排列与逆序行列式的定义ppt课件

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1、第一章第一章 行列式行列式一一.二三阶行列式二三阶行列式二二.陈列与逆序陈列与逆序三三.n 阶行列式的定义阶行列式的定义四四.行列式的性质行列式的性质五五.行列式按行列展开行列式按行列展开六六.Cramer 法那么法那么 行列式概念的构成行列式概念的构成 行列式的根本性质及计算方法行列式的根本性质及计算方法定义定义 利用行列式求解线性方程组利用行列式求解线性方程组本章安排本章安排本章主要讨论以上三个问题。本章主要讨论以上三个问题。首先来看行列式概念的构成首先来看行列式概念的构成问题的提出：问题的提出：分析二、三元线性方程组求解过程分析二、三元线性方程组求解过程 二阶、三阶行列式的概念二阶、三阶

2、行列式的概念引出引出第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式二元线性方程组：二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得由消元法，得 21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得得211211221122211)(abbaxaaaa 同理，得同理，得212221121122211)(baabxaaaa 于是，当于是，当021122211 aaaa时，方程组有独一解时，方程组有独一解211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 为便于记忆，

3、采用记号为便于记忆，采用记号22211211aaaaD 21122211aaaa 称称22211211aaaaD 为二阶行列式为二阶行列式其中其中，数，数)2,1;2,1(jiaij称为二阶行列式元素称为二阶行列式元素 为行标，阐明元素位于第为行标，阐明元素位于第 行行ii 为列标，阐明元素位于第为列标，阐明元素位于第 列列jj注：注：(1)二阶行列式二阶行列式 算出来是一个数。算出来是一个数。22211211aaaa(2)运算方法：对角线法那么运算方法：对角线法那么主对角线上元素之积主对角线上元素之积 副对角线上元素之积副对角线上元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为因此，上述二元线性

4、方程组的解可表示为211222112122211aaaabaabx 2221211ababD 211222112112112aaaaabbax 2211111babaD 综上，令综上，令22211211aaaaD 2221211ababD 2211112babaD 那么，那么，DDx11 DDx22 称称 D 为方程组的系数行列式。为方程组的系数行列式。例例1：解方程组解方程组 1212232121xxxx解：解：由于由于1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以,271411 DDx372122 DDx2.三阶行列式三阶行列式类似地，为讨论三元

5、线性方程组类似地，为讨论三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa记记333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 称为三阶行列式称为三阶行列式其中其中，数，数)3,2,1;3,2,1(jiaij称为元素称为元素 为行标，为行标，i 为列标。为列标。j注：注：(1)三阶行列式三阶行列式 算出来也是一个数。算出来也是一个数。(2)运算方法：对角线法那么运算方法：对角线法那么例：例：381141102

6、41648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(2 对于三元线性方程组，假设其系数行列式对于三元线性方程组，假设其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 0 可以验证，方程组有独一解可以验证，方程组有独一解:DDx11 DDx22 DDx33 其中其中:3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 第二节第二节 n阶行列式的的定义阶行列式的的定义定义定义1：由自然数由自然数1，2，n 组成的一个组成的一个有序数组有序数组 称为一

7、个称为一个 n 级陈列。级陈列。例如：例如：12345 5432151234 4253214 53124都是数都是数1，2，3，4，5的陈列。的陈列。回想：回想：n个数的不同陈列共有个数的不同陈列共有 个。个。n!自然陈列：自然陈列：按数的大小次序，由小到大陈列：按数的大小次序，由小到大陈列：思索：思索：n级陈列中，自然陈列只需一种级陈列中，自然陈列只需一种除此之外，任一除此之外，任一n级陈列都一定出现较大数码级陈列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。排在较小数码之前的情况。12345.n一、一、陈列陈列定义定义21在一个陈列中，假设某个较大的数排在某个较小在一个陈列中，假设某个较大的数

8、排在某个较小的的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。数前面，就称这两个数构成一个逆序。2一个陈列中出现的逆序的总数称为这个陈列的一个陈列中出现的逆序的总数称为这个陈列的奇陈列：奇陈列：逆序数为奇数的陈列。逆序数为奇数的陈列。偶陈列：偶陈列：逆序数为偶数的陈列。逆序数为偶数的陈列。),(21niii 通通常常记记为为逆序数，逆序数，定义定义3计算陈列的逆序数的方法：计算陈列的逆序数的方法：法法 1：n个数的任一个数的任一n级陈列，先看数级陈列，先看数1，看有多少个比，看有多少个比1大的数大的数排在排在1前面，记为前面，记为;1m再看有多少个比再看有多少个比2大的数排在大的数排在2前面，记为前面，

9、记为;2m继续下去，最后至数继续下去，最后至数n，前面比，前面比n大的数显然没有，大的数显然没有，;0 nm记为记为那么此陈列的逆序数为那么此陈列的逆序数为nmmm 21 421352 1 14()5431233219()例例1是偶陈列。是偶陈列。是奇陈列。是奇陈列。法法 2：n 级陈列级陈列niii,21的逆序数的逆序数),(21niii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11ii小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 22ii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11 nnii法法3：),(21niii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 nnii大大的的数数的的个个

10、数数前前面面比比数数 11 nnii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 22ii 例例2：求陈列求陈列 3，2，5，1，4 的逆序数。的逆序数。解：解：法法1,31 m,12 m,03 m,14 m05 m5113)32514(法法2500212)32514(后后前前 法法3前前后后 501031)32514(例例3：求陈列求陈列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。的逆序数。9 思索，在思索，在 1，2，3 的全陈列中的全陈列中有有 个偶陈列：个偶陈列：有有 个奇陈列：个奇陈列：123，231，312132，213，32133普通说来，在普通说来，在n个数码的全陈列中，奇偶陈列各占一半

11、个数码的全陈列中，奇偶陈列各占一半定义定义4：把一个陈列中的恣意两个数交换位置，其他数码把一个陈列中的恣意两个数交换位置，其他数码不动，叫做对该陈列作一次对换，简称对换。不动，叫做对该陈列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。定理定理1：对换改动陈列的奇偶性。对换改动陈列的奇偶性。证明思绪：证明思绪：先证相邻两数的对换，再证普通对换。先证相邻两数的对换，再证普通对换。定理定理2：2 n时，时，n个数的一切陈列中，奇偶陈列各占个数的一切陈列中，奇偶陈列各占一半，各为一半，各为2!n个。个。证明：证明：设设n个数的陈列中，个数的陈列中，奇陈列有奇

12、陈列有 p 个，偶陈列有个，偶陈列有 q 个，个，那么那么 pqn！对对 p 个奇陈列，施行同一对换，个奇陈列，施行同一对换，那么由定理那么由定理1得到得到 p 个偶陈列。而且是个偶陈列。而且是p个不同的偶陈列个不同的偶陈列由于总共有由于总共有 q 个偶陈列，所以个偶陈列，所以qp 同理同理pq 所以所以2!nqp 二二.3阶行列式的规律阶行列式的规律察看三阶行列式察看三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 寻觅规律：寻觅规律：1.三阶行列式是三阶行列式是

13、3！项的代数和。项的代数和。2.每一项都是取自不同行、不同列的每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。个元素的乘积。3.每项的符号规律每项的符号规律其任一项可写成：其任一项可写成：321321jjjaaa其中其中321jjj是是123的一个陈列的一个陈列当当321jjj是偶陈列时，项是偶陈列时，项321321jjjaaa取正号取正号当当321jjj是奇陈列时，项是奇陈列时，项321321jjjaaa取负号取负号根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义 n 阶行列式阶行列式定义定义5：n 阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222

14、111211指的是指的是n！项的代数和，！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，个元素的乘积，其普通项为其普通项为,2121nnjjjaaa这里这里njjj21是是12n的一个陈列的一个陈列当当是偶陈列时，项前面带正号是偶陈列时，项前面带正号njjj21当当是奇陈列时，项前面带负号是奇陈列时，项前面带负号njjj21三三.n 阶行列式的定义阶行列式的定义 即即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(其中其中 njjj21表示对一切表示对一切n元陈列取和元陈列取

15、和注：注：(1)当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式aa 此处此处a不是不是a的绝对值，的绝对值，例如行列式例如行列式11 定义阐明，计算定义阐明，计算n阶行列式，首先必需作出一切的阶行列式，首先必需作出一切的能够的位于不同行、不同列的能够的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标行标按自然顺序陈列，乘积的元素的第一个下标行标按自然顺序陈列，然后看第二个下标列标所成的奇偶性来决议这一然后看第二个下标列标所成的奇偶性来决议这一项的符号。项的符号。例例4写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。的项。例例5假设假设4433124

16、32211432213 ,kikikiaaaaaaaaaaaa为四阶行列式的项，试确定为四阶行列式的项，试确定i与与k，使前两项带正号，使前两项带正号，后一项带负号。后一项带负号。例例7计算四阶行列式计算四阶行列式hgfedcbaD00000000 例例6计算行列式计算行列式0004003002001000 D四个特殊行列式四个特殊行列式(1)上三角形行列式上三角形行列式 主对角线下侧元素都为主对角线下侧元素都为0nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211(2)下三角形行列式下三角形行列式 主对角线上侧元素都为主对角线上侧元素都为0nnaaa2211 nnnnaaaaaa

17、D21222111000(3)nnaaaD2211 nnaaa2211 显然显然(4)(4)11,21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 定理定理3nnjijijiaaa2211在行列式中在行列式中的符号等于的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii 证明：证明：由行列式定义可知，确定项由行列式定义可知，确定项)1(2211nnjijijiaaa的符号，的符号，需求把各元素的次序进展调动，使其行标成自然陈列。需求把各元素的次序进展调动，使其行标成自然陈列。为此，我们先来研讨假设交换项为此，我们先来研讨假设交换项1中某两个元素的中某两个元素的位置时，其行标和列标陈列的

18、奇偶性如何变化。位置时，其行标和列标陈列的奇偶性如何变化。对换恣意两元素，相当于项对换恣意两元素，相当于项1的元素行标陈列及的元素行标陈列及列标陈列同时经过一次对换。列标陈列同时经过一次对换。设对换前行标陈列的逆序数为设对换前行标陈列的逆序数为s，列标陈列的逆序数为，列标陈列的逆序数为t。设经过一次对换后行标陈列的逆序数为设经过一次对换后行标陈列的逆序数为s 列标陈列的逆序数为列标陈列的逆序数为t 由定理，对换改动陈列的奇偶性由定理，对换改动陈列的奇偶性所以，所以，ss 是奇数是奇数tt 也是奇数也是奇数所以所以)()(ttss 是偶数，是偶数，即即)()(tsts 是偶数，是偶数，所以所以t

19、s 与与ts 同时为奇数或同时为偶数。同时为奇数或同时为偶数。即，交换项即，交换项1中恣意两个元素的位置后，其行标和列标中恣意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的陈列的逆序数之和的奇偶性不变。所构成的陈列的逆序数之和的奇偶性不变。另一方面，经过假设干次对换项另一方面，经过假设干次对换项1中元素的次序，中元素的次序，总可以总可以 把项把项1变为变为,2121nnkkkaaa所以所以tsts )1()1()()12(21)1(nkkkn )(21)1(nkkk 得证。得证。由此，得行列式的等价定义由此，得行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1(nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1(作 业