调递减(2)当当a0时，时，f(x)x2(a2)xaex.令令g(x)x2(a2)xa.(a2)24aa240，g(x)有两个零点有两个零点归纳领悟归纳领悟 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数确定函数f(x)的定义域的定义域(2)求求f(x)，令，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实根，求出它们在定义域内的一切实根(3)把函数把函数f(x)的间断点的间断点(即即f(x)的无定义点的无定义点)的横坐标和上面的的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把
8、函各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函 数数f(x)的定义区间分成若干个小区间的定义区间分成若干个小区间(4)确定确定f(x)在各个开区间内的符号，根据在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判的符号判 定函数定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性在每个相应小开区间内的增减性题组自测题组自测1设设f(x)x(ax2bxc)(a0)在在x1和和x1处均有极处均有极值，则下列点中一定在值，则下列点中一定在x轴上的是轴上的是()A(a，b)B(a，c)C(b，c)D(ab，c)答案：答案：A2(2010安徽高考安徽高考)设函数设函数f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函数，求
9、函数f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值3已知函数已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点的图象过点(1，6)，且函数且函数g(x)f(x)6x的图象关于的图象关于y轴对称轴对称(1)求求m、n的值及函数的值及函数yf(x)的单调区间；的单调区间；(2)若若a0，求函数，求函数yf(x)在区间在区间(a1，a1)内的极值内的极值由由f(x)0得得x2或或x0，故故f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(，0)(2，)；由由f(x)0得得0 x2，故故f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0,2)(2)由由(1)得得f(x)3x(x2)，令令f(x)0得得x0或或x2，当当x变化时，
10、变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大极大值值极小极小值值由此可得：由此可得：当当0a1时，时，f(x)在在(a1，a1)内有极大值内有极大值f(0)2，无极小值；无极小值；当当a1时，时，f(x)在在(a1，a1)内无极值；内无极值；当当1a3时，时，f(x)在在(a1，a1)内有极小值内有极小值f(2)6，无极大值；无极大值；当当a3时，时，f(x)在在(a1，a1)内无极值内无极值综上得：当综上得：当0a1时，时，f(x)有极大值有极大值2，无极小值；，无极小值；当当1a3时，时，f(x)有极小值有极小值6，
11、无极大值；，无极大值；当当a1或或a3时，时，f(x)无极值无极值归纳领悟归纳领悟 求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)求导数求导数f(x)；(3)求方程求方程f(x)0的根；的根；(4)检验检验f(x)在方程在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近在根的左侧附近f(x)0，右侧附近，右侧附近f(x)0，那么函数，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f(x)0，那么函数，那么函数yf(x)在这个根处取得极小在这个根处取得极小值值
12、题组自测题组自测1函数函数f(x)2x33x212x5在在0,3上的最大值是上的最大值是 _，最小值是，最小值是_解析：解析：f(x)6x26x12，令令f(x)0，即，即6x26x120，则则x1或或x2.又又x0,3，故，故x1应舍去应舍去当当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如表：的变化情况如表：x0(0,2)2(2,3)3f(x)0f(x)5154f(x)max5，f(x)min15.答案：答案：5152已知已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正实数，是否存在正实数a，b使使 得得f(x)在区间在区间2,1上的最大值是上的最大值是5，最小值是，最小值是11？若？
13、若 存在，求出存在，求出a，b的值及相应函数的值及相应函数f(x)；若不存在，请说；若不存在，请说 明理由明理由x2,0)0(0,1f(x)0f(x)极大值极大值因此因此f(0)必为最大值，必为最大值，f(0)5，得，得b5，f(2)16a5，f(1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，f(x)x32x25.已知函数已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(1)求求f(x)的表达式；的表达式；(2)讨论讨论g(x)的单调性，并求的单调性，并求g(x)在区间在区间1,2上的最大值与上的最大值与最小值最小值归纳领悟归纳领悟
14、 求函数求函数yf(x)在在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值答案：答案：C2面积为面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是的一矩形中，其周长最小时的边长是 _归纳领悟归纳领悟 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学分析实际问题中各
15、量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根，根据实际意义确定定义域；据实际意义确定定义域；2求函数求函数yf(x)的导数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0得出定义域得出定义域内的实根，确定极值点；内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大求的最大(小小)值；值；4还原到原实际问题中作答还原到原实际问题中作答一、把脉考情一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，对导数的考查表现在以下几个从近两年的高考试题来看，对导数的考查表现在以
16、下几个方面：方面：(1)导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等，出现率较高证明函数的增减性等，出现率较高(2)应用问题，利用导数来解决一些实际问题应用问题，利用导数来解决一些实际问题(3)综合考查，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的综合考查，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合试题结合在一起，设计综合试题(4)从题型上看，导数的简单应用主要出现在选择题和填空从题型上看，导数的简单应用主要出现在选择题和填空题中，属容易题应用和综合考查问题一般作为压轴题中，属容易题应用和综合考查问题一般作为压轴题出现，属于较难题型题出现，属于较难题型 预测预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优极值为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题化问题点点 击击 此此 图图 片片 进进 入入“课课 时时 限限 时时 检检 测测”
第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例73841
