初中平面几何一题多变

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1、 初中平面几何一题多变 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。 19、（增加题1的条件）AE平分BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分BCD，AF平分BAC交BC

2、于F求证：（1）BFCE= BEDF （2）AECF （3）设AE与CD交于Q，则FQBC21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证： EF是O1和O2的一条外公切线23、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D

3、为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1与O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB所以1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行

4、线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGAB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGBC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1， 求证：过点D的圆O1的切线平分BC30

5、、（在19题中增加一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F，求证：CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作BCE=BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NSCD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形内角平

6、分线性质定理）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DEAB= AEBE题33证明CB2= BDAB因EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分CD于F，EGAB交AB于点G，求证：EG2= BEEC证明：延长AC、GE，设交点为H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又H

7、GCD，CF=FDEH=EGEG2= BEEC题35（在题19中增加点F）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CFFD = AFEF题36、（在题16中，减弱条件，删除ACB=90度这个条件）已知，ABC中， CDAB，D为垂足，DEAC于E，DFBC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除ACB=90度和CDAB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足ACD=ABC）已知，ABC中，D是AB上一点，满足ACD=ABC，又CE平分BCD求证：AE2= ADAB题38已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，

8、D为垂足，PC为ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD 题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CFAE，F为垂足，连结DF，求证：ADFAEB题40：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题41已知，如图，ABC中， CDAB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 求ACB的度数。题42 已知，CD是ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 则ACB一定是90度吗？为什么？题43：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，

9、ADC的内切圆O1，BDC的内切圆O2，求证：SO1：SO2=AD：DB题44：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1的半径R1，BDC的内切圆O2的半径R2，ABC的内切圆O的半径R，求证：R1+R2+R=CD 题45、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在ABC内交于P求证： PAD的面积和PBC的面积相等题45解：CAP=CDP=DBP（圆周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD和CPB互补（APC+BPD=180度）S PAD=1/2APPDsinAPDS

10、PBD=1/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题46（在题38的基础上变一下）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线，又CE平分ACB交ABC与E，交AB与D ， 若PA=5，PC=10，求 CDCE的值题47在题46中，求sinPCA题48（由题19而变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于点G，求证：（1）AC=AG（2）、AG2= ADAB（3）、G在DCB的平分线上（4）、FGBC（5）、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，ABC中，ACB=90度，CDA

11、B，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证： AF= 2FE题50解：过点E作EMCF，M为垂足，则AD：DB=AC2：CB2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF题目51（题50中连一线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证： ABC=EBF（题51的几种解法）解法1、作ACB的平分线交AB于点G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题51解法2作AC

12、B的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形CGFE为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题51解法3作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBPABC=EBF题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2又CAF=BEF=45度ACFEBFACF=EBF又ACF=CBAABC=EBF题51解法5作MECE交CD的延长线于M，证ABCCME（ASA）ABC=M再证MEFBEF（SAS）

13、EBM=MABC=EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N（对称点）ABC=EBF题51解法7过点C作CHBF交AB于M，B为CE的中点， F为HE的中点又由题50，AF=2EF，H为AF的中点又CHBFM为AB的中点MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF题目52（题50、51结论的引伸）已知，ABE中，AC=EC，ACE=90度，CDAB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB， 求证：（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB

14、：BF=AE：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1题目53 （题52的一部分） 已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AF=2EF、ABC=EBF（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）已知如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AC=CE、ABC=EBF平面几何一题多变题目55（题53的逆命题2）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB求证：、ACCE、ABC=EBF题目56（题53的逆命题3）已知如图，、AC=CE、ACC

15、E、AF=2EF、CFAB求证：、CB=BE、ABC=EBF题目57（题53的逆命题4）已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CB=BE求证：、CFAB、ABC=EBF题目58（题53的逆命题5）已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB求证：、AF=2EF、AC=CE题目59（题53的逆命题6）已知如图，、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、ACCE题目60（题53的逆命题7）已知如图，、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB求证：、AF=2EF、CB=BE题目61（题53的逆命题8）已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=

16、BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、CFAB题目62（题53的逆命题9）已知如图，、AF=2EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AC=CE、ACCE题目63（题53的逆命题10）已知如图，、ACCE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、AC=CE、CB=BE题目64（题53的逆命题11）已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=2EF求证：、AC=CE、CFAB题目65（题53的逆命题12）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、ACCE、CB=BE题目66（题53的逆命题13）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB

17、=BE、ABC=EBF求证：、ACCE、CFAB题目67（题53的逆命题14）已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、ABC=EBF求证：、CB=BE、CFAB题目68已知如图，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6，求SBCD=？（题68解答）解：设SBCD=x,则SACM/ SCMB=30/（6+ x）=AM/MBSACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又AC2= ADABBC2= BDABAC2/ BC2=AD/BDCM平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/(6+x)2=36/x解方程得x=4或x=9SBCD=4

18、或SBCD=9题目69已知如图，ABC中，ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC2= ADAB求证：CDAB题目70已知如图，ABC中，ACBC,ACB=90度，CM平分ACB，且CM+CB=AC，求证：1/AC-1/BC=2 题70证明：过点M作MDBC，D为垂足，作MDAC，E为垂足，设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=2 x，AE=b-x,由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,x=ab/(a+b)又CM+CB=AC2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab两边都除以ab,1/AC-1/BC=2题目71(依题68变)已知如图，AB

19、C中（ACBC），ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。题目71解：显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，又ACBCAC=8，BC=6由勾股定理AB=10ACDABC，得AC2= ADABAD=6.4CM平分ACBAM/MB=AC/CB解得，AM=40/7MD=AD-AM=24/35题目72已知如图，ABC中，ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且AMN是正三角形，求AMN与ABC的面积之比。题72解：ACB=90度，AB=2ACB=30度由题意，四边形A

20、MAN是菱形，ABMABCAM/AC=BM/AB设AM=x, AB=2AC=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面积公式，得SAMN：SABC=2：9题目73已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CDAC+BC题73的证明：由三角形面积公式，得ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC题目74已知，

21、ABC中，ACB90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CDAC+BC题74证明：如图，作CBAC交AB于B,于是有ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC在ABB中,BBCB-CB+得AB BB+CDAC+BC CB-CBAB+CDAC+BC题目75已知如图，ABC中， CDAB，D为垂足，CT平分ACB，CM为AB边上的中线，且AC

22、D=DCT=TCM=MCB求证：ACB=90度题目75的证明：延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，则N为弧AB的中点，所以MNAB，又CDAB，MNCDDCT=TNM又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN的垂直平分线必过点M，又CM为AB边上的中线，MNABAB的垂直平分线必过点M，即M为两条弦的垂直平分线的交点，M为三角形ABC的外接圆的圆心，因此AB为ABC的外接圆的直径。ACB=90度题目76已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ， 求证：MC=MG 题目77已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，C

23、M为AB边上的中线，CD是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,求CD、CM、CE的长题目78已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，求证：AM=CM题目79（题78再变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE求证：BG2= ABBE- AGGE题目80已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，求证：CD2= DMDP题目81已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为AB

24、C上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，求证： 2DMDP= BEEP题目82已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，求证： AB=BH题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目84已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点求证： BC平分DCN题目85已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点，AFMN，F为垂足，AEMN，E为垂足，求证：CD=CE=CF 题目86已知，ABC中，ACB=90度， 以BC为

25、直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E， 求证：BCE=DCE题目87（由题38图而变）求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性 两方面来证明。）题目88作图题：已知两线段之和及积，求作这两条线段。已知：两线段m和n求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n2补个图（题88作法参考）AD、BD即为求作线段x、y题目89（由题88变）已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。题目90利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。题目89作法：如图，作两腰的延长线交于点O，作PBAB使PB=O

26、A，连结OP，以OP为直径作半圆M，由圆心M作MNOP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EFBC交CD于F，则EF即为所求线段。 题91(题73变)设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，求证：a+db+c题92（人教版数学八年级下114页）在RtABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACD=3BCD，E是斜边AB的中点，ECB是多少度？题93（题49变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A、B都是锐角，求A/2+B的值。题目93解：（构造法）分别以17、13为边作ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边

27、上的高，在RtADC中，AD=17 cosA，在RtBDC中，BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，AC=AB, B=ACB,A+2B=180度A/2+B=90度。题94已知如图，ABC的C的平分线交AB于D，交ABC的外接圆于E，若CDCE等于ABC面积的2倍求证：ACB=90度题目95已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB 交AB于M，若ACBC求证：DCM=1/2（B-A）题目96已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，求ABC中较小的锐角的度

28、数。题目97已知，ABC中，ACB=90度，CE平分ACB 交AB于E，且EC+BC=AC， 求AC/BC题97解：设BC=a,AC=b,过点E作EHBC交AC于点H，作EFBC交BC于点F，则四边形CHEF为正方形，设EH=x.则CE=2x,由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)由题意得，a+2x=bx=(b-a)/ 2a,(ab)/(a+b)= (b-a)/ 2a,得b2-2ab-a2=0b/a=(2+6)/2即AC/BC=(2+6)/2题目98已知，ABC中，ACB=90度，两直角边的差为22，CDAB，D为垂足，BD-AD=23，求ABC中的三边

29、长。题目99 圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=23，求A的度数。题目100已知，ABC中， CDAB，D为垂足，B=2A求证：CB=AD-BD题目101已知，AB是的直径，AB=4， D是OB的中点，过点D的弦CEAB，求弦CE的长。（题54的解答）已知如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AC=CE、ABC=EBF证明：过点E作EMCF如图，由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2又BD为CEM的中位线，则BD：EM=1：2AD：DB=4：1=AC2:CB2AC：CB=2：1又CB=BEAC=CE(再由51的解答即有ABC=EBF成立)题55的解答已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB求证：、ACCE、ABC=EBF证明：过点E作EMCF，如图由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2又BD为CEM的中位线，则BD：EM=1：2AD：DB=4：1不妨设DB=x，CD=y,则AD=4x，由勾股定理得AC=（4x）2+y2,BC=（x2+y2）又AC=2BC，得y2=4x2即CD2=ADDBCD：AD=DB：CD，ADC=CDB=90度 RtADCRtCDBACD=CBD又BCD+CBD=90度BCD+ACD=90度，即ACB=90度(再证ABC=EBF成立)