湖南师范大学附中高三上学期月考三数学文试题解析版

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1、2016届湖南师范大学附中高三上学期月考（三）数学（文）试题及解析一、选择题1已知为虚数单位，若复数，则（ ）A1 B C D【答案】C【解析】试题分析：根据复数的运算，可知，所以，故选C【考点】复数的运算2已知下面四个命题：“若，则或”的逆否命题为“且，则”“”是“”的充分不必要条件命题存在，使得，则任意，都有若且为假命题，则，均为假命题其中真命题个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：由题可知，正确，为充分不必要的条件，正确，特称命题的否定为全称命题，所以显然正确；若且为假命题，则至少有一个是假命题，所以的推断不正确【考点】1、命题的真假；2、逻辑关系3在等比数列中，

2、则等于 （ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由已知：，即，为方程的两解由于，所以，故选D【考点】1、等比数列的性质；2、方程的解4某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：时，否，进入循环，当时，否，进入循环，当时，否，进入循环，当时，是，输出57，根据选项判定，成立，所以选A【考点】1、程序流程图；2、循环结构5在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形【答案】A【解析】试题分析：根据定理：，那么，根据，所以，所以，整理为：，三角形中，所以，那么【考点】1、正弦定理；2、三角形形状的

3、判定6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为1，2，高为1，直四棱柱的高为2，所以底面周长为，故该几何体的侧面积为，故选A【考点】1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算7已知平面上不重合的四点满足，且，那么实数的值为（ ）A2 B C4 D5【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，于是有，故，又因为，所以，即故选B【考点】向量的线性运算8一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全

4、飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：，故选D【考点】几何概型9关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为，则不等式可化为：，设，由题意得只需，因为函数为区间上的减函数，所以，故选A【考点】1、不等式的解集；2、函数的单调性10如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意，两个向量的夹为角钝角；，则，即，

5、即，解得，即故选D【考点】1、向量的运算；2、椭圆的离心率11已知函数，则使得的的范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：函数为偶函数，且当时，是增函数；所以使得的满足，即得，正确答案为A【考点】1、函数的性质；2、不等式的解法【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在上是增函数，得等价于，解不等式即可求出的取值范围12定义在上的可导函数，当时，恒成立，则的大小关系为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：构造函数，当时，即函数单调递增，即，故选A【考点】1、导函数；2、不等式的解法【易错

6、点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细二、填空题13对于实数和，定义运算，则式子的值为 【答案】9【解析】试题分析：因为，而，所以【考点】1、对数运算；2、新定义问题14已知函数的图象过点，令，记数列的前项和为，则 【答案】【解析】试题分析：由函数的图象过点得：，从而；，从而【考点】1、函数的性质；2、数列的性质15已知函数与的图象上存在关于

7、轴对称的点，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意可得存在满足，即有负根，当趋近于负无穷大时也趋近于负无穷大，且函数为增函数（或令时，令时，可知，所以为增函数），即，的取值范围是【考点】1、函数的性质；2、参数的取值范围【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在满足，根据函数单调性的定义法得出函数是增函数，所以最大值要大于0，得到，因此可以求出实数的取值范围三、解答题16在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表

8、：感 染未感染总 计服用104050未服用203050总计3070100附表：0100050025270638415024参照附表，在犯错误的概率不超过（填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” 【答案】5%【解析】试题分析：，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”【考点】1、独立性检验；2、概率【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了22列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式计算出的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最

9、后导致误差过大17已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向下平移个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，求使成立的的取值集合【答案】（1）函数的最小正周期为；（2）使成立的的取值集合为【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差公式，把函数的解析式化简成，所以函数的最小正周期为；（2）根据三角函数的性质，使成立，即，解不等式即得到的取值集合为试题解析：（1）因为所以的最小正周期（2）由题设，由，得，则所以，故的取值集合时【考点】1、函数的周期性；2、三角函数的单调性18设数列的前项和为，已知（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列为等差

10、数列，且设，数列的前项和为证明：对任意，是一个与无关的常数【答案】（1）的值为3，数列的通项公式；（2）证明过程详见试题解析【解析】试题分析： （1）当已知数列的前项和，求通项时要分和两种情况讨论，利用，得到数列是首项为3，公比为3的等比数列，故；由等差数列的性质，得，所以；则，再由错位相减法可得，因此对任意，是一个与无关的常数试题解析：（1）当时，即，所以因为，则两式相减，得，即所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，故（2）因为，则又，则设的公差为，则，所以，所以由题设，则，两式相减，得所以故为常数【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法19如图1，在中，,，是上

11、的高，沿将折成的二面角，如图2（1）证明：平面平面；（2）设为的中点，求异面直线与所成的角的大小【答案】（I）证明过程详见试题解析；（II）异面直线与所成的角的大小为【解析】试题分析：（I）由题意得，；又，则平面；因为平面，所以平面平面（2）取的中点，连接，则，所以为异面直线与所成的角；连结、，由，则；由勾股定理和余弦定理求得、在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成的角的大小为试题解析：（1）因为折起前是边上的高，则当折起后，又，则平面因为平面，所以平面平面（2）取的中点，连接，则，所以为异面直线与所成的角连结、由，则，在中，在中，由题设，则，即，从而，在中，在中，在中，所以异面直线与所成的角

12、的大小为【考点】1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角20已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）若过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于、两点，求三角形（为坐标原点）的面积的最大值【答案】（1）抛物线的方程为；椭圆的方程为；（2）三角形的面积的最大值为【解析】试题分析：（1）设，代入抛物线方程，得，根据焦点弦公式得，抛物线的方程为在椭圆中，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，设直线的方程为，、，直线方程与椭圆方程联立得，根据韦达定理得、的表达式，代入面积公式中，根据基本不等式和函数的单调性得，

13、因此的最大值为试题解析：（1）设，代入，得，又，抛物线的方程为在椭圆中，椭圆的标准方程为（2）由题意可知，设直线的方程为，且、，由得，令，则，又在上单调递增，的最大值为【考点】1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上的最小值为0，求

14、的值（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围【答案】（1）当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；（2）的值为；（3）的取值范围为【解析】试题分析：（1）分和两种情况对函数求导，通过导函数的正负，得到原函数的单调性；由（1）可知，当时，函数，不符合题意当时，因为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增分和两种情况分别讨论，得；（3）构建新函数，经分析可知当时，对于任意都有成立；当时，存在，使，不符合题意所以，的取值范围为试题解析：（1）当时，函数，在上单调递增；当时，令，得，所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增（2）由（1）可知，当时，函数，不符合题意当时，因为，当时，函数单调递减；当时

15、，函数单调递增当，即时，最小值为解，得，符合题意当，即时，最小值为解，得，不符合题意综上，（3）构建新函数，当，即时，因为，所以（且时，仅当时，）所以在上单调递增又，所以，当时，对于任意都有（10分）当时，解，即，得，其中，所以，且，所以在上单调递减又，所以存在，使，不符合题意综上，的取值范围为【考点】1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，

16、研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数的取值范围22选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，与曲线交于（不包括极点）三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）的值为2，的值为【解析】试题分析：（1）依题意先表示出，根据三角函数公式得（2）把两点的极坐标，化为直角坐标为，又因为经过点的直线方程为，所以试题解析：（1）依题意，则（2）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，所以【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程23选修45：不等式选讲已知函数，（1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求函数的最小值【答案】（1）实数的取值范围为；（2）函数的最小值为0【解析】试题分析：（1）当时，等价于，所以实数的取值范围是当时，先写出函数的表达式，再分段讨论每个区间的最小值；依题意得当时，函数取得最小值0试题解析：（1）当时，当且仅当时等号成立所以实数的取值范围是（2）当时，当时，；当时，当且仅当等号成立；故当时，函数取得最小值0【考点】1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题