讲义田圆的基本性质

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1、姓名： 年级：九年级 教师：课 题 圆的基本性质教学目标1理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质；2理解圆是轴对称图形；3. 掌握垂径于弦的直径的性质定理及其推论；重点、难点1. 能运用圆的性质解决有关问题；2. 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题。考点及考试要求1、理解圆心角，圆周角的概念;2、掌握在同圆或等圆中，弧弦圆心角及弦心距之间的关系；教学内容1.圆的基本概念1、圆的定义定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合

2、。2、圆的特点（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径4、同圆中:(1)半径相等;(2)直径等于半径的2倍.5、能够重合的两个圆叫做等圆,等圆的半径相等；圆心相同的圆叫做同心圆，同心圆半径不一定相等。例：下列命题中正确的是（ ） 弦是圆上任意两点之间的部分 半径是弦 弧是半圆，半圆是弧 长度相等的弧是等弧 直径是弦变式：1、经达圆内一点（非圆心）作圆的最长弦有（ ） A.1条 B.2条 C.3条

3、D.无数条2、在以AB=6为直径的圆上，到AB的距离为3的点有（ ） A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。3.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性：1、赵州桥它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的石拱桥，隋代开皇大业年间（605618）由李春创建，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主

4、桥拱是圆弧形，全长5082米，桥面宽约10米，跨度（弧所对的弦长）为374米，拱高（弧的中点到弦的距离）为72米你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). (4) 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).例： 已知：如图所示，AD=BC。 求证：AB=CD。变式：已知：如图所示，=，求证：AB=CD。ABCDOE6.垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦

5、，并且平分这条弦所对的两条弧；（2） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 ，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：经过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三”（3）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构ABOCAAA造如图所示的直角三角形 ，根据垂径定理与勾股定理有根据此公式，在三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角；10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离.

6、11.弧弦弦心距，圆心角，圆周角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.12.圆周角定理及其推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。13：圆的内接四边形对角互补【练习题】例7、如图,点P的坐标为(4,0),P的半径为5,且P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.例8

7、、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km的某处B，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证明.例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离.AOEFB例11、在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm，求油的最大深度9已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点(1)求证：AOC=BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论10已知：如图，AB是O的直径，

8、CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数11已知：如图，ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的O练习2 垂直于弦的直径【基础知识填空】1圆是_对称图形，它的对称轴是_；圆又是_对称图形，它的对称中心是_2垂直于弦的直径的性质定理是_3平分_的直径_于弦，并且平分_拓展：【练习题】4圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=_cm5如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm6如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_7如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a，则OA

9、=_，O点到AB的距离=_8如图，O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是_9如图，P为O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，O的半径为5，则OP=_10如图，O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则O的半径等于_cm11已知：如图，AB是O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，AEC=30，求CD的长12已知：如图，试用尺规将它四等分13已知：O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，求BAC的度数练习3 弧、弦、圆心角【基础知识填空】1_叫做圆心角2在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦，如果其中有一组量相

10、等，那么_3在圆中， 叫做弦心距.4在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也_反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_【练习题】5已知：如图，A、B、C、D在O上，AB=CD求证：AOC=DOB6已知：如图，P是AOB的角平分线OC上的一点，P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论7已知：如图，AB为O的直径，C，D为O上的两点，且C为的中点，若BAD=20，求ACO的度数8O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )AAB2AMBAB=2AMCAB2AMDAB与2AM的大小不能确定9如图，O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=

11、PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想15已知：O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，ABCD求这两条平行弦AB，CD之间的距离练习4 圆周角【基础知识填空】1_在圆上，并且角的两边都_的角叫做圆周角2在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_圆心角的_3在同圆或等圆中，_所对的圆周角_4_所对的圆周角是直角90的圆周角_ 是直径拓展：【练习题】5如图，若五边形ABCDE是O的内接正五边形，则BOC=_，ABE=_，ADC=_，ABC=_6如图，若六边形ABCDEF是O的内接正六边形，则AED=_，FAE=_，DAB=_，EFA=_7如图，ABC是O的内接正三角形，若P是上一点，

12、则BPC=_；若M是上一点，则BMC=_8在O中，若圆心角AOB=100，C是上一点，则ACB等于( )A80B100C130D1409在圆中，弦AB，CD相交于E若ADC=46，BCD=33，则DEB等于( )A13B79C38.5D10110如图，AC是O的直径，弦ABCD，若BAC=32，则AOD等于( )A64B48C32D7611如图，弦AB，CD相交于E点，若BAC=27，BEC=64，则AOD等于( )A37B74C54D6412如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于( )A69B42C48D3813如图，ABC内接于O，A=50，ABC=60，

13、BD是O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则AEB等于( )A70B90C110D12014已知：如图，ABC内接于O，BC=12cm，A=60求O的直径15已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，ACD=30，AE=2cm求DB长16已知：如图，O的直径AE=10cm，B=EAC求AC的长知识点：点在圆外，即这个点到圆心的距离 _半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离 _半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离 _半径；反过来，也成立（即判定位置关系的方法）圆是 图形，其对称轴是 ，因此有 条对称轴。定理一： （垂径定理）定理二： （垂径定理逆定理）定理三： 定理四： 例一：已知0的面积为2

14、5。l 若PO=5.5，则点P在_；（2）若PO=4，则点P在_；（3）若PO=_，则点P在0上。例二：设AB=3cm，作图说明：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形。ABACBDE、如图，在ABC中，BD、CE是高。求证： B、C、D、E在同一个圆上。、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。 （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴（2）平分弦的直径垂直于弦【例2】若O的半径为5，弦AB长为8，求拱高【例3】如图，O的直径AB和弦CD相交于点E

15、，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求CD的长【例4】如图，在O中，弦AB=8cm，OCAB于C，OC=3cm，求O的半径长【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EFAB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，ECCD，FDCD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）平分弦所对的一条弧的

16、直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）2、已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.课后练习： 1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：ACBD2、已知AB、CD为O的弦,且ABCD，AB将CD分成3cm和7

17、cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离3、已知：O弦ABCD 求证：4、已知：O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成13两部分,求：弦AB的长5、已知：AB为O的直径，CD为弦，CECD交AB于E DFCD交AB于F求证：AEBF6、已知：ABC内接于O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交O于E、D两点，求证，7、已知：AB为O的直径，CD是弦，BECD于E，AFCD于F，连结OE，OF求证：OEOF CEDF8、在O中，弦ABEF，连结OE、OF交AB于C、D求证：ACDB9、已知如图等腰三角形ABC中，ABAC，半径OB5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：O与O相交于P、Q，过P点作直线交O于A，交O于B使OO与AB平行求证：AB2OO11、已知：AB为O的直径，CD为弦，AECD于E，BFCD于F求证：ECDF12、如图，在中，弦AB垂直平分半径OC。（1）求的度数；（2）求的半径为r，求弦AB的长。（2010年济宁市)如图，为外接圆的直径，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1) 求证：； (2) 请判断，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.