空间立体几何

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1、1.如图,在 四棱锥 P-ABCD中,底面为直角梯形 ABCD,AD/ BC, Z BAD=90,PA丄底面 ABCD且 PA=AD=AB=2BC,M,分别为PC,PB的中点 求证:PB丄DM;(2)求CD与平面 ADM所成角的正弦值；(3) 在棱PD上是否存在点E,且PE： ED=X ,使得二面角C-AN-E的平面角为60.若存在求出 入值，若不存 在，请说明理由。uu uuuu(1) 建系，利用 PB DM 0，证明PB丄DM5(3)先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解2.如图，在四棱锥S ABCD |中，底面ABCD为平行四边形，SA |平面|ABCDAB 2,

2、AD 1, SB J7 , BAD 120o,E 在棱|SD上.(I)当SE 3ED时，求证SD 平面AEC;(II )当二面角S AC E的大小为30o时，求直线|AE与平面CDE所成角的正弦值.(I)见解析(II )3. 在如图所示的多面体 ABCDE中,人吐平面 ACD DEL平面 ACD AC=AD=CD=DE=2AB=1, G为 AD 中占I 八、(1) 请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线 BF/平面ACD并证明这一事实；(2) 求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；(3) 求点G到平面BCE的距离.解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分

3、别经过点 A和点E,(1)点F应是线段CE的中点，下面证明：uuuBF33(22 ,0)设F是线段CE的中点，则点F的坐标为F厂，一3,1),2 2uuu显然BF与平面xOy平行，此即证得 BF/平面ACD(2)设平面BCE的法向量为n (x, y,z)，则r nmur uunCB ,且 n CE ,uuuuuu(1,3,2),由 CB (1,3,1),CEx 3y z 0，不妨设y3，则x1 ,即 n (1, 3,2),x 3y 2z0z2所求角 满足cosr n(),0,1)忑|n|24uuu(3)由已知G点坐标为(1, 0, 0) , BG(1,0, 1),uuu- r由(2)平面BCE

4、的法向量为n (1, .3,2)，二所求距离d | BG “ |3 2 .|n|44. 如图，四棱锥 P- ABCD的底面ABCD是矩形，侧面 PAB是正三角形，AB=2, BC= 2 , PC= 6 ,(I)求证：PD丄AC;(II)已知棱PA上有一点E,若二面角E BD- A的大小为45,试求BP与平面EBD所成角的正弦 值。5.如图,在三棱拄 ABC AB1C1中，AB 侧面BBiGC ,已知BC 1, BC。 一 BBi 23（I ）求证：C1B 平面ABC ;（n ）试在棱CC1 （不包含端点C,C1）上确定一点E的位置，使得EA EB1;（川）在（n ）的条件下,若AB 2求二面角

5、A EB1 A的平面角的正切值Bi证(I )因为AB侧面 BBiCiC ,故 AB BCi在 VBCiC 中,BCi,CCi BBi 2, BCCi3由余弦定理有BCi . BC2 CCi2 2 BC CCi cosBCCii 4 2 2 cos 、3Ai故有BC2 BCi2 CCi2iC,BBCBCI AB B 且 AB, BC 平面 ABCC,B平面ABCEA EB,AB EB,ABI AEA,AB, AE平面ABE从而BiE平面ABE 且BE 平面ABE故BEBiECE x,则 CiE 2 x,则 BE2i x2 x不妨设则Bi E在RtVBEBi中有从而x4x i2 x2又 Q BiC

6、iC -3故E为CCi的中点时，EA EBii (舍负)uuu UJLU uun法二：以 B 为原点 BC,BG,BA 为 x, y, z 轴,设 CE x ,则1 JJJ uurB(0,0,0), E(1 -x), B1( 1, . 3,0), A(0,0, 2)由 EA EB“ 得 EA EB, 0 即2Gx 1于心痔2, 3 -2 x,0) 0(】x 1)x 2) -x 3 -x 02 2 2 2化简整理得x2 3x 2 0 x 1或x 2当x 2时E与Ci重合不满足题意当x 1时E为CCi的中点故E为CCi的中点使EA EBi(川)取EB1的中点D , AE的中点F , BB1的中点N

7、 , AB1的中点M连 DF 则 DF /AB,连 DN 则 DN / BE ,连 MN 则 MN /AB连 MF 贝 V MF /BE,且 MNDF 为矩形，MD / AE又QAB1 EB1,BE ER 故 MDF为所求二面角的平面角在 RtVDFM 中，DF1ab2 bce为正三角形)2 2MF 丄 BE -CE -2 2 2tan MDF1 _2 2_2 2uu uuir UUJU法二：由已知EA EB,BAuirEB ,所以二面角 A EB1的平面角ULUU UH的大小为向量BA与EA的夹角UULUrUUJL因为 BABA (0,0, 2)UUU EA21, 2)故 cos2ULU U

8、UUUEA BAUUU| I UUUU|EA |B1Ata n6.如图，三棱柱ABC AB1C1的侧棱AA1底面ABC, ACB 90 , E是棱CG上动点，F是AB的中点，AC 1,BC 2, AA 4(I )当E是CC,中点时,求证：CF /平面AEB,;(n )在棱CC1上是否存在点E ,使得二面角 A EB, B的余弦值是 彳7 ,若存在,求CE的长,若不 17存在,请说明理由解:(1)证明,取AB,的中点G,连结EG,FG1 F、G分别是 AB AB 的中点,二 FG / BB1,FG - BB121又 t FG / EC,ECCC1, FG EC 二四边形 FGEC是平行四边形，二

9、 CF/ EG2 1 CF 平面 AEB,EG 平面 AEB 二 CF /平面 AEB 以C点为坐标原点,射线CA,CB,CC为x, y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz,则C(0,0,0), A(1,0,0), B1(0,2,4)设 E(0,0, m)(0 m 4),平面 AEB1 的法向量 n (x, y, z).umruuuuuuruuu/口x 2y4z0则AB1(1,2,4), AE(1,0, m)由AB1ni, AE ni,得yn1(2 m, m 4,2)x mz0uuuuuu/ CA平面 C1CBB1 CA是平面EBB的法向量，则平面EBB1的法向量CA(1,0

10、,0)二面角A-EB-B的平面角余弦值为2、.175则川cos (nn?)n1n22mJ / 7Vx 1? * * 2 /t1717mil n2 I4m2 (m 4)2 4解得m 1(0 m 4)二在棱CC1上存在点E,符合题意，此时CE 1uur uuju1. (1)建系，利用PB DM 0，证明PB丄DM(2) sinx105(3)先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解2. ( I )见解析(II)1553解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E,c y(1)点F应是线段CE的中点，下面证明：(2)设平面BCE的法向量为(

11、x, y,z),UUU CB ,r iuu 且 n CE ,uuu由CB(1,.3,1),uuuCE (1,3,2),3y z 03y 2z，不妨设03，则即 n (1, 3, 2),所求角满足cosn (%0,1)|n|_22，(3)由已知G点坐标为(1 , 0,uuu0), BG1,0,1)，由(2)平面BCE的法向量为n(1, 3,2),A(2,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,1)，C(1, 3,0)，1 .；3UUU343设F是线段CE的中点，则点F的坐标为F(l3,1)，二BF ( 3,3,0),2 2 2 2uuu显然BF与平面xOy平行，此即证得 BF/平面ACDuuur

12、 r所求距离d | B9 n | 3 -2 .|n|45证(I )因为AB侧面 BB1C1C ,故 AB BC1在 VBCiC 中,BC1,CCi BB1 2, BCC1 3由余弦定理有2 BC CC1 cos BCC114 2 2 cos1故有BC2 BC12 CC12C,B BCBCI AB B且AB,BC 平面ABCC,B平面ABCEA EB,ABEB,ABI AE A,AB,AE平面ABE从而B,E平面ABE且BE 平面ABE故BEB,ECE x,则 C1E 2 x,则 BE21 x2 x不妨设2又 Q B1C1C -3则 B1E2x2在RtVBEB1中有x2x2从而x1 （舍负）故E

13、为CC1的中点时EB1占八、uuu uurn uuuBC,BG,BA为 x,y,z设 CE x1E(1 2刈月(*2)x2 2113B(0,0,0),(2x 1,qx 1)(2x 2)寸13,0), A(0,0, .2)由EA EB,得umruuuEA EB 0 即2,133 x,0)023匕x 02化简整理得X1 2 3x 2 0 x 1或x 2当x 2时E与C,重合不满足题意当x 1时E为CG的中点故E为CC,的中点使EA EB,（川）取EB,的中点D , A,E的中点F , BB,的中点N , AB,的中点 M连 DF 贝 V DF / AiBi,连 DN 贝 V DN /BE,连 MN

14、 贝 V MN / AB连 MF 贝 V MF /BE,且 MNDF 为矩形，MD / AE又Q AiBi EBi,BE EB, 故 MDF为所求二面角的平面角在 RtVDFM中，DF齐Q BCE为正三角形）1MF -BE2tan MDF1CE212uuu法二：由已知EA2uuir uuuEB,BAujiruiuuuuuEB ,所以二面角A EB, A的平面角的大小为向量BA与EA的夹角uuuur因为BAuurBA(0,0, &)uur EA故cosuuuurBuAuuuEA tuuu-EA BAtan6解:证明，取AB1的中点G,连结EG,FG1 又 FG II EC,EC CCi,FG E

15、C2四边形FGE(是平行四边形，二CF/ EGT CF 平面AEB,EG 平面AEB CF I 平面 AEB 以C点为坐标原点,射线CA,CB,CC为x, y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz,则C(0,0,0), A(1,0,0), Bi(0,2,4)设 E(0,0, m)(0 m 4),平面 AEBi 的法向量 n (x, y, z).umruuu则 ABi( 1,2,4), AE ( 1,0, m)由聶 n,AE “，得 x 2y 4z 0x mz 0m (2m, m 4,2)t CA 平面 C1CBB1uuu CA是平面EBB的法向量，则平面EBB1的法向量uuun2 CA (1,0,0)二面角A-EB-B的平面角余弦值为17 ,17则 2 J7“、 m n?2m则cos( n|,n2) /171 ni |n2 14m2 (m 4)2 4解得 m 1(0 m 4)在棱CCi上存在点E,符合题意，此时CE 1